2020高中数学 第三章 不等式 .4.2 基本不等式的应用练习（含解析）5

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE10-学必求其心得，业必贵于专精第27课时基本不等式的应用知识点一用基本不等式求最值1．若点（a，b）在直线x＋2y＝3上移动，则2a＋4b的最小值是()A．8B．6C．4eq\r（2）D．3eq\r(2）答案C解析点(a，b)在直线x＋2y＝3上，则a＋2b＝3,所以2a＋4b＝2a＋22b≥2eq\r(2a＋2b）＝2eq\r(23）＝4eq\r(2),当且仅当a＝2b＝eq\f（3，2）时等号成立．故选C．2．下列各式中最小值等于2的是（)A．eq\f(x，2a）＋eq\f（2a，x)B．x＋eq\f（1,x）(x≥4）C．x2＋x＋3D．3x＋3－x答案D解析A不正确，例如x,a的符号相反时,式子的最小值不可能等于2．B不正确，∵y＝x＋eq\f（1,x）在［4，＋∞）上递增，它的最小值是4＋eq\f(1,4)＝eq\f（17,4）．C不正确,∵x2＋x＋3＝x＋eq\f（1，2）2＋eq\f(11,4)≥eq\f(11，4），故最小值不是2．3x＋3－x≥2eq\r(3x×3－x）＝2（当且仅当3x＝3－x,即x＝0时等号成立）．故选D．3．已知m＞0，n＞0，m＋n＝1且x＝m＋eq\f(1，m），y＝n＋eq\f（1,n），则x＋y的最小值是()A．4B．5C．8D．10答案B解析依题意有x＋y＝m＋n＋eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝1＋eq\f（m＋n,m）＋eq\f（m＋n,n）＝3＋eq\f（n，m）＋eq\f(m，n）≥3＋2＝5，当且仅当m＝n＝eq\f（1，2）时取等号．故选B．4．已知0＜x＜1，则x(3－3x）取得最大值时x的值为(）A．eq\f(1，3)B．eq\f(1，2）C．eq\f（3，4）D．eq\f(2,3）答案B解析由x（3－3x)＝eq\f（1,3）×3x（3－3x）≤eq\f（1，3)×eq\f(9，4）＝eq\f(3,4)，当且仅当3x＝3－3x,即x＝eq\f（1，2)时等号成立．5．已知x＞0,y＞0，且x＋y＝8，则（1＋x)(1＋y)的最大值为（）A．16B．25C．9D．36答案B解析(1＋x）(1＋y)≤eq\f(1＋x＋1＋y,2)2＝eq\f(2＋x＋y,2）2＝eq\f(2＋8,2）2＝25，因此当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25．故选B．知识点二基本不等式的实际应用6．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为()A．200件B．5000件C．2500件D．1000件答案D解析设进货n次，则每次的进货量为eq\f（10000，n)，一年的运费和租金为y元．根据题意得y＝100n＋eq\f（10000，n)≥2000，当且仅当n＝10时取等号，此时每次进货量应为1000件．故选D．7．如图，公园想建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用（铁丝网可以剩余)，若利用x米墙,（1）求x的取值范围;（2)求最少需要多少米铁丝网(精确到0．1米）．解(1）由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x米,则另一边长为eq\f（144，x）米,则矩形草地所需铁丝网长度为y＝x＋2×eq\f（144,x)．令y＝x＋2×eq\f(144，x)≤44(x＞0），解得8≤x≤36．则x的取值范围是［8，36］．（2）由基本不等式,得y＝x＋eq\f(288,x)≥24eq\r(2）．当且仅当x＝eq\f(288,x)，即x≈17．0时，等号成立，则y最小值＝24eq\r(2)≈34．0．即最少需要约34．0米铁丝网．易错点忽略等号成立的一致性8．已知x＞0,y＞0，且x＋2y＝1，求eq\f（1，x)＋eq\f(1,y）的最小值．易错分析易错解为eq\f（1，x）＋eq\f（1,y)＝（x＋2y)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,x）＋\f(1，y)）)≥2eq\r（2xy)·2eq\r（\f(1，xy)）＝4eq\r（2)．