《平面向量基本定理》公开课课件

平面向量基本定理平面向量基本定理110十二月2022一、课前准备：复习1:向量的合成（思考：为什么限定？）10十二月2022一、课前准备：复习1:向量的合成（思考210十二月2022想一想？♦

探究：与的关系是这一平面内的任一向量．已知是同一平面内的两个不共线向量，如：10十二月2022想一想？♦探究：与的关系是这一平面内310十二月2022学生活动：OMNC即向量的分解AB10十二月2022学生活动：OMNC即向量的分解AB410十二月2022知识点一平面向量基本定理存在性唯一性1.如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面的任意向量使一对实数有且只有把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底10十二月2022知识点一平面向量基本定理存在510十二月2022（有无数组）BAOMOMAB10十二月2022（有无数组）BAOMOMAB6abABDCFEabABDCFE7知识点二、向量的夹角与垂直:OAB两个非零向量

和,作，

,则叫做向量

和

的夹角．夹角的范围：

与

反向OAB记作与

垂直，OAB注意:两向量必须是同起点的

与

同向OAB特别的：知识点二、向量的夹角与垂直:OAB两个非零向量和8例2.在等边三角形中，求

(1)AB与AC的夹角；

(2)AB与BC的夹角。ABC例2.在等边三角形中，求ABC9平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示10G=F1+F2F1F2GG=F1+F2叫做重力G的分解类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2

a2,使a=λ1a1+λ2

a2G与F1,F2有什么关系?G=F1+F2F1F2GG=F1+F2叫做重力G的分解类似地11把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解若两个不共线向量互相垂直时aλ1a1λ2

a2F1F2G正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解若两个12思考：

我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。思考：我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都13ayOxxiyjji分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得a=x

i+y

j把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标向量的坐标表示ayOxxiyjji分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量14向量的坐标表示i=j=0=(1,0)(0,1)(0,0)ayOxxiyjjia=(x,y)向量的坐标表示i=(1,0)ayOxxiyjjia=15yOxajixiyjxiyjb相等的向量坐标相同向量a、b有什么关系?a＝b能说出向量b的坐标吗?b=(x,y)yOxajixiyjxiyjb相等的向量坐标相同向量a、b有16yxAa如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定。yxOji设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x,y)就是点A的坐标；a(x,y)因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。反过来，点A的坐标（x,y)也就是向量OA的坐标。yxAa如图，在直角坐标平面内，以原yxOji设OA=xi+17向量的坐标与点的坐标关系向量P（x

，y）一一对应向量的坐标与点的坐标关系向量P（x，18练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.解：练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.解：19例1.用基底i,j分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标.-4-3-2-11234AB12-2-1xy453例1.用基底i,j分别表示向量a,b,c,d,并求出20平面向量的坐标运算：平面向量的坐标运算：21（二）平面向量的坐标运算：结论1：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.结论2：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.（二）平面向量的坐标运算：结论1：两个向量和与差的坐标分别等22已知，求的坐标.OxyB(x2,y2)A(x1,y1)结论3:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。已知，求的坐标.23《平面向量基本定理》公开课课件24OyxABCD例3：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标.OyxABCD例3：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分25变式：已知平面上三点的坐标分别为A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。OyxABC解：当平行四边形为ADCB时，由得D1=(2,2)当平行四边形为ACDB时，得D2=(4,6)D1D2当平行四边形为DACB时，得D3=(6,0)D3变式：已知平面上三点的坐标分别为A(2,1),B26《平面向量基本定理》公开课课件27随堂练习坐标是A、(3,2)B、(2,3)C、(-3,-2)D、(-2,-3)BA、x=1,y=3B、x=3,y=1C、x=1,y=-3D、x=5,y=-1B标坐标为A、(x-2,y+1)B、(x+2,y-1)C、(-2-x,1-y)D、(x+2,y+1)C随堂练习坐标是A、(3,2)B、(2,3)C、(-328BB标的坐标为(i,j),则点A的坐标为A、(m-i,n-j)B、(i-m,j-n)C、(m+i,n+j)D、(m+n,i+j)ABB标的坐标为(i,j),则点A的坐标为A、(m-i,n-j29小结平面向量基本定理

