CFD2020第12讲湍流及转捩1课件

计算流体力学讲义2020

第十二讲湍流与转捩（1）李新亮知识点：

1CopyrightbyLiXinliang流动稳定性

转捩的预测方法3.湍流的模式理论（RANS）:

涡粘模型：0方程，1方程，2方程4.大涡模拟简介计算流体力学讲义2020知识点：1CopyrightbCopyrightbyLiXinliang2§12.1流动稳定性一、稳定性基本概念常识：流体中的不稳定性K-H不稳定性A.K-H(Kelvin-Helmholtz）不稳定性——自由剪切流的无粘不稳定性混合层——K-H不稳定性K-H不稳定性的关键：速度剖面有拐点Lee-Lin:速度剖面的拐点是无粘不稳定性的必要条件流体不禁搓，一搓搓出涡已知某运动状态；在此基础上施加微小扰动；如扰动随时间（或空间）衰减，则称系统稳定，否则为不稳定CopyrightbyLiXinliang2§12.CopyrightbyLiXinliang3自然界中K-H不稳定性图片智利塞尔扣克岛的卡门涡街澳大利亚Duval山上空的云Kelvin–HelmholtzinstabilitycloudsinSanFrancisco佛兰格尔岛周围的卡门涡街高速流低速流自由剪切层受到扰动界面变形后的情况K-H不稳定性的产生机理受阻减速，压力升高，产生高压区高压导致变形加剧CopyrightbyLiXinliang3自然界中CopyrightbyLiXinliang4B.T-S(Tollmien-Schlichting)不稳定性——不可压

壁面剪切流的粘性不稳定性Mack不稳定性——超声速壁面剪切流的不稳定性不可压边界层速度剖面（Blasius解）——无拐点可压缩情况——Mach数足够高时会出现广义拐点——出现无粘不稳定性不可压缩无粘不稳定性——需存在拐点可压缩无粘不稳定性——需存在广义拐点Mach6钝锥（1°攻角）不同子午面的分布超音速平板边界层的不稳定波第1模态（T-S波）第2模态（Mack模态）CopyrightbyLiXinliang4B.TCopyrightbyLiXinliang5激波密度界面R-M(Richtmyer-Meshkov)不稳定性——激波与密度界面作用的斜压效应惯性约束聚变（ICF）示意图小知识——涡的产生机制：

粘性、斜压、有旋的外力激波密度界面斜压项CopyrightbyLiXinliang5激波密度界CopyrightbyLiXinliang6D.R-T(Reyleigh-Taylor)不稳定性——重力带来的不稳定性R-T(Reyleigh-Taylor)不稳定性重介质轻介质CopyrightbyLiXinliang6D.CopyrightbyLiXinliang7EBarnard热对流不稳定性其他学科的不稳定性：Euler压杆的不稳定性Barnard热对流的胞格结构板壳的不稳定性CopyrightbyLiXinliang7EBCopyrightbyLiXinliang8二、稳定性问题的常用数学方法——线性稳定性分析Step1:得到线性化的扰动方程控制方程为：已知其具有解最好是精确解，也可用高精度的数值解令：舍弃高阶小量，得到线性化的扰动方程（1）

例如：平板的Blasius解，槽道的Poiseuille解线性方程CopyrightbyLiXinliang8二、稳定CopyrightbyLiXinliang9Step2:求解的特征值问题什么条件下具有非零解，非零解如何？通常假设在某些方向具有周期性，转化为一维问题数值方法：将（1）离散——代数方程何时有非零解，非零解如何？——特征值问题什么条件下有非零解？特征值问题计算量巨大，目前通常只能处理一维问题CopyrightbyLiXinliang9StepCopyrightbyLiXinliang10§12.2边界层转捩的预测方法1.经验公式法转捩位置Mach6钝锥边界层表面的摩擦系数分布(Lietal.Phys.Fluid.22，025105，2010.Lietal.AIAAJ.46（11），2899-2913，2008)x

摩阻或热流转捩起始点（transitiononset)转捩峰（transitionpeak)充分发展湍流区球锥的转捩Reynolds数边界层外缘的Mach数动量厚度定义的转捩Reynolds数CopyrightbyLiXinliang10§12CopyrightbyLiXinliang112.eN

方法LST理论：积分起始点

扰动波进入中性曲线后，开始增长，局部增长率为eN理论：扰动波增长到eN倍，即发生转捩N值需要由实验（或经验）确定，通常为8~11,即扰动增长4个量级（10000倍）左右。

在不可压缩及航空领域（亚、跨、超）较为成熟。

在航天领域（高超声速），还有待检验。不足之处：未考虑扰动波进入中性曲线前的衰减过程，没考虑感受性过程。他人的改进：苏彩虹，周恒等——考虑衰减过程

C.H.Su,andH.Zhou,ScienceinChinaG,52(1):115-123(2009).

