2021届湖北山东部分重点中学高三上学期12月教学质量联合检测数学试题(解析版)

2021届湖北山东部分重点中学高三上学期12月教学质量联合检测数学试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【分析】先化简集合【详解】由题意可得即集合,再利用交集的定义求解.即解得．又集合，所以集合，，所以故选：D【点睛】易错点睛：本题解题时，化简集合时，容易忽略,导致解答出错.解答集合的问题，要认真看清集合“|”前元素的一般形式再解题.2．已知直线：，：，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由得由得或或再利用充分条件必要条件的定义判断得解.【详解】因为又因为：则，：当时，有，解得所以“故“”“”，但“”不能推出“”，”是“”的充分不必要条件，故选：A【点睛】方法点睛：充分条件必要条件的判定常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.在解题时要根据已知条件灵活选择方法求解.3．已知双曲线：的两条渐近线的斜率之积等于-4，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由题意得，从而得，，进而可求出双曲线的离心率【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以，即，所以，所以．故选：A．4．下列关于，的关系中为函数的是（）A．B．C．D．123400-611【答案】D【分析】根据函数的定义即可判断．【详解】对于A，因为不等式组解集为，而函数的定义域不能为空集，故A不是函数；对于B，因为，即，一个时，，有两个值与之对应，不能满足函数的定义，，不能满足函数的定义，故C不是函数；故B不是函数；对于C，当或对于D，满足构成函数的要素，故D是函数，故选：D．5．已知，，，则，，的大小关系为（）A．B．D．C．【答案】D【分析】由指数函数和对数函数的性质判断即可【详解】解：因为，，，所以故选：D6．在中，已知，，，则（）A．1B．3C．2D．【答案】B【分析】化简式子可得，根据二倍角的余弦公式可得，然后计算得到角，最后简单计算可得结果.【详解】∵，∴，则．∵，∴，即，解得或，．∵，∴，，则，在中，，，故选：B．7．已知数列列”，若数列的前项和为，若对任意的正整数，都有，则称为“和谐数为“和谐数列”，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】讨论【详解】当与的情况，对的情况，计算，并计算可得，可得结果.时，显然满足；当时，，由，即，由恒成立，可得．综上可知，.故选:B.8．已知在正三棱雉中，为的中点，，则正三棱雉的表面积与该三棱雉的外接球的表面积的比为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】依题意可证平面的表面积，与外接球的表面积，即可得解；，即可得到三条侧棱两两相互垂直，设，即可求出三棱锥平面【详解】解：正三棱锥中，，，∴平面，又∴，，又三棱锥为正三棱锥，所以三条侧棱两两相互垂直，设可得正三棱锥的表面积为．设外接球的半径为，则，，则外接球的表面积故选：D．所以两表面积的比为，【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.二、多选题9．若复数满足A．，则（）B．是纯虚数C．复数在复平面内对应的点在第三象限D．若复数在复平面内对应的点在角的终边上，则【答案】AB【分析】先由答案得，然后逐项分析判断即可得，【详解】由题意，复数满足，可得复数所以故选项A正确；是纯虚数，故选项B正确；复数在复平面内对应点的坐标为（2，4）位于第一象限，故选项C错误；因为在复平面内对应的（2，4）在角的终边上，所以故选项D错误，故选：AB．10．如图正方体，取正方体六个面的中心，，，，，将其连接起来就得到了一个正八面体，下面说法正确的是（）A．平面B．与平面所成角为平面C．平面平面D．平面【答案】ABD【分析】对于A，连接，，,则；对于B，设的中点，，连接所成的二面角，再由余弦定理可求得结果；对于D，由，，连接，，则，，由线面平行的判定定理可得平面即为与平面所成角；连接，取，，，即为平面与平面平面，平面，可得平面平面【详解】连接．，，．根据正方体六个面的中心分别为点，，，，，，可得同理可证，则．因为平面，平面，所以平面，故选项A正确；由题意知，四边形为正方形，设与平面（点同时是正方体和正八面体的中心），连接，则即为所成角．