2020高中数学 第一章 立体几何初步 .1 垂直关系的判定 第二课时 平面与平面垂直的判定学案 2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE15学必求其心得，业必贵于专精第二课时平面与平面垂直的判定［学习目标］1.理解二面角的有关概念．2。会求简单的二面角的大小．3。掌握两平面垂直的判定定理。【主干自填】1．二面角及其平面角（1)半平面：一个平面内的一条直线,把这个平面分成eq\o(□,\s\up3(01))两部分，其中的eq\o(□,\s\up3(02)）每一部分都叫作半平面．(2）二面角：从一条直线出发的eq\o(□，\s\up3（03)）两个半平面所组成的图形叫作二面角,这条直线叫作二面角的eq\o(□,\s\up3（04)）棱,这两个半平面叫作二面角的eq\o（□,\s\up3（05)）面．(3)二面角的记法．如图，记作：二面角eq\o（□,\s\up3(06）)α－AB－β.（4)二面角的平面角．以二面角的棱上eq\o（□，\s\up3(07))任一点为端点,在两个半平面内分别作eq\o（□,\s\up3（08)）垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是eq\o(□,\s\up3(09))直角的二面角叫作直二面角．如图二面角α－l－β，若有①Oeq\o(□，\s\up3（10）)∈l；②OAeq\o（□,\s\up3（11）)α，OBeq\o(□,\s\up3（12))β；③OAeq\o（□,\s\up3（13）)⊥l，OBeq\o（□，\s\up3（14））⊥l，则∠AOB就叫作二面角α－l－β的平面角．2．两个平面互相垂直（1)两个平面互相垂直的定义:两个平面相交，如果所成的二面角是eq\o（□，\s\up3(15))直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)两个平面互相垂直的判定定理【即时小测】1．思考下列问题（1）如何用字母来记作二面角？提示：如图，棱为AB，面分别为α,β的二面角记作二面角α－AB－β。有时为了方便，也可在α，β内(棱以外的半平面部分）分别取点P,Q，将这个二面角记作二面角P－AB－Q。如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α－l－β或P－l－Q。（2)判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有其他的判定定理吗?提示：面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．这个定理简称“线面垂直，则面面垂直"．2．下列说法：①两个相交平面组成的图形叫作二面角;②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直,则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是（）A．①③B．②④C．③④D．①②提示：B3．设l是直线，α，β是两个不同的平面（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α,l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α,则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β提示:B对于选项A，两平面可能平行也可能相交;对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β;对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．4．如图，已知：PA垂直于圆O所在平面．AB是圆O的直径，C是圆周上一点．则图中垂直的平面共有________对．提示：3平面PBC⊥平面PAC;平面PAC⊥平面ABC；平面PAB⊥平面ABC。例1如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,点E在侧棱PB上．求证：平面AEC⊥平面PBD.［证明］∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴PD⊥AC.又ABCD为正方形,AC⊥BD，PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PBD。又AC平面AEC，∴平面AEC⊥平面PBD。类题通法证明平面与平面垂直常用的两种方法(1）证明一个平面过另一个平面的一条垂线．(2）证明二面角的平面角是直角．eq\a\vs4\al([变式训练1］)在四面体A－BCD中，BD＝eq\r（2)a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a,如图．求证:平面ABD⊥平面BCD。证明∵△ABD是等腰三角形，∴取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD。在△ABD中，AB＝a,BE＝eq\f(1，2)BD＝eq\f（\r(2）,2)a，∴AE＝eq\r(AB2－BE2）＝eq\f（\r（2），2）a.同理CE＝eq\f（\r(2),2）a。在△AEC中，AE＝CE＝eq\f(\r(2),2）a。AC＝a，∴AC2＝AE2＋CE2，∴AE⊥CE。又BD∩CE＝E，∴AE⊥平面BCD.又AE平面ABD,∴平面ABD⊥平面BCD.例2如图所示,正方体ABCD－A1B1C1D1中,E为AA1中点，求平面B1DE和底面ABCD[解］延长B1E和BA交于点F，连接DF，则DF是所求二面角的棱,∵E是AA1的中点,故B1E＝EF，从而AF＝AB＝CD，∴四边形FACD为平行四边形,∴DF∥CA。∵CA⊥BD，∴DF⊥DB.∵B1B⊥平面ABCD，∴BB1⊥DF，DF⊥平面BB1D，故B1D⊥DF.∴∠B1DB是所求二面角的平面角．