在求解过程中使用了两次基本不等式:x＋2y≥2eq\r（2xy），eq\f（1,x)＋eq\f(1，y）≥2eq\r（\f(1，xy）)，但这两次取“＝"需满足x＝2y与x＝y，自相矛盾，所以“＝”取不到．解x＋2y＝1，x＞0，y＞0，∴eq\f(1,x)＋eq\f（1，y)＝（x＋2y）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,x）＋\f(1,y）)）＝3＋eq\f(x，y)＋eq\f（2y,x）≥3＋2eq\r（2）当且仅当eq\f(x，y)＝eq\f(2y，x）,即x＝eq\r(2)y时，取“＝"．∵x＋2y＝1，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\r（2)－1，,y＝1－\f(\r（2)，2）。）)∴当且仅当x＝eq\r(2）－1，y＝1－eq\f（\r(2），2)时，eq\f（1，x）＋eq\f(1，y）有最小值，为3＋2eq\r（2）．一、选择题1．已知x，y是正数,且xy＝4，则eq\f（y,\r（x）)＋eq\f（x，\r(y））取得最小值时，x的值是()A．1B．2C．2eq\r（2)D．eq\r（2)答案B解析eq\f（y，\r（x）)＋eq\f（x，\r（y)）≥2eq\r（\r(xy））＝2eq\r（4，4）＝2eq\r（2),当且仅当eq\f（y，\r（x))＝eq\f（x，\r(y）），即x＝y＝2时取得最小值．故选B．2．下列函数中，最小值为2的是()A．y＝eq\r（x2＋2）＋eq\f（1，\r(x2＋2)）B．y＝lgx＋eq\f(1,lgx）（1＜x＜10）C．y＝2x＋2－x（x∈R）D．y＝sinx＋eq\f（1,sinx)0＜x＜eq\f（π,2）答案C解析利用基本不等式，注意“一正、二定、三相等”．eq\r(x2＋2)＋eq\f(1，\r（x2＋2)）≥2，当且仅当eq\r（x2＋2）＝eq\f(1,\r（x2＋2))，即x2＋2＝1时，等号成立，但x2＋2≥2＞1显然不成立，∴A不正确；lgx＋eq\f（1，lgx）≥2,当且仅当lgx＝eq\f(1,lgx）,即x＝10或eq\f(1,10)时,等号成立，而1＜x＜10，故等号不成立，∴B不正确；2x＋2－x≥2，当且仅当2x＝2－x，即x＝0时取等号，∴C正确；sinx＋eq\f(1，sinx)≥2，当且仅当sinx＝±1时取等号，而0＜x＜eq\f（π,2)，等号不成立，∴D不正确．3．函数f（x）＝eq\f(\r(x)，x＋1）的最大值为()A．eq\f(2，5)B．eq\f（1，2)C．eq\f（\r(2)，2）D．1答案B解析令t＝eq\r(x）（t≥0）,则x＝t2，∴f（x）＝eq\f(\r（x）,x＋1)＝eq\f（t,t2＋1)．当t＝0时，f(x)＝0;当t＞0时，f(x）＝eq\f（1，\f（t2＋1,t））＝eq\f（1，t＋\f（1,t))．∵t＋eq\f(1，t)≥2,∴0＜eq\f(1,t＋\f（1，t）)≤eq\f(1，2)．∴f（x）的最大值为eq\f（1,2)．4．设M是△ABC内一点，且eq\o（AB，\s\up6(→))·eq\o（AC，\s\up6（→)）＝2eq\r(3),∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为eq\f（1，2），x，y，则eq\f(1,x）＋eq\f（4，y）的最小值为（)A．8B．9C．16D．18答案D解析由条件可得｜eq\o（AB，\s\up6（→))｜|eq\o(AC,\s\up6(→)）｜＝4，设△ABC的面积为S，则S＝eq\f（1,2)|eq\o（AB，\s\up6(→））|｜eq\o（AC,\s\up6(→)）｜sin∠BAC＝1，∵S△MBC＝eq\f（1,2)，∴x＋y＝eq\f（1，2),故eq\f（1,x)＋eq\f（4,y)＝2(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,x）＋\f（4，y)））＝2eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(5＋\f（y,x)＋\f(4x,y)))≥18,当且仅当x＝eq\f（1,6），y＝eq\f(1，3)时等号成立．