初中数学专题《整式乘法与因式分解》含答案解析

专题04整式的乘法与因式分解1．同底数幂的乘法

同底数幂的乘法法则：（m，n都是正整数）；同底数幂相乘，底数不变，指数相加．注意底数可以是多项式或单项式．2．幂的乘方幂的乘方法则：（m，n都是正整数），幂的乘方，底数不变，指数相乘．幂的乘方法则可以逆用：即．3．积的乘方法则：（n是正整数）．积的乘方，等于各因数乘方的积．4．整式的乘法（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（2）单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即（都是单项式）．（3）多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（4）同底数幂的除法法则：（都是正整数，且），同底数幂相除，底数不变，指数相减．（5）零指数：，即任何不等于零的数的零次方等于1．（6）单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，若只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．（7）多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所得的商相加．即：．5．平方差公式：，注意平方差公式展开只有两项．公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．右边是相同项的平方减去相反项的平方．6．完全平方公式：完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样．公式的变形使用：（1）；；；．（2）三项式的完全平方公式：．7．提公因式法

（1）会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分：系数、字母、指数①系数——各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．（3）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的．8．公式法

运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：（1）平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；（2）完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2；a2-2ab+b2=（a-b）2．考点一、同底数幂的乘法例1（2020重庆）计算结果正确的是（）A．a B．a2C．a3 D．a4【答案】C【解析】了同底数幂的乘法运算，，故选C．【名师点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．考点二、幂的乘方例2（2020衢州）计算：，正确结果是（）A．a5 B．a6 C．a8 D．a9【答案】B【解析】（a2）3＝a6，故选B．【名师点睛】本题主要考查幂的乘方，底数不变，指数相乘的性质，熟练掌握性质是解题的关键．考点三、积的乘方例3（2020陕西）计算：=A． B． C． D．【答案】C【解析】=，故选C．【名师点睛】本题考查积的乘方的运算，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．考点四、单项式乘单项式例4（2020台州）计算2a2•3a4的结果是（）A．5a6 B．5a8 C．6a6 D．6a8【答案】C【解析】2a2•3a4＝6a6．故选：C．【名师点睛】本题考查的是单项式乘单项式，解答本题的关键是熟练掌握单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．考点五、单项式乘多项式例5（2020桂林）计算：=______.【答案】．【解析】根据单项式乘多项式的法则，把单项式与多项式的每一项相乘，=，故答案为：．【名师点睛】本题考查的是单项式乘多项式，解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．考点六、多项式乘多项式例6（2020焦作模拟）计算（x+y）（x2﹣xy+y2）【答案】x3+y3．【解析】（x+y）（x2﹣xy+y2），＝x3﹣x2y+xy2+x2y﹣xy2+y3，＝x3+y3．【名师点睛】此题考查多项式的乘法，关键是根据多项式乘法的法则解答．考点七、整式的除法例7（2020吉林）下列运算正确的是（）A．B．C． D．【答案】D【解析】A、，原计算错误，故此选项不符合题意；B．，原计算错误，故此选项不符合题意；C．，原计算错误，故此选项不符合题意； D．，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．【名师点睛】此题主要考查了整式的运算，正确掌握运算法则是解题关键．考点八、乘法公式的应用例8（2020枣庄）图（1）是一个长为2a，宽为2b的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．abB．(a+b)2C．(a-b)2 D．a2-b2【答案】C【解析】中间部分的四边形式正方形，边长是a+b-2b=a-b,则面积是(a-b)2，故选：C．【名师点睛】本题考查了整式的运算，正确表示出小正方形的边长是解题的关键．考点九、运用提公因式法分解因式例9（2020沈阳）因式分解：2x2+x=______．【答案】x（2x+1）.【解析】2x2+x=x（2x+1）.故答案为：x（2x+1）.【名师点睛】本题考查了提取公因式法，正确找出公因式是解本题的关键．考点十、运用提公因式法、公式法分解因式例10（2020深圳）分解因式：m3-m=.【答案】.【解析】【名师点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．考点十一、因式分解的综合运用10.（2020西藏）下列分解因式正确的一项是（）A．x2-9=（x+3）（x-3）B．2xy+4x=2（xy+2x）C．x2-2x-1=（x-1）2 D．x2+y2=（x+y）2【答案】A.【解析】A、原式=（x+3）（x-3），符合题意；B、2xy+4x=2x（y+2）；不符合题意；C、原式不能分解，不符合题意；D、原式不能分解，不符合题意．故选：Ａ．【名师点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．一、选择题1.（2020黔南州）下列运算正确的是（）A．（a3）4=a12 B．a3·a4=a12C．a2+a2=a4 D．（ab）2=ab2【答案】A【解析】（a3）4=a3×4=a12，故A正确；∵a3·a4=a7，故B错误；∵a2+a2=2a2，故C错误；（ab）2=a2b2，故D错误．故选A．2.（2020河北）对于①x-3xy=x（1-3y），②（x+3）（x-1）=x2+2x-3，从左到右的变形，表述正确的是（）A.都是因式分解B.都是乘法运算C.①是因式分解②是乘法运算D.①是乘法运算②是因式分解【答案】C【解析】①x-3xy=x（1-3y），从左到右的变形都是因式分解；②（x+3）（x-1）=x2+2x-3，从左到右的变形是乘法运算，不是因式分解；所以①是因式分解，②是乘法运算.故选：C.3.（2020德阳）下列运算正确的是（）A．a2·a3=a6 B．（3a）3=9a3C．3a-2a=1 D．（-2a2）3=-8a6【答案】D.【解析】A选项，a2·a3=a5，故错误；B选项，（3a）3=27a3，故错误；