如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2

使a=λ1e1+λ2e2小结平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面30(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一.λ1,λ2是被a,e1、e2唯一确定的数量。a=λ1e1+λ2e2小结(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的31课堂总结:1.向量的坐标的概念:2.对向量坐标表示的理解:3.平面向量的坐标运算:(1)任一平面向量都有唯一的坐标;(2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；(3)相等的向量有相等的坐标.4.能初步运用向量解决平面几何问题:“向量”的思想课堂总结:1.向量的坐标的概念:2.对向量坐标表示的理解:332平面向量基本定理平面向量基本定理3310十二月2022一、课前准备：复习1:向量的合成（思考：为什么限定？）10十二月2022一、课前准备：复习1:向量的合成（思考3410十二月2022想一想？♦

探究：与的关系是这一平面内的任一向量．已知是同一平面内的两个不共线向量，如：10十二月2022想一想？♦探究：与的关系是这一平面内3510十二月2022学生活动：OMNC即向量的分解AB10十二月2022学生活动：OMNC即向量的分解AB3610十二月2022知识点一平面向量基本定理存在性唯一性1.如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面的任意向量使一对实数有且只有把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底10十二月2022知识点一平面向量基本定理存在3710十二月2022（有无数组）BAOMOMAB10十二月2022（有无数组）BAOMOMAB38abABDCFEabABDCFE39知识点二、向量的夹角与垂直:OAB两个非零向量

和,作，

,则叫做向量

和

的夹角．夹角的范围：

与

反向OAB记作与

垂直，OAB注意:两向量必须是同起点的

与

同向OAB特别的：知识点二、向量的夹角与垂直:OAB两个非零向量和40例2.在等边三角形中，求

(1)AB与AC的夹角；

(2)AB与BC的夹角。ABC例2.在等边三角形中，求ABC41平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示42G=F1+F2F1F2GG=F1+F2叫做重力G的分解类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2

a2,使a=λ1a1+λ2

a2G与F1,F2有什么关系?G=F1+F2F1F2GG=F1+F2叫做重力G的分解类似地43把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解若两个不共线向量互相垂直时aλ1a1λ2

a2F1F2G正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解若两个44思考：

我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。思考：我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都45ayOxxiyjji分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得a=x

i+y

j把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标向量的坐标表示ayOxxiyjji分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量46向量的坐标表示i=j=0=(1,0)(0,1)(0,0)ayOxxiyjjia=(x,y)向量的坐标表示i=(1,0)ayOxxiyjjia=47yOxajixiyjxiyjb相等的向量坐标相同向量a、b有什么关系?a＝b能说出向量b的坐标吗?b=(x,y)yOxajixiyjxiyjb相等的向量坐标相同向量a、b有48yxAa如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定。yxOji设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x,y)就是点A的坐标；a(x,y)因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。反过来，点A的坐标（x,y)也就是向量OA的坐标。yxAa如图，在直角坐标平面内，以原yxOji设OA=xi+49向量的坐标与点的坐标关系向量P（x

，y）一一对应向量的坐标与点的坐标关系向量P（x，50练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.解：练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.解：51例1.用基底i,j分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标.-4-3-2-11234AB12-2-1xy453例1.用基底i,j分别表示向量a,b,c,d,并求出52平面向量的坐标运算：平面向量的坐标运算：53（二）平面向量的坐标运算：结论1：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.结论2：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.（二）平面向量的坐标运算：结论1：两个向量和与差的坐标分别等54已知，求的坐标.OxyB(x2,y2)A(x1,y1)结论3:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。已知，求的坐标.55《平面向量基本定理》公开课课件56OyxABCD例3：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标.OyxABCD例3：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分57变式：已知平面上三点的坐标分别为A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。OyxABC解：当平行四边形为ADCB时，由得D1=(2,2)当平行四边形为ACDB时，得D2=(4,6)D1D2当平行四边形为DACB时，得D3=(6,0)D3变式：已知平面上三点的坐标分别为A(2,1),B58《平面向量基本定理》公开课课件59随堂练习坐标是A、(3,2)B、(2,3)C、(-3,-2)D、(-2,-3)BA、x=1,y=3B、x=3,y=1C、x=1,y=-3D、x=5,y=-1B标坐标为A、