【班海精品课件】冀教版（新）八下-22.1 平行四边形的性质 第一课时

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从本节开始，我们将进一步认识一些特殊的四边形，并探究这些四边形的一些基本性质.班海——老师智慧教学好帮手班海，老师们都在免费用的数学作业精细批改微信小程序！感谢您下载使用【班海】教学资源！为什么他们都在用班海？一键发布作业，系统自动精细批改（错在哪？为何错？怎么改？），从此告别批改作业难帮助学生查漏补缺，培养规范答题好习惯，提升数学解题能力快速查看作业批改详情，全班学习情况尽在掌握多个班级可自由切换管理，学生再多也能轻松当老师无需下载，不占内存，操作便捷，永久免费！扫码一键发布数学作业AI智能精细批改(任务-发布任务-选择题目)新课精讲探索新知1知识点平行四边形的定义

在我们的周围存在着许多四边形.观察下列图片，从中找出四边形，并就它们的共同特性和不同特性，和大家交流你的看法.教室瓷砖图案伸缩门晾衣架探索新知

我们把两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(parallelogram).连接平行四边形不相邻的两个顶点的线段叫做平行四边形的对角线(diagonal).两条对角线的交点叫做平行四边形的中心(center).探索新知如图，四边形ABCD是平行四边形，记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.线段AC，BD为□ABCD的两条对角线，点O为它的中心.探索新知1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2.表示方法：平行四边形用符号“▱

”表示，如图，平

行四边形ABCD记作“▱ABCD”，

读作“平行四边形

ABCD”．3.

数学表达：

⇔四边形ABCD是平行四边形.

即：若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行

四边形；若四边形ABCD是平行四边形，则AB∥CD，AD∥BC.AB∥CDAD∥BC探索新知例1

如图，在▱ABCD中，过点P作直线EF，GH分别平

行于AB，BC，那么图中共有______

个平行四边形．导引：

根据平行四边形的定义，知AB∥CD，AD∥BC，由

已知可知，EF∥AB，GH∥BC，所以根据平行四边

形的定义可以判定四边形ABFE是平行四边形，同理

可判定四边形EFCD、四边形AGHD、四边形GBCH、

四边形AGPE、四边形EPHD、四边形GBFP、四边

形PFCH都是平行四边形，最后还要加上▱ABCD，

即共有9个平行四边形．9探索新知总

结

平行四边形的定义的功能：平行四边形的定义既是平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行；又是平行四边形判定的一种方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．对于任何一个几何定义，都具有两种功能，顺用是判定，逆用是性质．

对于几何计数问题，要按照一定的顺序(如从小到大等)分类计数，做到不重复不遗漏．探索新知

在上面的问题中，销售员的月工资数y(元)与他当月销售产品数x(件)之间的函数关系式为:y=10x+3000.

当销售员的工资为4100元时，有4100=10x+3000.解得y=110.

要想使月工资超过4500元，只要使此10x+3000>4500即可.解得x>150.典题精讲1如图，在▱ABCD中，AC平分∠DAB，AB=3.求▱ABCD的周长.在▱ABCD中，AB＝DC，BC＝AD，AD∥BC，所以∠DAC＝∠BCA.因为AC平分∠DAB，所以∠DAC＝∠BAC.所以∠BAC＝∠BCA.所以AB＝CB.又因为AB＝3，所以AD＝DC＝BC＝AB＝3.所以▱ABCD的周长为AD＋DC＋BC＋AB＝3＋3＋3＋3＝12.解：典题精讲如图，▱ABCD中，EF∥GH∥BC，MN∥AB，则图中平行四边形的个数是(

)A．13B．14C．15D．182D探索新知2知识点平行四边形的中心对称性1.如图，在半透明的纸上画一个▱ABCD，再复制一个.将两个图形完全重合，用大头针钉在中心处.使下面的图形不动，将上面的图形绕中心O旋转180°.这两个图形能完全重合？平行四边形是不是中心对称图形？如果是中心对称图形，哪个点是它的对称中心？被对角线分成的三角形中，关于点O成中心对称的三角形有几对？探索新知2.在上面的活动过程中，你发现了▱ABCD的对边AD与CB，AB与CD之间具有怎样的数量关系？对角∠BAD与∠DCB，∠ABC与∠CDA之间具有怎样的数量关系？线段OA与OC，OB与OD之间具有怎样的数量关系?3.把你的发现写出来，说明理由，并将结果与大家交流.探索新知归纳平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点.探索新知例2下列所述图形中，是中心对称图形的是()A．直角三角形B．平行四边形C．正五边形D．正三角形根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．A、直角三角形不是中心对称图形，故本选项错误；B、平行四边形是中心对称图形，故本选项正确；C、正五边形不是中心对称图形，故本选项错误；D、正三角形不是中心对称图形，故本选项错误.故选B．B解析：探索新知总结