∴在Rt△B1BD中，tan∠B1DB＝eq\f（B1B,BD)＝eq\f（\r(2），2)。故平面B1DE与底面ABCD所成二面角的正切值为eq\f(\r(2）,2）.类题通法求二面角大小的步骤（1）找出这个平面角．（2）证明这个角是二面角的平面角．(3）作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．eq\a\vs4\al([变式训练2]）如图所示，在△ABC中,AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC,SC于D，E，SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小．解∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥AC，SA⊥BC,SA⊥AB，SA⊥BD.由已知SC⊥ED，SE＝EC，SB＝BC.∴SC⊥BE，∵DE∩BE＝E，∴SC⊥平面BED，∴SC⊥BD。又∵BD⊥SA,SC∩SA＝S，∴BD⊥平面SAC.∵AC平面SAC，∴BD⊥AC.同理BD⊥DE,即∠EDC是二面角E—DB—C的平面角．设SA＝1，则SA＝AB＝1，而AB⊥BC，∴SB＝BC＝eq\r(2)，∴SC＝2，在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，∴∠EDC＝60°。∴二面角E－BD－C为60°.例3如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F。求证：（1）平面AEF⊥平面PBC；（2)PB⊥EF。[证明]（1）∵AB是⊙O的直径，C在圆上，∴AC⊥BC.又PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC。又AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.又AF平面PAC，∴BC⊥AF.又AF⊥PC，PC∩BC＝C，∴AF⊥平面PBC。又AF平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC.(2)由（1)知AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB。又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.又EF平面AEF，∴PB⊥EF。类题通法解决线线、线面、面面垂直关系要注意三种垂直关系的转化关系，即线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直.eq\a\vs4\al([变式训练3]）如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点,求证：(1)DE＝DA；（2)平面BDM⊥平面ECA;（3)平面DEA⊥平面ECA.证明(1）如图,取EC的中点F，连接DF.因为EC⊥平面ABC，BC平面ABC,所以EC⊥BC.又BD∥CE，所以BD⊥平面ABC，所以BD⊥BC,BD⊥BA.因为CE＝CA＝2BD，所以四边形DBCF是矩形，所以DF⊥CE.因为DF＝BC＝AB，EF＝BD,∠EFD＝∠DBA＝90°，所以△DEF≌△ADB，所以DE＝DA.（2)取AC的中点N，连接MN、BN，则MN綊eq\f(1，2)EC，而DB綊eq\f(1,2）EC，所以MN綊DB，所以点N在平面BDM内．因为EC⊥平面ABC，BN平面ABC，所以EC⊥BN.因为△ABC是正三角形，点N为AC的中点,所以BN⊥AC.又AC∩EC＝C，所以BN⊥平面ACE.因为BN平面BDM，所以平面BDM⊥平面ECA.(3)因为DM∥BN，BN⊥平面ACE，所以DM⊥平面ACE。又DM平面ADE，所以平面DEA⊥平面ECA。易错点⊳判断面面位置关系时依据图形直观得出［典例]如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1为长方体，且底面ABCD为正方形,试问截面ACB1与对角面BB1D1D[错解]设AC与BD的交点为O，连接B1O，则B1O是截面ACB1与对角面BB1D1D的交线．因为B1O是底面的斜线，所以截面ACB1与底面不垂直，从而截面ACB1不可能与对角面BB1D1D垂直．[错因分析］错解中由B1O与底面不垂直，就断定截面ACB1不可能与对角面BB1D1D垂直，这是没有根据的．[正解］因为四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD。因为BB1⊥底面ABCD，所以AC⊥BB1。又BD∩BB1＝B，故AC⊥对角面BB1D1D.又AC截面ACB1，所以截面ACB1⊥对角面BB1D1D.课堂小结1.证明两个平面垂直的主要途径：(1)利用面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。2。证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的.3.下面的结论,有助于判断面面垂直:(1）m∥n，m⊥α,nβ⇒α⊥β；(2)m⊥α,n⊥β，m⊥n⇒α⊥β;（3）α∥β，γ⊥α⇒γ⊥β。1．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角D1－AB－CA．30°B．45°C．60°D．90°答案B解析易知AB⊥AD，AB⊥AD1,所以∠D1AD就是二面角D1－AB－C的平面角，显然∠D1AD＝45°，所以二面角D1－AB－C的大小是45°。2．在空间四边形ABCD中,AD⊥BC，BD⊥AD，则必有（)A．平面ABD⊥平面ADCB．平面ABD⊥平面ABCC．平面BCD⊥平面ADCD．平面ABC⊥平面BCD答案C解析因为AD⊥BC，BD⊥AD，BD∩BC＝B，所以AD⊥平面BCD.又AD平面ADC，所以平面BCD⊥平面ADC.故选C