2020高中数学 第三章 概率 .1 随机事件的概率 .1.1 频率与概率学案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE18-学必求其心得，业必贵于专精3.1.1频率与概率[航向标·学习目标］1．了解随机事件的概念,能正确辨别必然事件、不可能事件与随机事件．2．了解概率与频率的区别和联系,会通过试验求事件的频率和估计概率．3．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．［读教材·自主学习］1．必然事件是指eq\o（□，\s\up4（01))在条件S下，一定会发生的事件．2．不可能事件是指eq\o（□,\s\up4(02））在条件S下,一定不发生的事件．3．随机事件是指eq\o(□,\s\up4(03)）在条件S下，可能发生也可能不发生的事件．4．在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的eq\o（□,\s\up4（04））频数,称事件A出现的比例fn（A)＝eq\f（nA,n）为事件A出现的eq\o(□，\s\up4(05）)频率．5．在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的eq\o(□,\s\up4(06））频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有eq\o（□,\s\up4(07）)稳定性,这时我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记作eq\o(□,\s\up4（08））P(A)．6．概率从数量上反映了一个事件eq\o(□,\s\up4(09））发生可能性的大小，任何事件的概率的取值范围是eq\o(□，\s\up4(10））［0,1］．必然事件的概率为eq\o(□,\s\up4（11）)1，不可能事件的概率为eq\o(□,\s\up4(12））0。[看名师·疑难剖析］1．随机事件是指在条件S下出现的某种结果，若条件S变了，则结果也会变，因此同一事件必须在相同的条件下研究；其次随机事件可以重复地进行大量试验，而每次试验结果不一定相同,并且无法预测下一次试验的结果，但随着试验次数的增加，其结果又呈现规律性．2．一个随机事件的发生,就单次试验而言,具有随机性（偶然性），对大量重复试验而言又具有统计规律性(必然性），这就是偶然性和必然性的对立统一．由概率的统计定义可知：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0,而任意事件的概率在区间[0，1］之间．所以不可能事件和必然事件可看成随机事件的两个极端情况，这就是它们之间既对立又统一的辩证关系．3．对于随机事件，知道它发生的可能性大小非常重要．要了解随机事件发生的可能性大小，最直接的方法就是试验，一个随机试验应满足下述三个条件：(1）试验可以在相同的情况下重复进行；（2）试验的所有结果明确可知，但不止一个；(3)每次试验总是出现这些结果中的一个，但是一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果．4．频率fn（A)是随试验次数变化而变化的，而概率是一个常数；概率是频率的科学抽象，当试验次数越来越大时，频率越来越靠近概率．因此只要试验次数足够大，所得的频率才可近似地当做概率．考点一必然事件、不可能事件、随机事件的判断例112件同类产品中，有10件正品,2件次品，从中任意抽出3件,下列事件中，随机事件有________；必然事件有________；不可能事件有________．(填上相应的序号)①3件都是正品 ②至少有1件是次品③3件都是次品 ④至少有1件是正品[解析］抽出的3件可能都是正品，也可能不都是，则①②是随机事件；这12件产品中共有2件次品，那么抽出的3件不可能都是次品，其中至少有1件是正品，则③是不可能事件，④是必然事件．［答案]①②④③类题通关判断事件的随机性或确定性，主要是根据定义来进行:确定不发生的就是不可能事件，确定要发生的就是必然事件,可能发生也可能不发生的就是随机事件.，本题易误把③④也当成随机事件，其原因是不注意所给条件中正品和次品的数量，三个概念混淆不清.）eq\a\vs4\al(［变式训练1］)指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件？①某地1月1日刮西北风；②x为实数时，x2≥0；③手电筒的电池没电，灯泡发亮；④一个电影院某天的上座率为50％.解①④是随机事件，②是必然事件；③是不可能事件。考点二随机事件的概率例2某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下所示:投篮次数n1020405070100投中次数m81935446390投中频率eq\f(m,n)（1)计算表中篮球被投中的频率;（2）篮球运动员投篮一次,篮球被投中的概率约是多少？［分析]（1)将m、n的值逐一代入eq\f(m，n）计算．(2)观察各频率是否在某一常数附近摆动,用多次试验的频率估计概率．[解］（1)投中的频率依次为0。8,0。95，0.875,0。88，0。90，0。90.(2)篮球运动员投篮一次，篮球被投中的概率约是0。9.类题通关随机事件发生的可能性的大小，主要是依靠试验得出.大量试验表明:随机事件的频率，即此事件发生的次数与试验总次数的比值表现出随机性，又具有稳定性，总是在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动的幅度会变得越来越小。这个常数就是这个随机事件的概率.频率本身是一个随机变量，用随机事件发生的频率只能得到概率的估计值,而概率是一个确定的数值，两者有一定的差别.eq\a\vs4\al（[变式训练2]）一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：时间范围1年内2年内3年内4年内新生婴儿数n554496071352017190男婴数m2883497069948892（1）计算男婴出生频率(保留4位小数)；（2）这一地区男婴出生的概率约是多少？解(1)计算eq\f(m,n)即得到男婴出生的频率依次约是:0.5200，0.5173,0.5173,0。5173.(2)由于这些频率非常接近0.5173,因此这一地区男婴出生的概率约为0.5173。考点三频率与概率的关系例3李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩情况：成绩人数90分以上(包括90分）4380～89分18270~79分26060~69分9050~59分6250分以下（不包括50分)8经济学院一年级的学生王小倩下学期将修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位):(1）90分以上（包括90分）;（2）60～69分；（3）60分以上(包括60分）．