2020高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.2.1 平行直线练习（含解析）2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE10-学必求其心得，业必贵于专精第1课时平行直线对应学生用书P27知识点一平行直线1．如下图中,ABCD－A′B′C′D′为长方体，底面是边长为a的正方形，高为2a，M，N分别是CD和AD的中点．(1)判断四边形MNA′C′的形状；（2）求四边形MNA′C′的面积．解（1)连接AC．因为M,N分别是CD和AD的中点,所以MN綊eq\f（1,2）AC．因为ABCD－A′B′C′D′为长方体，所以四边形ACC′A′为矩形．所以A′C′綊AC,所以MN綊eq\f(1,2)A′C′,所以四边形MNA′C′是梯形．在△A′AN和△C′CM中，因为∠A′AN＝∠C′CM＝90°，A′A＝C′C＝2a，AN＝CM＝eq\f(1，2)a，所以△A′AN≌△C′CM．所以A′N＝C′M．所以四边形MNA′C′是等腰梯形．(2）由A′C′＝eq\r(2）a,MN＝eq\f(\r(2),2)a，A′N＝C′M＝eq\f（\r(17)，2)a，得梯形高h＝eq\f（\r（66），4)a，所以S＝eq\f(3\r(33),8）a2．故四边形MNA′C′的面积为eq\f（3\r（33）,8)a2．知识点二等角定理2．如图,已知直线a,b为异面直线，A,B，C为直线a上三点,D，E，F为直线b上三点，A′,B′，C′，D′,E′分别为AD,DB，BE，EC，CF的中点．求证:∠A′B′C′＝∠C′D′E′．证明∵A′,B′分别是AD，DB的中点，∴A′B′∥a，同理C′D′∥a，B′C′∥b，D′E′∥b，∴A′B′∥C′D′，B′C′∥D′E′．又∠A′B′C′的两边和∠C′D′E′的两边的方向都相同，∴∠A′B′C′＝∠C′D′E′．3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E，F，G分别是棱CC1，BB1及DD1的中点，证明：∠BGC＝∠FD1E．证明∵E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1,DD1的中点，∴CE綊GD1，BF綊GD1．∴四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形．∴GC綊D1E，GB綊D1F．又∠BGC与∠FD1E对应两边的方向相同，∴∠BGC＝∠FD1E．知识点三空间四边形4．如图，空间四边形ABCD中,E，H分别是AB，AD的中点,F，G分别是CB，CD上的点，且eq\f(CF,CB)＝eq\f（CG，CD)＝eq\f(2,3)．若BD＝6cm，梯形EFGH的面积为28cm2，则平行线EH与FG间的距离为________．答案8cm解析FG＝eq\f（2,3)BD＝4cm，EH＝eq\f(1，2)BD＝3cm，EH∥FG，故EFGH为梯形，S梯形EFGH＝eq\f(1,2)（EH＋FG)·h＝28cm2，即eq\f(7，2)h＝28cm2⇒h＝8cm．5．已知空间四边形ABCD中，E,F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．（1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)若∠HEF＝60°，AC＝6，BD＝8，求四边形EFGH的面积;(3)若AC＝BD，则四边形EFGH是什么图形?解(1）证明：在△ABD中,E，H分别为AB,AD的中点，∴EH綊eq\f（1,2）BD,同理FG綊eq\f(1，2）BD,∴EH綊FG，∴四边形EFGH是平行四边形．(2)∵BD＝8，∴EH＝4，同理由AC＝6,得EF＝3，∴S▱EFGH＝EF·EH·sin∠HEF＝3×4×sin60°＝6eq\r(3）．∴四边形EFGH的面积为6eq\r(3)．(3）∵AC＝BD，∴EF＝EH,∴四边形EFGH为菱形．对应学生用书P28一、选择题1．设AA′是长方体的一条棱，这个长方体中与AA′平行的棱共有()A．1条B．2条C．3条D．4条答案C解析AA′∥BB′∥CC′∥DD′．2．下列命题中,结论正确的有()(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等;（2）如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等；（3)如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行．A．0个B．1个C．2个D．3个答案C解析如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补,故(1)错误；（2）正确；(3)正确．故选C．3．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b（）A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案C解析若c∥b，又∵c∥a,由基本性质4可知a∥b，这与a,b是异面直线矛盾，∴b与c不可能是平行直线．4．异面直线a,b分别在平面α，β内,且α∩β＝l，则直线l(）A．与直线a，b都相交B．至少与a，b中的一条相交C．至多与a，b中的一条相交D．与a，b中的一条相交，另一条平行答案B解析若l与a，b都不相交．∵l与a都在α内，∴a∥l，l与b都在β内，∴b∥l．由基本性质4可知，a∥b与条件矛盾．5．空间四边形ABCD中，给出下列说法:①直线AB与CD异面；②对角线AC与BD相交；③四条边不能都相等;④四条边的中点组成一个平行四边形．其中说法正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案B解析本题主要考查空间四边形，关键要理解空间四边形的概念．由定义知①正确；②错误,否则A，B，C，D四点共面;③不正确,可将一个菱形沿一条对角线折起一个角度，就成为四边相等的空间四边形；④正确，由平行四边形的判定定理可证．二、填空题6．已知E，F,G，H为空间中的四个点,且E，F,G，H不共面，则直线EF和GH的位置关系是________．答案异面解析假设共面，则E，F，G，H共面，不正确．7．三条直线两两平行且不共面，它们可以确定________个平面．答案3解析任意两条平行线确定一个平面，一共可以确定3个平面．8．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面,则a，b在α上的射影有可能是:①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线;④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．答案①②④解析利用正投影的定义，可能是①②④．三、解答题9．梯形ABCD中,AB∥CD,E，F分别为BC和AD的中点，将平面CDFE沿EF翻折起来，使CD与C′D′中的位置重合,G，H分别为AD′和BC′的中点,求证:四边形EFGH为平行四边形．证明如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点,∴EF∥AB且EF＝eq\f（1，2）（AB＋CD）,又∵C′D′∥EF，∴C′D′∥AB，∵G，H分别为AD′，BC′的中点，∴GH∥AB且GH＝eq\f（1，2)(AB＋C′D′)＝eq\f（1,2）(AB＋CD),∴GH綊EF，∴四边形EFGH为平行四边形．10．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AE＝A1E1，AF＝A1F1，P∈E1F1．（1）过P作一条直线与棱CD平行，说明怎样作；（2)求证:EF∥E1