由长度关系可得，故选项B正确；连接的中点，，连接．由题意知过点，则平面平面，．且都为等边三角形，所以．取，即为平面，，．因为与平面所成的二面角．由余弦定理可得，故选项C错误；由以上证明可知，．因为，所以平面．因为，平面平面所以平面，所以．又因为，，平面平面．因为，所以平面平面，故选项D正确，故选:ABD．11．设角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆的交点为．记，，则下列命题正确的是（）A．B．C．为偶函数，为奇函数与与的最大值均为D．在区间均为单调递增函数【答案】BC【分析】由任意角三角函数的坐标定义可知，故选项A错误；由于与为偶函数，为奇函数，故选项B正确；的最大值均为，故选项C正确；由于在上单调递减，故选项D错误.【详解】由任意角三角函数的坐标定义可知，，，，故选项A错误；由于由于为偶函数，为奇函数，故选项B正确；，，因此两个函数的最大值均为由于，故选项C正确；在上单调递减，故选项D错误.故选：BC【点睛】方法点睛：判断函数的单调性常用的方法有：（1）定义法；（2）复合函数单调性原理法；（3）导数法；（4）数形结合法.要根据已知条件灵活选择方法求解.12．已知函数（，为自然对数的底数），则（）A．函数B．函数至多有2个零点至少有1个零点C．当时，对总有成立D．当【答案】ABC【分析】首先根据题意画出函数图像，再根据图像依次判断选项即可.时，方程有3个不同实数根【详解】作出函数和的图象如图所示，当当当当当当时，函数只有1个零点；时，函数有2个零点；时，函数时，函数只有1个零点，故选项A，B正确；为单调递增函数，故选项C正确；时，，，，当时，该方程有两个解；时，该方程有两个解，所以方程有4个不同实数根，故选项D错误．故选：ABC．【点睛】关键点睛：本题考查函数零点的判断，解题的关键是画出函数图象，讨论的大小进行判断.三、填空题13．若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则__________．【答案】【分析】根据条件得到圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式得到答案.【详解】依题意圆心到直线的距离，解得故答案为.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，根据恰有3个点判断直线和圆的位置关系是解题的关键，意在考查学生的计算能力.14．学数学的人重推理爱质疑，比如唐代诗人卢死《塞下曲》：“月黑雁飞高，单于夜遁逃．欲将轻骑逐，大雪满弓刀．”这是一首边塞诗的名篇，讲述了一次边塞的夜间战斗，既刻画出边塞征战的艰苦，也透露出将士们的胜利豪情．这首诗历代传请，而无人提出疑问，当代著名数学家华罗庚以数学家特有的敏感和严密的逻辑思维，发现了此诗的一些疑点，并写诗质疑，诗云：北方大雪时，群雁早南归．月黑天高处，怎得见雁飞？”但是，数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家贵马于1640年提出了以下猜想是质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出不是质数．现设，则表示数列的前项和________．【答案】【分析】依题意可得，从而得到，再利用裂项相消法求和即可；，【详解】解：把得代入，则∴，．故答案为：15．如图，树顶离地面米，树上另一点离地面米，在离地面米的则距离此树________米时，看、的视角最大．（结果用，，表示）处看此树，【答案】【分析】首先作辅助线，点作，交延长线于点，再利用两角差的正切公式表示，最后利用基本不等式表示最大值.【详解】过点作，交延长线于点．设，，在中，在则中，，当且仅当时取等，即.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键求的最大值，可以利用正切关系，表示,再转化为基本不等式求的最大值.四、双空题16．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，且，则抛物线的准线方程为________；的值为________．【答案】【分析】根据焦点坐标可得的中点为，求得的值即可求解；由已知条件可得，取，分别过点，，，作准线的垂线，设，则，根据抛物线的定义以及梯形中位线的性质即可求解.【详解】抛物线的焦点为，准线为，则，∴，所以抛物线方程为.如图取的中点为，分别过点，可知，，作准线的垂线，垂足分别为，，，．由由抛物线的定义可得：，，，所以设．，则，，又，所以，又，即，解得，所以．