C选项，3a-2a=a，故错误；

D选项，（-2a2）3=-8a6，D正确.

故选D．4．计算（）2021×1.52020×（-1）2022的结果是（）A． B．C．- D．-【答案】A【解析】，故选A．5．（2020眉山）已知a2+b2=2a-b-2，则3a-b的值为（）A.4B.2C.-2D.-4【答案】A.【解析】∵a2+b2=2a-b-2∴a2-2a+1+b2+b+1=0，∴（a-1）2+（b+1）2=0，∴a-1=0，b+1=0，∴a=1，b=-2，∴3a-b=3+1=4.故选：A.6.（2020益阳）下列因式分解正确的是（）A.a（a-b）-b（a-b）=（a-b）（a+b）B.a2-9b2=（a-3b）2C.a2+4ab+4b2=（a+2b）2D.a2-ab+a=a（a-b）【答案】C.【解析】A.a（a-b）-b（a-b）=（a-b）2，故此选项错误；B.a2-9b2=（a-3b）（a+3b），故此选项错误；C.a2+4ab+4b2=（a+2b）2，正确；D.a2-ab+a=a（a-b+1），故此选项错误.故选：C.5．化简的结果正确的是（）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】==．故选C．7．(2020青海)下面是某同学在一次测试中的计算：①3m2n-5mn2=2mn；②2a2b（-2a2b）=-4a6b；③（a3）2=a5;④（-a3）÷（-a）=a2．其中运算正确的个数为（）A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】D【解析】①3m2n与5mn2不是同类项；不能合并，计算错误；②2a2b（-2a2b）=-4a5b2；计算错误；③（a3）2=a6;计算错误；④（-a3）÷（-a）==（-a）3-1=a2．计算正确；故选D．8.（2020郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形，这两个图能解释下列哪个等式（）A.x2-2x+1=（x-1）2B.x2-1=（x+1）（x-1）C.x2+2x+1=（x+1）2D.x2-x=x（x-1）【答案】B.【解析】由图可知，图1的面积为：x2-12，图2的面积为：（x+1）（x-）所以x2-1=（x+1）（x-），故选：B．9．一次课堂练习，一位同学做了4道因式分解题，你认为这位同学做得不够完整的题是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】．故选D．10．(2020荆门一模)已知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是（）A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．﹣1【答案】A【解析】∵xy＝﹣3，x+y＝2，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝﹣6故选：A．二、填空题11.(2020株洲)因式分解：_____．【答案】．【解析】12．计算：（a-b）（a+b）=______；（-2x-5）（2x-5）=_____．【答案】；【解析】，．13．(2020焦作期末)如果（nx+1）（x2+x）的结果不含x2的项（n为常数），那么n＝．【答案】﹣1．【解析】（nx+1）（x2+x）＝nx3+nx2+x2+x＝nx3+（n+1）x2+x，∵（nx+1）（x2+x）的结果不含x2的项，∴n+1＝0，解得n＝﹣1，故答案为：﹣1．14.(2020宜昌)数学讲究记忆方法．如计算时，若忘记了法则，可以借助（a5）2=a5×a5=a5+5=a10，得到正确答案．你计算（a2）5-a3×a7的结果是．【答案】0．【解析】（a2）5-a3×a7=a10-a10=0．故答案为：0．15.（2020成都）已知a=7-3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为______．【答案】49.【解析】∵a=7-3b，∴a+3b=7，∴a2+6ab+9b2=（a+3b）2=72=49，故答案为：49．16.（2020咸宁模拟）若整式x2+my2（m为常数，且m≠0）能在有理数范围内分解因式，则m的值可以是（写一个即可）．【答案】﹣1【解析】令m＝﹣1，整式为x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．故答案为：﹣1（答案不唯一）．17.（2020衢州）定义a※b=a（b+1），例如2※3=2×(3+1)=2×4=8，则（x-1）※x的结果为______．【答案】x2-1【解析】根据题意得：（x-1）※x=（x-1）（x+1）=x2-1．故答案为：x2-1．三、解答题18.（2020武汉模拟）计算：（1）a3•a2•a4+（﹣a）2；（2）（x2﹣2xy+x）÷x【答案】（1）a9+a2；（2）x﹣2y+1．【解析】（1）a3•a2•a4+（﹣a）2＝a9+a2；（2）（x2﹣2xy+x）÷x＝x﹣2y+1．19．分解因式：（1）（m2+3m）2-8（m2+3m）-20；（2）4a2bc-3a2c2+8abc-6ac2；（3）（y2+3y）-（2y+6）2．【答案】详解见解析．【解析】（1）==．（2）===．（3）===．20.（1）（2020长春模拟）先化简，再求值：(2a+1)2-4a(a-1)，其中．（2）（2020梧州一模）先化简，再求值：，其中．【答案】（1）2；（2）．【解析】（1）原式=4a2+4a+1-4a2+4a=8a+1，

