高考数学理(北师大版)大一轮总复习练习4-2平面向量基本定理及坐标表示(含答案解析)

计时双基练二十六平面向量基本定理及坐标表示A组基础必做1．以下各组向量：①e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)；②e1＝(3,5)，e2＝(6,10)；③e1＝(2，－3)，e2＝1，3，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是()24A．①B．①③C．②③D．①②③剖析②中，e1＝1e2，即e1与e2共线，所以不能够作为基底。2答案B2．(2016·宁模拟南)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝()A．(－5，－10)B．(－2，－4)C．(－3，－6)D．(－4，－8)剖析∵a∥b，∴1×m＝2×(－2)，即m＝－4。2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)。答案D3．设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是()A．2B．－2C．±2D．0剖析因为a与b方向相反，所以b＝ma，m<0，则有(4，x)＝m(x,1)，∴4＝mx，解x＝m，得m＝±2。又m<0，m＝－2，x＝m＝－2。答案B4．(2016河·南省开封市高三第一次模拟考试)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N→→→)为AM中点，AN＝λAB＋μAC，则λ＋μ的值为(11A.2B.31C.4D．1剖析∵M为边BC上任意一点，∴可设→AMN为AM

＝→＋→xAByAC(x＋y＝1)。中点，1→1→1→→→AN＝2AM＝2xAB＋2yAC＝λAB＋μAC。1λ＋μ＝2(x＋y)＝2。答案A5．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为()A．(2,0)B．(0，－2)C．(－2,0)D．(0,2)剖析由题意，a＝－2p＋2q＝(－2,2)＋(4,2)＝(2,4)。设a在基底m，n下的坐标为(λ，μ)，则a＝λ(－1,1)＋μ(1,2)＝(－λ＋μ，λ＋2μ)＝(2,4)。－λ＋μ＝2，λ＝0，故解得即坐标为(0,2)。λ＋2μ＝4，μ＝2，答案D6．(2015北·京东城期末)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝23，BC→→→，则μ的取值范围为()＝2，点E在线段CD上，若AE＝AD＋μABA．[0,1]B．[0,3]11，2C.0，2D.2剖析由题意可求得AD＝1，CD＝→→3，所以AB＝2DC。→→因为点E在线段CD上，所以DE＝λDC(0≤λ≤。1)→→→因为AE＝AD＋DE，→→→→→→2μ→又AE＝AD＋μAB＝AD＋2μDC＝AD＋DE，λ2μλ所以λ＝1，即μ＝2。因为0≤λ≤1，所以10≤μ≤，应选项C正确。2答案C7．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC。已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________。剖析由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，能够判断该四边形ABCD是平行四→→，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x，y)，解得(x，y)＝(0，－2)，边形。设D(x，y)，则有AB＝DC即D点的坐标为(0，－2)。答案(0，－2)→→8．已知A(－3,0)，B(0，3)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，OC＝λOA→＋OB，则实数λ的值为________。→→→剖析由题意知OA＝(－3,0)，OB＝(0，3)，则OC＝(－3λ，3)，由∠AOC＝30°知，以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，则tan150°＝3，即－3＝－3，－3λ33λ故λ＝1。答案19．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，ca)，且p∥q，则角C＝________。剖析因为p∥q，则(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，222所以a2＋b2－c2＝ab，a＋b－c＝1，2ab2依照余弦定理知，cosC＝12，又0°<C<180°，所以C＝60°。答案60°10．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)。求：(1)|a＋3b|；(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？解(1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(7,3)，故|a＋3b|＝72＋32＝58。(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)，因为ka－b与a＋3b平行，1所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－。7此时ka－b＝(k－2，－1)＝－3，－1，a＋3b＝(7,3)，则a＋3b＝－3(ka－b)，即此时向量a＋3b与ka－b方向相反。11．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)。(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d。解(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，5－m＋4n＝3，m＝9，∴得2m＋n＝2，8。n＝9(2)∵a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，k＝－16。13(3)设d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，由题意得－－－＝0，2＋－2＝5，－x＝3，x＝5，得或故d＝(3，－1)或(5,3)。y＝－1y＝3。B组培优演练1．在△ABC中，点P是AB上的一点，且→2→1→CP＝CA＋CB，Q是BC的中点，AQ与33→→)CP的交点为M，又CM＝tCP，则t的值为(12A.2B.334C.4D.5剖析→2→1→→→→→→→→→因为CP＝CA＋CB，所以3CP＝2CA＋CB，即2CP－2CA＝CB－CP，所以2AP33→的一个三均分点。因为→→＝PB，故P是ABA、M、Q三点共线，所以可设CM＝xCQ＋(1－→→x→→→→→x)·CA，则CM＝CB＋(x－1)AC(0<x<1)，又CB＝AB－AC，所以2

→＝x→＋CM2AB

x－1→。AC2→→→→1→→→，所以x→x－1→因为CP＝CA－PA＝－AC＋3AB，且CM＝tCP(0<t<1)2AB＋AC＝2→1→xtx3t－AC＋AB，所以2＝，－1＝－t，解得t＝，应选C。3324答案C2．(2016九·江模拟)P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量会集，则P∩Q等于________。剖析P中，a＝(－1＋m,1＋2m)，Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)。则－1＋m＝1＋2n，m＝－12，1＋2m＝－2＋3n。得n＝－7。此时a＝b＝(－13，－23)。答案{(－13，－23)}→→→A，3．设OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若B，C三点不能够构成三角形，则1＋2的最小值为________。ab剖析→→→AB＝OB－OA＝(a－1,1)，→→→。AC＝OC－OA＝(－b－1,2)由题意可知，A，B，C三点共线，∴→∥→。ABAC2(a－1)－(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，且a>0，b>0。1212a＋b＝a＋b(2a＋b)b＋4ab4a＝4＋≥4＋2·＝8。abab当且仅当b＝4a，即b＝1，a＝1时取等号。ab241＋2的最小值是8。ab答案8→→→，试问：4．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP＝OA＋tAB(1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？在第三象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形，若能，求出相应的t值；若不能够，请说明原由。解→→(1)∵OA＝(1,2)，AB＝(3,3)，→→→∴