CopyrightbyLiXinliang112.CopyrightbyLiXinliang123.PSE（抛物化扰动方程）法优点：1）无需平行流假设；2）可处理非线性(N-PSE)Step1:得到扰动的控制方程已知解线性化L-PSEN-PSEStep2:假设扰动具有波动形式振幅，沿x方向是个缓变量（相对y方向而言）Step3:带入扰动方程，得到振幅的控制方程“缓变量”是个很有用的概念，可用来简化方程Plantdl边界层理论就是利用“缓变量”的概念进行简化的。LST的方程是一维的PSE的方程是二维的Step4:利用缓变量性质，舍弃方程中的椭圆项（为高阶小量），得到抛物化的扰动方程沿x方向推进求解（类似时间方向的处理），计算量相当于一维问题。（“抛物化”的优势）非线性项的处理方法与谱方法相似CopyrightbyLiXinliang123.CopyrightbyLiXinliang134.转捩模型法（间歇因子模型）实际粘性系数层流粘性系数湍流粘性系数（由湍流模型给定）湍流间歇因子（0表示纯层流，1表示纯湍流）方法1）

根据经验公式，给定沿流向的分布方法2）

给出

的发展方程，进行求解CopyrightbyLiXinliang134.转CopyrightbyLiXinliang14常识：湍流的间歇性外间歇性：层流及湍流交替出现的现象Mach6钝锥边界层的密度分布（Lietal.PoF22,2010)边界层有清晰锐利的界面（层流区、湍流区“泾渭分明”）湍流信号层流信号内间歇性：湍流脉动的概率密度分布偏离Gauss分布（随机分布）概率论（中心极限定理）——独立随机事件满足Gauss分布偏离Gauss分布——湍流不是完全随机的。既非确定，又非随机——湍流的复杂性CopyrightbyLiXinliang14常识：CopyrightbyLiXinliang15§12.3湍流的工程模式理论——RANS1.为什么用湍流模型N-S方程适用于湍流，但其解过于复杂如果网格分辨率不够，数值解误差较大常用方法——进行平均，求解平均量满足的方程以不可压缩为例研究->推广的可压缩情况压缩折角流动例1：压缩折角流动：如果网格分辨率不足，且不用湍流模型，则分离区过大例2：有攻角机翼流动，如果分辨率不足，且不用湍流模型，则造成“非物理分离”翼型绕流CopyrightbyLiXinliang15§12平进行均CopyrightbyLiXinliang162.Reynolds平均的N-S方程以不可压缩N-S方程为例时间平均；空间平均；系综平均脉动引入平均：RANS比N-S方程多了该项称为Reynolds应力平进行均CopyrightbyLiXinliang16CopyrightbyLiXinliang173.Reynolds平均N-S方程的求解

未知量，必须用已知量表示才能求解湍流模型方法1）Boussinesq涡粘假设（常用）与原先方程的唯一区别：改变了粘性系数程序实现方便的计算模型：0方程（代数模型）：B-L1方程模型:S-A2方程模型：SST方法2）Reynolds应力模型给出的控制方程可并入压力项中CopyrightbyLiXinliang173.CopyrightbyLiXinliang184.湍流边界层的结构及平均速度剖面内层10~20%d外层钝锥边界层的密度分布内层：主要受壁面影响外层：受边界层外部影响

（压力梯度、外部无粘流……）

速度剖面接近尾迹流内层的速度剖面定常小量零压力梯度尾迹流的剖面（亏损律）零压力梯度的平板边界层CopyrightbyLiXinliang184.湍CopyrightbyLiXinliang19粘性底层区

湍应力可忽略壁面律总应力保持不变粘性应力湍应力湍流核心区粘性应力可忽略Plantdl混合长模型Karman常数C=5.5（平板）5.1壁面律对数律亏损律过渡区CopyrightbyLiXinliang19粘性底层CopyrightbyLiXinliang20§12.4常用的涡粘性模型

1零方程模型——Baldwin-Lomax(BL)模型术语“N方程模型”指计算湍流粘性系数时，使用了N个偏微分方程零方程模型直接写出的表达式，简便BL模型是Plantdl混合长模型的推广湍流核心区过渡区粘性子层区壁面律对数律亏损律过渡区内层外层混合长模型内层统一表达式尾迹亏损律近壁区趋近于0，远壁区趋近于涡量CopyrightbyLiXinliang20§12CopyrightbyLiXinliang21外层模型外层特点1）间歇性层流-湍流交替出现Klebnoff间歇公式（根据实验得到的经验公式）：1为纯湍流，0为纯层流特点2）类似尾迹流动的亏损律为边界层内的最大速度与最小速度之差内层外层CopyrightbyLiXinliang21外层模型CopyrightbyLiXinliang22外层模型=间歇因子*亏损律边界层厚度不易计算用估算边界层厚度内层内层及外层的设定内层外层CopyrightbyLiXinliang22外层模型CopyrightbyLiXinliang232一方程模型——k-方程模型1）湍动能方程（不可压缩）推导方法获得扰动量的方程，两端乘以并平均即可生成耗散粘性扩散湍流扩散2）k方程模型扩散型湍流扩散——以湍流粘性系数进行的扩散对于一方程模型（k-模型）内部不会产生，也不会消失由量纲分析得出CopyrightbyLiXinliang232一CopyrightbyLiXinliang243一方程模型——Spalart-Allmaras(S-A)模型构造原则：经验+量纲分析湍流场中标量方程的一般形式：对流生成耗散扩散对流

扩散

生成

耗散四大机制假定湍流粘性系数满足上述方程假设：1）生成项与当地涡量成正比剪切越强，湍流越强：符合直观关键的参数这是湍流模型的“主要矛盾”混合长模型也是这么假设的生成项最为关键，对湍流粘性系数的影响最大。更简单的模型（零方程），仅保留了生成项感想：生成项很多情况下都是最重要的

