数理统计作业三

数理统计作业三数理统计作业三数理统计作业三xxx公司数理统计作业三文件编号：文件日期：修订次数：第1.0次更改批准审核制定方案设计，管理制度第一部分统计基础与概率计算（共10题，10分/题）某人在每天上班途中要经过3个设有红绿灯的十字路口。设每个路口遇到红灯的事件是相互独立的，且红灯持续24秒而绿灯持续36秒。试求他途中遇到红灯的次数的概率分布及其期望值和方差、标准差。解：读题可知每个路口遇到红灯的概率是P=24／（24+36）=假设遇到红灯的次数为X，则，X～B（3,），概率分布如下0次遇到红灯的概率P0=（）3=1次遇到红灯的概念P1=（）2*=2次遇到红灯的概念P2=（）*=3次遇到红灯的概念P3==期望：E（x）=nP=*3=方差：D(X)=δ2=nPq=*3*=标准差：2.一家人寿保险公司某险种的投保人数有20000人，据测算被保险人一年中的死亡率为万分之5。保险费每人50元。若一年中死亡，则保险公司赔付保险金额50000元。试求未来一年该保险公司将在该项保险中（这里不考虑保险公司的其它费用）：（1）至少获利50万元的概率；（2）亏本的概率；（3）支付保险金额的均值和标准差。解：设被保险人死亡数为X，X～B(20000，总收入为2万×50=100万，要获利至少50万，则赔付的保险金额应该不超过50万，也就是被保险的人当中死亡人数不能超过10人，精确点就是用二项分布来做，但是由于20000这个数比较大，就可以用正态近似来做，就是认为死亡人数服从和原二项分布的均值方差相同的正态分布，结用正态函数表示。概率为P（X≤10）=（2）亏本的概率就是死亡人数大于20人的概率，思路如上P（X＞20）=1-P(X≤20)=(3)支付保险金额的均值＝50000×E(X)＝50000×np=50000×20000×（元）＝50（万元）支付保险金额的标准差＝50000×σ(X)＝50000×[np(1-p)]1/2=50000×(20000××1/2＝158074（元）3.对题2的资料，试问：（1）可否利用泊松分布来近似计算（2）可否利用正态分布来近似计算（3）假如投保人只有5000人，可利用哪种分布来近似计算解：(1)由于泊松分布的特点为，当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当n≧10,p≦时，就可以用泊松公式近似得计算λ=np=20000×=10P(X≤10)=P(X=0)+P(X=1)+…+P(X=10)=010λk比较两题的结果，可以知道泊松分布适用于此题。(2)可以。尽管p很小，但由于n非常大，np和np(1-p)都大于5，二项分布也可以利用正态分布来近似计算。本例中，np=20000×=10，np(1-p)=20000××=，即有X～N(10,。相应的概率为：P(X≤＝，P(X≤＝。可见误差比较大。(3)由于p＝，假如n=5000，则np＝<5，二项分布呈明显的偏态，用正态分布来计算就会出现非常大的误差。当n≧10,p≦时，就可以用泊松公式计算。4.某企业收购进甲、乙、丙三厂生产的同样规格的产品，在总收购量中甲、乙、丙三厂的产品各占40％、35％和25％。甲、乙、丙三厂生产的次品率分别为1％、2％和3％。若从总购量中任取1件检查，问：(1)该件产品是次品的概率是多少(2)如果抽到的产品是次品，那么所抽到的产品恰好是甲厂生产的概率是多少恰好是乙厂和丙厂生产的概率各是多少解：抽检到次品的概率为P=40%×1%+35%×2%+25%×3%=%恰好是甲厂的概率为：P甲=40%×1%/%=%恰好是乙厂的概率为：P乙=35%×2%/%=%恰好是丙厂的概率为：P丙=25%×3%/%=%5.据某地过去气象记录，在11月的30天中平均有2天是雨天，假定11月每天是否下雨如同重复试验一样服从二项分布。(1)这种假定是否合理(2)接二项分布计算，次年11月最多有2天是雨天的概率是多少解：按照题意，在每次试验只有两种结果下雨或者不下雨，而且两种结果发生与否互相对立互不影响，且实验结果试验次数无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，因此这种假定合理。下雨概率P=2/30=，设下雨天数＝X，X～B(30，则最多有两天的概率为P(X≤2)＝6.应用普哇松分布计算500人中至多有1人在元旦出生的概率(假定1年是365天)。解：至多有一人在元旦出生，换句话说就是500人当中没有人，或者只有一个人在元旦出生的概率。P（X≤1）=P(X=0)+P(X=1)=（364

7.已知生产产品时废品的概率为，现每盒装100个产品。问：(1)在1盒中没有废品的概率是多少(2)在1盒中有1个废品的概率是多少(3)若要求以99％的概率保证每盒有100个合格品，每盒至少要装多少产品解：（1）设盒中废品数量＝X，因此，X～B(100，P（X=0）=((2)P（X=1）=设每盒产品为n个，合格品数量服从二项分布：X～B(n，P(X≥100)≥0.99或P(X＜100)≤根据中心极限定理，二项分布的正态近似8.某厂生产一批小型装置，设已知该小型装置的平均寿命为10年，标准差为2年。如果该小型装置的寿命服从正态分布，问：(1)整批小型装置不小于9年的比重是多少(2)整批小型装置不小于11年的比重是多少(3)如果工厂规定在保用年限期间遇有故障可免费换新，今要求免费换新率限制在3％以内，保用年限有多长解：（1）设比重为Y年F(Y≥9)=1-F（Y≤9）=1-Ф（10-92）=1-Ф查正太表知道Ф（12）=所以F(Y≥9)(2)F(Y≥11)=1-F(Y≤11）=Ф（11-102）=Ф（12）(3)P(X<=n)=Φ((n-10)/2)=可得n=，则保用年限至多为6年。Excel：SPSS：9.某种电开关寿命(年)具有失效率K＝1/2的负指数分布。若有100个此种开关装在不同系统中，那么在第一年最多有30个失效的概率是多少解：1个开关在第一年的失效率是X～Exp。P(X<1)≈。100个开关有第一年有30个失效的概率服从Y～B(100,。则P(Y<=30)≈。Excel：SPSS：1个1年失效概率100个中30个内失效概率10.某投资者考虑将1000美元投资于n=5种不同的股票。每一种股票月收益率的均值为μ=10%，标准差σ=4%。对于这五种股票的投资组合，投资者每月的收益率是。投资者的每月收益率的方差是，它是投资者所面临风险的一个度量。⑴假如投资者将1000美元仅投资于这5种股票的其中3种，则这个投资者所面对的风险将会增加还是减少请解释；⑵假设将1000美元投资在另外10种收益率与上述的完全一样的股票，试度量