［分析]随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下,它的发生呈现出一定的规律性，可以用事件发生的频率“测量”，因此可以通过计算事件发生的频率来估算概率．[解］根据题意可计算出修李老师的高等数学课的总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645(人),则修李老师的高等数学课的学生考试成绩在各个分数段上的频率依次为：eq\f(43，645)≈0.0667，eq\f（182，645）≈0。2822,eq\f(260,645)≈0.4031，eq\f（90，645）≈0。1395,eq\f(62，645)≈0.0961，eq\f(8,645）≈0.0124。用已有的信息可以估计出王小倩下学期修李老师的高等数学课得分的概率如下：（1)“得90分以上(包括90分)”记为事件A，则P(A)≈0。067。(2）“得60～69分”记为事件B，则P(B)≈0。140.（3）“得60分以上(包括60分）”记为事件C，则P（C)≈0。0667＋0。2822＋0。4031＋0.1395≈0.892。类题通关随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验情况下，它的发生呈现出一定的规律性，因而,可以从统计的角度，用事件发生的频率去“测量”，通过计算事件发生的频率去估算概率。eq\a\vs4\al(［变式训练3])某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时)进行了统计,统计结果如下表所示：分组［500，900)[900，1100）[1100，1300）[1300，1500)[1500，1700)［1700,1900)［1900，＋∞）频数4812120822319316542频率（1）将各组的频率填入表中；（2）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的概率．分析（1)利用fn（A）＝eq\f（nA,n）计算各组的频率；（2)寿命不足1500小时的频数等于［500，900），[900，1100)，[1100,1300)，[1300，1500）的频数的和，用频率来估计概率．解(1)利用频率的定义，可得[500,900)上的频率是eq\f(48,1000）＝0。048；[900,1100)上的频率是eq\f（121，1000)＝0.121；[1100,1300)上的频率是eq\f（208，1000)＝0。208；［1300,1500)上的频率是eq\f(223，1000）＝0.223；[1500，1700）上的频率是eq\f（193，1000)＝0.193；[1700,1900）上的频率是eq\f(165,1000）＝0。165;［1900,＋∞)上的频率是eq\f（42,1000）＝0.042.所以频率依次是0.048,0.121，0.208，0。223，0。193，0.165,0。042.（2）样本中寿命不足1500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中寿命不足1500小时的频率是eq\f（600,1000）＝0.6.所以估计灯管使用寿命不足1500小时的概率是0。6。考点四概率含义的理解例4某生产线出次品的概率是1%，假设每天可生产1000件产品，如果有一天已经生产了990件合格品，那么最后的10件是不是都是次品？［分析］根据概率与频率的关系及频率的意义求解．［解］显然,最后的10件不是都为次品．“出次品的概率是1%"是指生产线生产出次品的可能性是1％，这个可能性对每个产品都是一样的，不能因为前面的都合格，就认为后面产品的合格率就小了,其实最后10件产品出次品的可能性仍是1%.类题通关我们说“一个事件发生的概率是1%”，不能把它和生活中的“成功率是1％”等同起来,后者是个人对事实的一种推测，而前者是对客观现象的一种科学估计，是经得起事实检验的,即如果让此试验重复1万次或者更多，即可以发现该事件出现100次左右，这同时也是“一个事件发生的概率是1%”的含义.eq\a\vs4\al（[变式训练4]）据统计，某篮球运动员的投篮命中率为90%,对此有人解释为其投篮100次,一定有90次命中，10次不中，你认为这种解释正确吗？说说你的理由．解这种解释不正确．理由如下：因为“投篮命中”是一个随机事件,篮球运动员的投篮命中率是90％，是指投篮成功的可能性比较大，即每次投篮有90％的把握，就一次投篮而言，可能发生，也可能不发生，并不是说投篮100次一定有90次投中,10次投不中，只有当投篮次数n非常大时,我们可以看成大量重复投篮,命中的次数约为90％n,并且n越大，命中次数越接近90％n。[例］(12分)已知f（x）＝x2－2x，x∈［0,3],给出事件A：f(x)≥a.(1)当A为必然事件时，求a的取值范围;（2）当A为不可能事件时，求a的取值范围．(一)精妙思路点拨(二）分层规范细解f（x）＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈［0,3]，∴f（x)min＝f（1)＝－1.又f（0)＝0<f（3）＝3，∴f（x）max＝f(3）＝3。所以f（x)∈［－1,3］.4分(1）当A为必然事件时，即f（x)≥a，eq\a\vs4\al(x∈[0，3]）①恒成立，则eq\a\vs4\al（a≤fxmin）②＝f(1)＝－1，即a的取值范围是a≤－1。8分（2）当A为不可能事件时，即f(x）≥a，eq\a\vs4\al（x∈［0,3]）①一定不成立，∴eq\a\vs4\al（a〉fxmax)②＝f（3)＝3,则a的取值范围是a〉3。12分（三)来自一线的报告通过阅卷后分析,对解答本题的失分警示和解题启示总结如下:(注：此处的①②见分层规范细解过程)（四）类题练笔掌握在10个学生中，男生有x个，现从10个学生中任选6个去参加某项活动．①至少有一个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生．当x为何值时，使得①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件？解“至少有1个女生”为必然事件，则有x≤5；“5个男生，1个女生"为不可能事件，则有x〈5或x＝10；“3个男生，3个女生”为随机事件，则有3≤x≤7；综上所述,又由x∈N，可知x＝3或x＝4.(五）解题设问（1)解答本题的关键是什么？________。(2)x为正整数吗?________。答案（1）事件的概念（2)是1．下列现象是必然现象的是（）A．|x－1｜＝0 B．x2＋1<0C。eq\r（x＋1）>0 D．（x＋1）2＝1＋2x＋x2答案D解析A、C为随机事件，B为不可能事件．故选D.2．下列说法正确的是（）①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度；②每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数；③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；④概率就是频率．A．① B．①②④C．①② D．③④