故答案为：；【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是根据以及结合抛物线的定义、梯形中位线的性质列方程.五、解答题17．在中，它的内角，，的对边分别为，，，且满足．再从条件，条件，这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）的值（2）的面积；，条件：；条件：，．【答案】答案不唯一，具体见解析．【分析】题干条件可以进行角化边，再运用余弦定理求得，再结合所选条件求解即可.【详解】若选择条件①：（1）∵，∴，由正弦定理得则，，解得（2）由（1）及余弦定理可得∵，∴．∵∴，，∴若选择条件②：（1）∵，∴，由正弦定理得，则由余弦定理可得．又，所以．∵则，即，，所以．由正弦定理及，可得．（2）∵，，，∴∴【定睛】关键点点睛：本题的关键是对条件利用正弦定理进行化简，从而得出它的直接条件.18．为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，有市场调研知，每部手机售价万元，且全年内生产的手机当年能全部售完（1）求出2020年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润=销售额-成本）；（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2）产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是万元.【分析】（1）根据题中条件，分量的解析式；，两种情况，由条件条件，即可得出利润关于年产（2）根据（1）的结果，分别求出，对应的函数最值，比较大小，即可得出结果.【详解】（1）因为投入成本，由题意，当时，；当时，，..（2）若，，当时，万元若，，当且仅当，即时，万元.2020年产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是万元.【点睛】方法点睛：本题主要考查分段函数模型的应用，考查利用基本不等式与二次函数的性质求最值，属于常考题型.函数模型的问题，一般分为利用给定函数模型解决实际问题，和建立拟合函数模型解决实际问题，考查函数与方程的思想，以及学生的计算能力.19．已知圆台轴截面，圆台的上底面圆半径与高相等，下底面圆半径为高的两倍，点为下底圆弧的中点，点为上底圆周上靠近点A的，三点的平面与弧的四等分点，经过、交于点，且，，三点在平面的同侧．（1）判断平面与直线的位置关系，并证明你的结论﹔（2）为上底圆周上的一个动点，当四棱锥的体积最大时，求异面直线与所成角的余弦值．【答案】（1）平面；证明见解析；（2）．【分析】（1）先证，由线线平行得到线面平行；（2）设圆台的上底面圆的半径为，建立空间直角坐标系，表示出向量值即可.，，再求解夹角的余弦【详解】（1）平面∵圆台的两个底面互相平行∴平面与圆台两个底面的交线平行．又因为点为上底圆周上靠近点的的四等分点，∴点为下底圆周上靠近点的的四等分点，∴．∵点为下底圆弧的中点，∴，所以．又平面，．平面，∴平面（2）当四棱锥的体积最大时，也就是点到平面的距离最大，此时点为上底圆周上的中点．设圆台的上底面圆的半径为，则高为，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，∴，，则，∴异面直线与所成角的余弦值为．当点在的另一侧中点时，异面直线与．所成角的余弦值也是∴异面直线与所成角的余弦值为【点睛】本题采用建立空间直角坐标系的方法求解异面直线所成角，可求出两条直线所在向量，利用，求出向量夹角的余弦值，由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．20．已知是等差数列，其前项和为，是正项等比数列，且，，，．（1）求数列（2）若与的通项公式；，记，，求．【答案】（1），，；（2）．【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得，，从而可求出，，进而可求得数列与的通项公式；（2）由（1）可得，然后利用错位相减法求数列的前项和，利用等比数列的前项和公式求出数列的前项和，进而可求出【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，得，．由，，得解得，（舍负），故，，．（2）由（1）得设．①．②由①-②得∴又∴21．已知椭圆：与直线：交于，两点，过原点与线段中点的直线的斜率为．（1）求糊圆（2）若椭圆的离心率；的短轴长为