工资是“生成项”，消费是“耗散项”，把钱给其他人（家人、亲朋等）是“扩散项”

显然“生成项”是最重要的。CopyrightbyLiXinliang243一方CopyrightbyLiXinliang252）耗散项与到壁面的距离有关，越远耗散越小湍流粘性系数越大，耗散越大离壁面越近，耗散越大直观3）扩散项简单模化——以层流+湍流粘性系数为扩散系数最终涡粘系数的的控制方程为CopyrightbyLiXinliang252）耗CopyrightbyLiXinliang26近壁修正——保证近壁处湍流粘性系数快速衰减到0衰减函数衰减函数的图像最终的湍流粘性系数CopyrightbyLiXinliang26近壁修正得到方程后，对求导，乘以并平均，得到的方程CopyrightbyLiXinliang274经典的两方程模型——模型

生成耗散扩散主项：小涡拉伸粘性耗散近壁区仍需衰减处理——“低Reynolds数k-e模型”固壁边界条件：与物理情况不符，近壁需要特殊处理得到方程后，对求导，乘以CopyrightbyLiXinliang285k-w两方程模型用w方程代替湍流耗散率e方程由量纲分析得到w的模化方程：生成耗散扩散固壁边界条件：第1个点到壁面的距离k-w模型近壁准确性优于k-e模型；但外层预测准确性不如后者固壁“比耗散率”CopyrightbyLiXinliang285kCopyrightbyLiXinliang296k-wSST(Shear-Stress-transport)两方程模式近壁：k-w

外层：k-e写成统一的k-w形式y较小时趋近于k-w模式y较大时趋近于k-e模式兼具k-w及k-e模式的优点，是目前应用最广泛的湍流模型之一e方程

vs

w

方程

二者非常相近（仅系数差异）CopyrightbyLiXinliang296kCopyrightbyLiXinliang30§12.5非涡粘模型涡粘模型的基本假设：实际使用时，经常不考虑该项不符合物理规律：（涡）粘性是各向同性；雷诺应力为湍流脉动影响——各向异性

舍弃涡粘假设，直接针对构造模型，更为合理合理的不一定好用写出脉动量的方程，乘以并平均，得到雷诺应力的控制方程：生成耗散扩散压力-变形“再分配”对湍能无影响，不同分量之间再次分配分别模化，即可得到Reynolds应力模型（又称“二阶矩模型”）出现三阶统计矩CopyrightbyLiXinliang30§12CopyrightbyLiXinliang31湍流扩散项扩散速度与梯度呈正比假设扩散系数为湍流粘性系数湍流耗散项模型1：假设湍流耗散是各向同性的模型2：考虑各向异性

大小由速度脉动决定该张量幅值为分量大小由速度脉动均方根决定6个自由变量的张量标量

模型3：各向异性

耗散率与Reynolds本身呈正比更为合理出现了湍能耗散率（标量），需要单独给出方程用前文给出的方程即可CopyrightbyLiXinliang31湍流扩散CopyrightbyLiXinliang32Reynolds应力模型推导采用了更为理性的方法——

更多的（严格）公式推导

更为复杂的公式压力-变形项（“再分配项”）模化最为困难——压力-速度关联实验测量困难，数据少

DNS可能发挥很大作用推导思路：脉动压力的控制方程——压力Poisson方程使Reynolds应力趋近于各向同性复杂，计算量大，工程应用不广泛（直觉）“再分配”的特点——

趋近各向同性CopyrightbyLiXinliang32Reyn显然，涡粘模型是一种最简单（各向同性）的代数模型。ASM模型考虑了各向异性效应CopyrightbyLiXinliang33最终，二阶矩模型（雷诺应力模型RSM）为：仅是其中一种模型，还有其他模型代数应力模型（ASM）注：需要与k方程、e方程联立求解某些情况下，RSM的对流项与扩散项可忽略高剪切流动：生成项为主，对流、扩散项很小局部平衡流动：对流与扩散基本抵消得到代数模型：Rodi部分保留了对流与扩散项，得到新的代数模型：注：仍需要与k方程、e方程联立求解显然，涡粘模型CopyrightbyLiXinlianCopyrightbyLiXinliang34§11.5压缩性对湍流模型的影响压缩性效应：

与平均量有关的压缩性效应——外压缩性效应，非本质压缩性效应

与脉动量有关的压缩性效应——内压缩性效应，本质压缩性效应，声效应Morkovin假设：当Mach数不是很高（例如平板边界层Ma<4.5）时，主要以外压缩性效应为主压缩性->近壁温度升高->密度降低->平均速度剖面改变举例：常用措施：通过修正（例如密度加权平均）进行弥补——借用不可压缩的理论常用措施：Favre平均密度加权平均相对于Favre平均的脉动CopyrightbyLiXinliang34§11CopyrightbyLiXinliang35对可压缩N-S方程进行（Reynolds）平均，令密度和压力用Reynolds平均，其他量用Favre平均可压缩N-S方程有大量项利用Favre平均可简化方程推导1）Reynolds平均可压缩N-S方程平均Reynolds应力总能=内能+动能+湍能层流热流湍流热流CopyrightbyLiXinliang35对可压缩CopyrightbyLiXinliang362）Reynolds应力及常用模型涡粘模型

