【创新设计】2011届高三数学一轮复习 9-10随机变量的均值和方差作业手册随堂训练 理 苏教版

第10课时随机变量的均值和方差一、填空题1．已知X～0－1，且E(X)＝0.1，则V(X)＝________.解析：V(X)＝0.1×(1－0.1)＝0.09.答案：0.092．已知X～B(100,0.2)，是V(2X＋1)＝________.解析：V(X)＝100×0.2×0.8＝16.∴V(2X＋1)＝4×16＝64.答案：643．某人射击的命中率为0.7，则他在10次射击中命中次数的期望是________．解析：所求期望是10×0.7＝7.答案：74．已知ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,2)))，η～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,3)))，且E(ξ)＝15，则V(η)等于________．解析：由题意知n×eq\f(1,2)＝15，∴n＝30，V(η)＝30×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(20,3).答案：eq\f(20,3)5．(2010·银川一中测试)一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X的数学期望为________．解析：X的分布列为：X3210P0.60.4×0.60.42×0.60.43∴E(X)＝2.376.答案：2.3766.抛掷3个骰子，当至少有一个5点或一个6点出现时，就说这次试验成功，则在54次试验中，成功次数n的期望为________．解析：抛掷三个骰子，三个骰子都不出现5点和6点的概率是eq\f(4,6)×eq\f(4,6)×eq\f(4,6)＝eq\f(8,27)，∴至少有一个5点或6点的概率为1－eq\f(8,27)＝eq\f(19,27).∴n～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(54，\f(19,27)))，E(n)＝54×eq\f(19,27)＝38.答案：38二、解答题7．(2010·山东济宁一中调研)有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X，求E(X)、V(X)．解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以X～B(200,1%)．因为E(X)＝np，V(X)＝npq，这里n＝200，p＝1%，q＝99%，所以E(X)＝200×1%＝2，V(X)＝200×1%×99%＝1.98.8．甲、乙两个运动员射击命中环数X1、X2的分布列如下：环数k8910P(X1＝k)0.30.20.5P(X2＝k)0.20.40.4求射击比较稳定的运动员是谁？解：E(X1)＝0.3×8＋0.2×9＋0.5×10＝9.2，E(X2)＝0.2×8＋0.4×9＋0.4×10＝9.2，V(X1)＝(8－9.2)2×0.3＋(9－9.2)2×0.2＋(10－9.2)2×0.5＝0.76，V(X2)＝(8－9.2)2×0.2＋(9－9.2)2×0.4＋(10－9.2)2×0.4＝0.56.∵E(X1)＝E(X2)，V(X2)＜V(X1)，∴乙稳定．9．(2010·江苏省海门调研)电视台举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题：问题A有四个选项，问题B有六个选项，但都只有一个选项是正确的．正确回答问题A可获得奖金m元，正确回答问题B可获得奖金n元．活动规定：①参与者可任意选择回答问题的顺序；②如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动中止．一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，因而准备靠随机猜测回答问题．试确定回答问题的顺序使获奖金额的期望值较大．解：随机猜对问题A的概率p1＝eq\f(1,4)随机猜对问题B的概率p2＝eq\f(1,6)，回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：(1)先回答问题A，再回答问题B.参与者获奖金额ξ可取0，m，m＋n，则P(ξ＝0)＝1－p1＝eq\f(3,4)，P(ξ＝m)＝p1(1－p2)＝eq\f(5,24)，p(ξ＝m＋n)＝p1p2＝eq\f(1,24).Eξ＝0×eq\f(3,4)＋m×eq\f(5,24)＋(m＋n)×eq\f(1,24)＝eq\f(m,4)＋eq\f(n,24).(2)先回答问题B，再回答问题A.参与者获奖金额η可取0，n，m＋n，则P(η＝0)＝1－p2＝eq\f(5,6)，p(η＝n)＝p2(1－p1)＝eq\f(1,8)，p(η＝m＋n)＝p2p1＝eq\f(1,24)，Eη＝0×eq\f(5,6)＋n×eq\f(1,8)＋(m＋n)×eq\f(1,24)＝eq\f(m,24)＋eq\f(n,6).Eξ－Eη＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,4)＋\f(n,24)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,24)＋\f(n,6)))＝eq\f(5m－3n,24)于是，当eq\f(m,n)＞eq\f(3,5)时，Eξ＞Eη，先回答问题A，再回答问题B，获奖的期望值较大；当eq\f(m,n)＝eq\f(3,5)时，Eξ＝Eη，两种顺序获奖的期望值相等；当eq\f(m,n)＜eq\f(3,5)时，Eξ＜Eη，先回答问题B，再回答问题A，获奖的期望值较大．1．在某地举办的射击比赛中，规定每位射手射击10次，每次一发，记分的规则为：击中目标一次得3分；未击中目标得零分；并且凡参赛者一律另加2分．已知射手小李击中目标的概率为0.9，求小李在比赛中得分的数学期望与方差．解：设击中次数为X，比赛得分为Y，则Y＝3X＋2.由题意知X～B(10,0.9)，∴E(X)＝10×0.9＝9，V(X)＝10×0.9×(1－0.9)＝0.9.E(Y)＝E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝29，V(Y)＝V(3X＋2)＝9V(X)＝8.1.∴小李在比赛中得分的数学期望为29，方差为8.1.2．设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的概率为eq\f(3,4)，遇到红灯(禁止通行)的概率为eq\f(1,4).假设汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求：(1)ξ的分布列及期望Eξ；(2)停车时最多已通过3个路口的概率．解：(1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，用Ak表示“汽车通过第k个路口时不停(遇绿灯)”，则P(Ak)＝eq\f(3,4)(k＝1,2,3,4)，且A1，A2，A3，A4独立．∴P(ξ＝k)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))k·eq\f(1,4)(k＝0,1,2,3)，P(ξ＝4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))4＝eq\f(81,256)，则P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝1)＝eq\f(3,16)，P(ξ＝2)＝eq\f(9,64)，P(ξ＝3)＝eq\f(27,256).从而ξ有分布列：ξ01234Peq\f(1,4)eq\f(3,16)eq\f(9,64)eq\f(27,256)eq\f(81,256)E(ξ)＝0×eq\f(1,4