当时，原式=8a+1=2．（2）原式，当时，原式．21.（2020荆州一模）利用因式分解简便计算：（1）57×99+44×99-99；（2）．【答案】详解见解析．【解析】（1）57×99+44×99-99=（57+44–1）×99=100×99=9900．（2）=．22.（2020黄冈模拟）如图，某市有一块长为（2a+b）米，宽为（a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．（1）试用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？（2）若a＝3，b＝2，请求出绿化面积．【答案】（1）a2+3ab+b2；（2）31平方米．【解析】（1）绿化的面积是（2a+b）（a+b）﹣a2＝2a2+3ab+b2﹣a2＝a2+3ab+b2；（2）当a＝3，b＝2时，原式＝9+3×2×3+4＝31平方米．23.（200江西模拟）图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中实现用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．（1）图b中，大正方形的边长是．阴影部分小正方形的边长是；（2）观察图b，写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的一个等量关系，并说明理由．【答案】（1）m+n；m﹣n；（2）见解析．【解析】（1）由图b可得，大正方形的边长是m+n，阴影部分小正方形的边长是m﹣n；故答案为：m+n；m﹣n；（2）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn．理由如下：右边＝（m+n）2﹣4mn＝m2+2mn+n2﹣4mn＝m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2＝左边，所以结论成立．24．探究题：观察下列式子：（x2-1）÷（x-1）=x+1；（x3-1）÷（x-1）=x2+x+1；（x4-1）÷（x-1）=x3+x2+x+1；（x5-1）÷（x-1）=x4+x3+x2+x+1；（1）你能得到一般情况下的结果吗？（n为正整数）（2）根据（1）的结果计算：1+2+22+23+24+…+262+263．【答案】详解见解析．【解析】由题意可得：（1）…+1；（2）．25.（2020内江）我们知道，任意一个正整数x都可