涡粘系数可利用B-L,S-A,k-e,SST等模型计算3）能量方程的模化湍流热流：湍流能量扩散：以层流粘性+湍流粘性扩散——直观CopyrightbyLiXinliang362）R湍流模式理论（RANS）：

计算量较小，但普适性差，很难找到通用的模型§12.6湍流大涡模拟简介原因：湍流脉动的多尺度性大尺度脉动：受几何条件、外部因素影响强烈。复杂、多态、强各向异性思路：小尺度脉动受平均流影响较小，更容易模化大涡模拟（LES）：

流动=大尺度流动+小尺度脉动直接求解通过模型，由大尺度量给出湍流模式理论（RANS）：计算量较小，但普适性差，很难大尺度区惯性区耗散区可压均匀各向同性湍流的能谱受几何条件，外部因素影响强烈，只能直接求解受外部因素影响较弱，容易模化大尺度区惯性区1.控制方程

LES的控制方程（大尺度流动满足的方程）：滤波：亚格子Reynolds应力N-S方程：主项次项1.控制方程LES的控制方程（大尺度流动满足的方程）：滤2.常用的亚格子湍流模型1）涡粘模型各向同性项，并入压力项中涡粘系数分子粘性系数涡粘性系数例：Smagorinsky模型：Cs经验常数，通常0.17形式上与NS方程相同，仅粘性系数不同2.常用的亚格子湍流模型1）涡粘模型各向同性项，并入压2)相似性模型用替代了优点：有物理含义，无自由参数确点：亚格子Reynolds应力预测偏低；

数值稳定性差（应力波动大，易出现负粘性）人为限制：3）梯度模型缺点：稳定性差2)相似性模型用替代了优点：有物理含4）Vremann的涡粘模型第2不变量速度梯度张量优点：

形式简便、易用，计算量小，稳定性好；

具有坐标旋转不变性（标量）；

近壁区衰减为小量；

层流区衰减为小量；

考虑到滤波尺度的各向异性；第2不变量第1不变量不足：含有可人为调节的经验常数；该常数与物理问题、网格、数值方法有关4）Vremann的涡粘模型第2不变量速度梯度张量优点：5）动力学模型原理：利用二次滤波，自动确定其中模型（经验）常数；滤波尺度为的第一次滤波后再作用一次滤波尺度为的第二次滤波，相当于直接用为尺度做一次滤波。（对于Gauss型滤波）Germano恒等式Lonard应力，可直接计算求出系数5）动力学模型原理：利用二次滤波，自动确定其中模型（经验3.近壁处理显然在近壁处亚格子雷诺应力应当趋于0，但很多模型却不满足该条件因此需要采用特殊处理（采用衰减函数）而动力学模型无需衰减函数例如：3.近壁处理显然在近壁处亚格子雷诺应力应当趋于0，因此需要1.背景突出问题：高Re数湍流，LES计算量仍然过大，难以满足工程计算需求内层外层原因：边界层内层（Innerlayer）计算量过大内层涡尺度：外层涡尺度：内、外层网格点数随Re的变化§12.8RANS/LES混合方法简介1.背景突出问题：高Re数湍流，LES计算量仍然过大，难以内在原因：近壁区含能涡尺度小，难以模化，必须用网格分辨；内层外层解决方案：1.采用壁模型；2.LES/RANS混合方法Ref:PiomelliU,BalarasE,Wall-layermodelsforlarge-eddysimulations,Annu.Rev.Fluid.Mech.,34:349-374,2002（关于壁模型）壁模型：无需分辨近壁流场，通过模型，给出第1层网格上的物理量；优点：计算量小；不足：复杂分离流计算效果较差内在原因：近壁区含能涡尺度小，难以模化，必须用网格2.RANS/LES混合方法（混合方法、DES/DDES/IDDES）LESRANS原则：外层用LES，内层用RANS方法1：加权混合方法例：Fanetal.(2004):类似SST模型中

模型与模型的混合;

将模型替代为LES模型Ref:FanT.,TianM,EdwardsJ,HassanH.andBaurleR.HybridLarge-Eddy/Reynolds-AveragedNavier-Stokessimulationsofshock-seperatedflows.J.Spacecr.Rockets.41(6);897-906,2004.2.RANS/LES混合方法（混合方法、DES/DDES方法2：RANS/LES分区计算LESRANS外层:LES计算分界面内层:RANSLES/RANS之间的界面:“硬界面”，预先强制设定

“软界面”，根据流场情况判定常用作为界面存在的问题：界面设定存在人为性方法2：RANS/LES分区计算LESRANS外层:L

原则：数值计算统一基于RANS模型，但对外层的进行限制Ref:SpalartPR,Detached-Eddysimulation,AnnuRev.FluidMech,41:181-202,2009方法3：DES（Detachededdysimulation分离涡模拟）

例：SA-DES（Spalart）其他：基于SST模型的DES,基于k-w模型的DES，……作用：在外层减小了d值，从而增大了的耗散项，最终减小了值。外层大小为LES量级SA-DES:（原SA模型：）耗散项原则：数值计算统一基于RANS模型，但对外层的LES/RANS混合方法（含DES）的不足内层基于RANS,无法提供脉动信息，造成LES区域底层计算失真内层RANS,无脉动信息表现：