故选D．5．设a＞b＞0，则a2＋eq\f(1，ab)＋eq\f（1,aa－b)的最小值是（)A．1B．2C．3D．4答案D解析a2＋eq\f（1，ab）＋eq\f(1，aa－b）＝a2－ab＋ab＋eq\f(1，ab）＋eq\f(1,aa－b)＝a（a－b)＋ab＋eq\f(1,ab）＋eq\f（1，aa－b）≥2eq\r（aa－b·\f（1,aa－b））＋2eq\r（ab·\f(1,ab）)＝4，当且仅当a(a－b)＝eq\f(1，aa－b）且ab＝eq\f（1，ab)即a＝2b＝eq\r(2)时，等号成立．故选D．二、填空题6．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．答案1760解析设水池池底的一边长为xm，则另一边长为eq\f(4，x)m，则总造价为:y＝480＋80×2x＋2×eq\f（4,x)×2＝480＋320x＋eq\f(4,x)≥480＋320×2eq\r（x×\f(4,x))＝1760．当且仅当x＝eq\f（4，x)即x＝2时,y取最小值1760．所以水池的最低总造价为1760元．7．已知x＜eq\f(5,4)，则函数y＝4x－2＋eq\f（1,4x－5）的最大值是________．答案1解析∵x＜eq\f(5，4)，∴4x－5＜0，y＝4x－2＋eq\f（1，4x－5)＝4x－5＋eq\f（1，4x－5)＋3＝3－（5－4x）＋eq\f(1，5－4x）≤3－2＝1，等号在5－4x＝eq\f(1，5－4x），即x＝1时成立．8．已知m＞0，n＞0,则当81m2＋n2＋eq\f（729,8mn）取得最小值时，m－n的值为________．答案－4解析依题意，81m2＋n2＋eq\f（729,8mn)≥18mn＋eq\f(729,8mn）≥81，当且仅当eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(9m＝n,，18mn＝\f（729，8mn)))⇒eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（9m＝n,,mn＝\f(9，4）)）⇒eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m＝\f(1，2），，n＝\f(9,2）））时等号成立，此时m－n＝－4．三、解答题9．已知a，b为正数，求证：eq\f（1，a)＋eq\f(4,b）≥eq\f（2\r(2）＋12,2a＋b）．证明因为a＞0，b＞0，所以(2a＋b)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,a)＋\f（4，b）)）＝6＋eq\f(b,a)＋eq\f（8a，b）≥6＋2eq\r（\f(b，a)·\f（8a，b）)＝6＋4eq\r（2)＝2（eq\r(2）＋1）2，即得eq\f(1,a）＋eq\f(4，b）≥eq\f（2\r(2)＋12,2a＋b)．10．某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(也是该厂的年产量）x万件与年促销费用m（m≥0)万元满足x＝3－eq\f（k,m＋1）（k为常数)．如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件．预计2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1．5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用)．（1)设2018年该产品的利润为y万元，将y表示为m的函数；（2）该厂家2018年的促销费用投入多少万元时获得的利润最大？解（1）由题意，知当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k,即k＝2．∴x＝3－eq\f(2，m＋1）．又每件产品的销售价格为1．5×eq\f(8＋16x,x）元，∴y＝xeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1.5×\f（8＋16x,x）)）－（8＋16x＋m）＝