“对数律区失配”（Log-LayerMismatch）原因：

内层无脉动信息，造成LES与RANS交界层脉动不足。槽道流量偏高（定摩阻），或摩阻偏低（定流量）RANS应力不足LES/RANS混合方法（含DES）的不足内层基于RANS,避免对数律区失配改进：DDES,IDDES，CLES,……避免了dRANS与dLES之间的“硬切换”总雷诺应力

模型雷诺应力

脉动雷诺应力M区Mismatch区：总雷诺应力不足

脉动不足(受制于底层的RANS),因而脉动雷诺应力较低；DES已切换到LES模型，提供的模型雷诺应力较低；改善方法：1）加大脉动，弥补（如随机扰动法,RALES)2)增加模型雷诺应力（延缓切换到LES）：DDES,IDDES3）控制总应力：如CLES避免对数律区失配改进：避免了dRANS与dLES之间DDES(DelayedDES)bySpalartDESDDES近壁区：RANS远壁区：LES过渡区，介于0-1之间，特点：RANS与LES直接切换（缺少过渡）过渡区，延缓了RANS项LES的切换（缓慢过渡），使得模型Reynolds应力得到了弥补。DDES(DelayedDES)bySpalartIDDES(ImprovedDelayedDES)参考文献：M.

L.Shur,P.

R.Spalart,M.

K.Strelets,andA.

K.Travin."AHybridRANS-LESApproachWithDelayed-DESandWall-ModelledLESCapabilities".InternationalJournalofHeatandFluidFlow.29:6.December2008.1638-1649.IDDES(ImprovedDelayedDES)参考CopyrightbyLiXinliang54作业12.1试推导不可压缩湍动能k

所满足的控制方程。其中：要求：必须给出详细的推导过程，切勿只照抄最终公式参考文献：是勋刚《湍流》第三篇提示：step1)写出脉动量满足的方程step2)两端乘以并平均，即可的k满足的方程

CopyrightbyLiXinliang54作业计算流体力学讲义2020

第十二讲湍流与转捩（1）李新亮知识点：

55CopyrightbyLiXinliang流动稳定性

转捩的预测方法3.湍流的模式理论（RANS）:

涡粘模型：0方程，1方程，2方程4.大涡模拟简介计算流体力学讲义2020知识点：1CopyrightbCopyrightbyLiXinliang56§12.1流动稳定性一、稳定性基本概念常识：流体中的不稳定性K-H不稳定性A.K-H(Kelvin-Helmholtz）不稳定性——自由剪切流的无粘不稳定性混合层——K-H不稳定性K-H不稳定性的关键：速度剖面有拐点Lee-Lin:速度剖面的拐点是无粘不稳定性的必要条件流体不禁搓，一搓搓出涡已知某运动状态；在此基础上施加微小扰动；如扰动随时间（或空间）衰减，则称系统稳定，否则为不稳定CopyrightbyLiXinliang2§12.CopyrightbyLiXinliang57自然界中K-H不稳定性图片智利塞尔扣克岛的卡门涡街澳大利亚Duval山上空的云Kelvin–HelmholtzinstabilitycloudsinSanFrancisco佛兰格尔岛周围的卡门涡街高速流低速流自由剪切层受到扰动界面变形后的情况K-H不稳定性的产生机理受阻减速，压力升高，产生高压区高压导致变形加剧CopyrightbyLiXinliang3自然界中CopyrightbyLiXinliang58B.T-S(Tollmien-Schlichting)不稳定性——不可压

壁面剪切流的粘性不稳定性Mack不稳定性——超声速壁面剪切流的不稳定性不可压边界层速度剖面（Blasius解）——无拐点可压缩情况——Mach数足够高时会出现广义拐点——出现无粘不稳定性不可压缩无粘不稳定性——需存在拐点可压缩无粘不稳定性——需存在广义拐点Mach6钝锥（1°攻角）不同子午面的分布超音速平板边界层的不稳定波第1模态（T-S波）第2模态（Mack模态）CopyrightbyLiXinliang4B.TCopyrightbyLiXinliang59激波密度界面R-M(Richtmyer-Meshkov)不稳定性——激波与密度界面作用的斜压效应惯性约束聚变（ICF）示意图小知识——涡的产生机制：

粘性、斜压、有旋的外力激波密度界面斜压项CopyrightbyLiXinliang5激波密度界CopyrightbyLiXinliang60D.R-T(Reyleigh-Taylor)不稳定性——重力带来的不稳定性R-T(Reyleigh-Taylor)不稳定性重介质轻介质CopyrightbyLiXinliang6D.CopyrightbyLiXinliang61EBarnard热对流不稳定性其他学科的不稳定性：Euler压杆的不稳定性Barnard热对流的胞格结构板壳的不稳定性CopyrightbyLiXinliang7EBCopyrightbyLiXinliang62二、稳定性问题的常用数学方法——线性稳定性分析Step1:得到线性化的扰动方程控制方程为：已知其具有解最好是精确解，也可用高精度的数值解令：舍弃高阶小量，得到线性化的扰动方程（1）

例如：平板的Blasius解，槽道的Poiseuille解线性方程CopyrightbyLiXinliang8二、稳定CopyrightbyLiXinliang63Step2:求解的特征值问题什么条件下具有非零解，非零解如何？通常假设在某些方向具有周期性，转化为一维问题数值方法：将（1）离散——代数方程何时有非零解，非零解如何？——特征值问题什么条件下有非零解？特征值问题计算量巨大，目前通常只能处理一维问题CopyrightbyLiXinliang9StepCopyrightbyLiXinliang64§12.2边界层转捩的预测方法1.经验公式法转捩位置Mach6钝锥边界层表面的摩擦系数分布(Lietal.Phys.Fluid.22，025105，2010.Lietal.AIAAJ.46（11），2899-2913，2008)x

摩阻或热流转捩起始点（transitiononset)转捩峰（transitionpeak)充分发展湍流区球锥的转捩Reynolds数边界层外缘的Mach数动量厚度定义的转捩Reynolds数CopyrightbyLiXinliang10§12CopyrightbyLiXinliang652.eN

方法LST理论：积分起始点

扰动波进入中性曲线后，开始增长，局部增长率为eN理论：扰动波增长到eN倍，即发生转捩N值需要由实验（或经验）确定，通常为8~11,即扰动增长4个量级（10000倍）左右。

在不可压缩及航空领域（亚、跨、超）较为成熟。

在航天领域（高超声速），还有待检验。不足之处：未考虑扰动波进入中性曲线前的衰减过程，没考虑感受性过程。他人的改进：苏彩虹，周恒等——考虑衰减过程

C.H.Su,andH.Zhou,ScienceinChinaG,52(1):115-123(2009).

CopyrightbyLiXinliang112.CopyrightbyLiXinliang663.PSE（抛物化扰动方程）法优点：1）无需平行流假设；2）可处理非线性(N-PSE)Step1:得到扰动的控制方程已知解线性化L-PSEN-PSEStep2:假设扰动具有波动形式振幅，沿x方向是个缓变量（相对y方向而言）Step3:带入扰动方程，得到振幅的控制方程“缓变量”是个很有用的概念，可用来简化方程Plantdl边界层理论就是利用“缓变量”的概念进行简化的。LST的方程是一维的PSE的方程是二维的Step4:利用缓变量性质，舍弃方程中的椭圆项（为高阶小量），得到抛物化的扰动方程沿x方向推进求解（类似时间方向的处理），计算量相当于一维问题。（“抛物化”的优势）非线性项的处理方法与谱方法相似CopyrightbyLiXinliang123.CopyrightbyLiXinliang674.转捩模型法（间歇因子模型）实际粘性系数层流粘性系数湍流粘性系数（由湍流模型给定）湍流间歇因子（0表示纯层流，1表示纯湍流）方法1）

根据经验公式，给定沿流向的分布方法2）

给出

的发展方程，进行求解CopyrightbyLiXinliang134.转CopyrightbyLiXinliang68常识：湍流的间歇性外间歇性：层流及湍流交替出现的现象Mach6钝锥边界层的密度分布（Lietal.PoF22,2010)边界层有清晰锐利的界面（层流区、湍流区“泾渭分明”）湍流信号层流信号内间歇性：湍流脉动的概率密度分布偏离Gauss分布（随机分布）概率论（中心极限定理）——独立随机事件满足Gauss分布偏离Gauss分布——湍流不是完全随机的。既非确定，又非随机——湍流的复杂性CopyrightbyLiXinliang14常识：CopyrightbyLiXinliang69§12.3湍流的工程模式理论——RANS1.为什么用湍流模型N-S方程适用于湍流，但其解过于复杂如果网格分辨率不够，数值解误差较大常用方法——进行平均，求解平均量满足的方程以不可压缩为例研究->推广的可压缩情况压缩折角流动例1：压缩折角流动：如果网格分辨率不足，且不用湍流模型，则分离区过大例2：有攻角机翼流动，如果分辨率不足，且不用湍流模型，则造成“非物理分离”翼型绕流CopyrightbyLiXinliang15§12平进行均CopyrightbyLiXinliang702.Reynolds平均的N-S方程以不可压缩N-S方程为例时间平均；空间平均；系综平均脉动引入平均：RANS比N-S方程多了该项称为Reynolds应力平进行均CopyrightbyLiXinliang16CopyrightbyLiXinliang713.Reynolds平均N-S方程的求解

未知量，必须用已知量表示才能求解湍流模型方法1）Boussinesq涡粘假设（常用）与原先方程的唯一区别：改变了粘性系数程序实现方便的计算模型：0方程（代数模型）：B-L1方程模型:S-A2方程模型：SST方法2）Reynolds应力模型给出的控制方程可并入压力项中CopyrightbyLiXinliang173.CopyrightbyLiXinliang724.湍流边界层的结构及平均速度剖面内层10~20%d外层钝锥边界层的密度分布内层：主要受壁面影响外层：受边界层外部影响

（压力梯度、外部无粘流……）

速度剖面接近尾迹流内层的速度剖面定常小量零压力梯度尾迹流的剖面（亏损律）零压力梯度的平板边界层CopyrightbyLiXinliang184.湍CopyrightbyLiXinliang73粘性底层区

湍应力可忽略壁面律总应力保持不变粘性应力湍应力湍流核心区粘性应力可忽略Plantdl混合长模型Karman常数C=5.5（平板）5.1壁面律对数律亏损律过渡区CopyrightbyLiXinliang19粘性底层CopyrightbyLiXinliang74§12.4常用的涡粘性模型

1零方程模型——Baldwin-Lomax(BL)模型术语“N方程模型”指计算湍流粘性系数时，使用了N个偏微分方程零方程模型直接写出的表达式，简便BL模型是Plantdl混合长模型的推广湍流核心区过渡区粘性子层区壁面律对数律亏损律过渡区内层外层混合长模型内层统一表达式尾迹亏损律近壁区趋近于0，远壁区趋近于涡量CopyrightbyLiXinliang20§12CopyrightbyLiXinliang75外层模型外层特点1）间歇性层流-湍流交替出现Klebnoff间歇公式（根据实验得到的经验公式）：1为纯湍流，0为纯层流特点2）类似尾迹流动的亏损律为边界层内的最大速度与最小速度之差内层外层CopyrightbyLiXinliang21外层模型CopyrightbyLiXinliang76外层模型=间歇因子*亏损律边界层厚度不易计算用估算边界层厚度内层内层及外层的设定内层外层CopyrightbyLiXinliang22外层模型CopyrightbyLiXinliang772一方程模型——k-方程模型1）湍动能方程（不可压缩）推导方法获得扰动量的方程，两端乘以并平均即可生成耗散粘性扩散湍流扩散2）k方程模型扩散型湍流扩散——以湍流粘性系数进行的扩散对于一方程模型（k-模型）内部不会产生，也不会消失由量纲分析得出CopyrightbyLiXinliang232一CopyrightbyLiXinliang783一方程模型——Spalart-Allmaras(S-A)模型构造原则：经验+量纲分析湍流场中标量方程的一般形式：对流生成耗散扩散对流

扩散

生成

耗散四大机制假定湍流粘性系数满足上述方程假设：1）生成项与当地涡量成正比剪切越强，湍流越强：符合直观关键的参数这是湍流模型的“主要矛盾”混合长模型也是这么假设的生成项最为关键，对湍流粘性系数的影响最大。更简单的模型（零方程），仅保留了生成项感想：生成项很多情况下都是最重要的

工资是“生成项”，消费是“耗散项”，把钱给其他人（家人、亲朋等）是“扩散项”

显然“生成项”是最重要的。CopyrightbyLiXinliang243一方CopyrightbyLiXinliang792）耗散项与到壁面的距离有关，越远耗散越小湍流粘性系数越大，耗散越大离壁面越近，耗散越大直观3）扩散项简单模化——以层流+湍流粘性系数为扩散系数最终涡粘系数的的控制方程为CopyrightbyLiXinliang252）耗CopyrightbyLiXinliang80近壁修正——保证近壁处湍流粘性系数快速衰减到0衰减函数衰减函数的图像最终的湍流粘性系数CopyrightbyLiXinliang26近壁修正得到方程后，对求导，乘以并平均，得到的方程CopyrightbyLiXinliang814经典的两方程模型——模型

生成耗散扩散主项：小涡拉伸粘性耗散近壁区仍需衰减处理——“低Reynolds数k-e模型”固壁边界条件：与物理情况不符，近壁需要特殊处理得到方程后，对求导，乘以CopyrightbyLiXinliang825k-w两方程模型用w方程代替湍流耗散率e方程由量纲分析得到w的模化方程：生成耗散扩散固壁边界条件：第1个点到壁面的距离k-w模型近壁准确性优于k-e模型；但外层预测准确性不如后者固壁“比耗散率”CopyrightbyLiXinliang285kCopyrightbyLiXinliang836k-wSST(Shear-Stress-transport)两方程模式近壁：k-w

外层：k-e写成统一的k-w形式y较小时趋近于k-w模式y较大时趋近于k-e模式兼具k-w及k-e模式的优点，是目前应用最广泛的湍流模型之一e方程

vs

w

方程

二者非常相近（仅系数差异）CopyrightbyLiXinliang296kCopyrightbyLiXinliang84§12.5非涡粘模型涡粘模型的基本假设：实际使用时，经常不考虑该项不符合物理规律：（涡）粘性是各向同性；雷诺应力为湍流脉动影响——各向异性

舍弃涡粘假设，直接针对构造模型，更为合理合理的不一定好用写出脉动量的方程，乘以并平均，得到雷诺应力的控制方程：生成耗散扩散压力-变形“再分配”对湍能无影响，不同分量之间再次分配分别模化，即可得到Reynolds应力模型（又称“二阶矩模型”）出现三阶统计矩CopyrightbyLiXinliang30§12CopyrightbyLiXinliang85湍流扩散项扩散速度与梯度呈正比假设扩散系数为湍流粘性系数湍流耗散项模型1：假设湍流耗散是各向同性的模型2：考虑各向异性

大小由速度脉动决定该张量幅值为分量大小由速度脉动均方根决定6个自由变量的张量标量

模型3：各向异性

耗散率与Reynolds本身呈正比更为合理出现了湍能耗散率（标量），需要单独给出方程用前文给出的方程即可CopyrightbyLiXinliang31湍流扩散CopyrightbyLiXinliang86Reynolds应力模型推导采用了更为理性的方法——

更多的（严格）公式推导

更为复杂的公式压力-变形项（“再分配项”）模化最为困难——压力-速度关联实验测量困难，数据少

DNS可能发挥很大作用推导思路：脉动压力的控制方程——压力Poisson方程使Reynolds应力趋近于各向同性复杂，计算量大，工程应用不广泛（直觉）“再分配”的特点——

趋近各向同性CopyrightbyLiXinliang32Reyn显然，涡粘模型是一种最简单（各向同性）的代数模型。ASM模型考虑了各向异性效应CopyrightbyLiXinliang87最终，二阶矩模型（雷诺应力模型RSM）为：仅是其中一种模型，还有其他模型代数应力模型（ASM）注：需要与k方程、e方程联立求解某些情况下，RSM的对流项与扩散项可忽略高剪切流动：生成项为主，对流、扩散项很小局部平衡流动：对流与扩散基本抵消得到代数模型：Rodi部分保留了对流与扩散项，得到新的代数模型：注：仍需要与k方程、e方程联立求解显然，涡粘模型CopyrightbyLiXinlianCopyrightbyLiXinliang88§11.5压缩性对湍流模型的影响压缩性效应：

与平均量有关的压缩性效应——外压缩性效应，非本质压缩性效应

与脉动量有关的压缩性效应——内压缩性效应，本质压缩性效应，声效应Morkovin假设：当Mach数不是很高（例如平板边界层Ma<4.5）时，主要以外压缩性效应为主压缩性->近壁温度升高->密度降低->平均速度剖面改变举例：常用措施：通过修正（例如密度加权平均）进行弥补——借用不可压缩的理论常用措施：Favre平均密度加权平均相对于Favre平均的脉动CopyrightbyLiXinliang34§11CopyrightbyLiXinliang89对可压缩N-S方程进行（Reynolds）平均，令密度和压力用Reynolds平均，其他量用Favre平均可压缩N-S方程有大量项利用Favre平均可简化方程推导1）Reynolds平均可压缩N-S方程平均Reynolds应力总能=内能+动能+湍能层流热流湍流热流CopyrightbyLiXinliang35对可压缩CopyrightbyLiXinliang902）Reynolds应力及常用模型涡粘模型

涡粘系数可利用B-L,S-A,k-e,SST等模型计算3）能量方程的模化湍流热流：湍流能量扩散：以层流粘性+湍流粘性扩散——直观CopyrightbyLiXinliang362）R湍流模式理论（RANS）：

计算量较小，但普适性差，很难找到通用的模型§12.6湍流大涡模拟简介原因：湍流脉动的多尺度性大尺度脉动：受几何条件、外部因素影响强烈。复杂、多态、强各向异性思路：小尺度脉动受平均流影响较小，更容易模化大涡模拟（LES）：

流动=大尺度流动+小尺度脉动直接求解通过模型，由大尺度量给出湍流模式理论（RANS）：计算量较小，但普适性差，很难大尺度区惯性区耗散区可压均匀各向同性湍流的能谱受几何条件，外部因素影响强烈，只能直接求解受外部因素影响较弱，容易模化大尺度区惯性区1.控制方程

LES的控制方程（大尺度流动满足的方程）：滤波：亚格子Reynolds应力N-S方程：主项次项1.控制方程LES的控制方程（大尺度流动满足的方程）：滤2.常用的亚格子湍流模型1）涡粘模型各向同性项，并入压力项中涡粘系数分子粘性系数涡粘性系数例：Smagorinsky模型：Cs经验常数，通常0.17形式上与NS方程相同，仅粘性系数不同2.常用的亚格子湍流模型1）涡粘模型各向同性项，并入压2)相似性模型用替代了优点：有物理含义，无自由参数确点：亚格子Reynolds应力预测偏低；

数值稳定性差（应力波动大，易出现负粘性）人为限制：3）梯度模型缺点：稳定性差2)相似性模型用替代了优点：有物理含4）Vremann的涡粘模型第2不变量速度梯度张量优点：

形式简便、易用，计算量小，稳定性好；

具有坐标旋转不变性（标量）；

近壁区衰减为小量；

层流区衰减为小量；

考虑到滤波尺度的各向异性；第2不变量第1不变量不足：含有可人为调节的经验常数；该常数与物理问题、网格、数值方法有关4）Vremann的涡粘模型第2不变量速度梯度张量优点：5）动力学模型原理：利用二次滤波，自动确定其中模型（经验）常数；滤波尺度为的第一次滤波后再作用一次滤波尺度为的第二次滤波，相当于直接用为尺度做一次滤波。（对于Gauss型滤波）Germano恒等式Lonard应力，可直接计算求出系数5）动力学模型原理：利用二次滤波，自动确定其中模型（经验3.近壁处理显然在近壁处亚格子雷诺应力应当趋于0，但很多模型却不满足该条件因此需要采用特殊处理（采用衰减函数）而动力学模型无需衰减函数例如：3.近壁处理显然在近壁处亚格子雷诺应力应当趋于0，因此需要1.背景突出问题：高Re数湍流，LES计算量仍然过大，难以满足工程计算需求内层外层原因：边界层内层（Innerlayer）计算量过大内层涡尺度：外层涡尺度：内、外层网格点数随Re的变化§12.8RANS/LES混合方法简介1.背景突出问题：高Re数湍