本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.典题精讲在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别是A(a，b)，B(4，－2)，C(－a，－b)，则关于点D的说法正确的是(

)甲：点D在第一象限．乙：点D与点A

关于原点对称．丙：点D的坐标是(－4，2)．丁：点D与原点距离是2.A．甲乙B．丙丁C．甲丁D．乙丙B探索新知3知识点平行四边形的性质——对边相等

根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？

通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对边相等；下面我们对它进行证明.探究探索新知如图，连接AC.∵AD//BC，AB//CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4.又AC是△ABC和△CDA的公共边，∴△ABC≌△CDA.∴AD=CD，AB=CD.证明：探索新知归纳这样我们证明了平行四边形具有以下性质：平行四边形的对边相等.探索新知1.边的性质：平行四边形对边平行；平行四边形对边相等．2.数学表达式：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC.探索新知例3如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线，交CD于点M，且MC＝2，▱ABCD的周长是14，则DM等于(

)A．1

B．2

C．3

D．4C探索新知根据BM平分∠ABC和AB∥CD可以判定△BCM是等腰三角形，从而得到BC＝MC＝2，再结合▱ABCD的周长是14得到CD的长，进而得到DM的长．具体过程如下：∵在▱ABCD中，AB∥CD，BM是∠ABC的平分线，∴∠CBM＝∠ABM＝∠CMB.∴BC＝MC＝2.又∵▱ABCD的周长是14，∴AB＝CD＝5.∴DM＝3.导引：探索新知总

结

当题目中平行线和角平分线同时出现时，极有可能出现等腰三角形，如本题中由AB∥CD和BM平分∠ABC就得到△BCM是等腰三角形；在平行四边形的边的计算中，“平行四边形相邻两边之和等于平行四边形的周长的一半”会经常用到．典题精讲1

在▱ABCD中，已知AB=3，AD=2，求▱ABCD的周长.在▱ABCD中，因为AB＝CD，AD＝BC，AB＝3，AD＝2，所以CD＝3，BC＝2.所以▱ABCD的周长为AB＋CD＋AD＋BC＝3＋3＋2＋2＝10.解：典题精讲2已知：如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，DE与AB的延长线相交于点F.求证：B为AF的中点.典题精讲在▱ABCD中，因为AB∥CD，所以∠FBE＝∠DCE.因为E为BC的中点，所以BE＝CE.在△FBE和△DCE中，所以△FBE≌△DCE.所以BF＝CD.又因为AB＝CD，所以BF＝AB，即点B为AF的中点．证明：典题精讲如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为(

)A．6B．12C．18D．243B典题精讲如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线，交CD于点M，且MC＝2，▱ABCD的周长是14，则DM等于(

)A．1B．2C．3D．44C探索新知4知识点平行四边形的性质——对角相等

根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的角之间还有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？

通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对角相等；下面我们对它进行证明.探究探索新知如图，连接AC.∵AD//BC，AB//CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4.又AC是△ABC和△CDA的公共边，∴△ABC≌△CDA.∴∠B=∠D.请同学们自己证明∠BAD=∠DCB.证明：探索新知结论这样我们证明了平行四边形具有以下性质：平行四边形的对角相等.探索新知角的性质：平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补．数学表达式：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，∠C＋∠D＝180°，∠A＋∠D＝180°.探索新知例4如图，在▱ABCD中，已知∠A＋∠C＝120°，求平

行四边形各角的度数．

由平行四边形的对角相等，

得∠A＝∠C，结合已知条件∠A＋∠C＝120°，即可求出∠A和∠C的度数；

再根据平行线的性质，进而求出∠B，∠D的度数．

在▱ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D.∵∠A＋∠C＝120°，∴∠A＝∠C＝60°.∵∠D＝180°－∠A＝180°－60°＝120°.∴∠B＝∠D＝120°.解：

导引：探索新知总

结

平行四边形中求有关角度的基本方法是利用平行四边形对角相等，邻角互补的性质，并且已知一个角或已知两邻角的关系可求出其他三个角的度数．典题精讲在▱ABCD中，已知∠A，∠B的度数之比为5：4.求∠C的度数.在▱ABCD中，因为AD∥BC，所以∠A＋∠B＝180°.又因为∠A∶∠B＝5∶4，所以∠A＝180°×＝100°.所以∠C＝∠A＝100°.解：典题精讲2已知一个平行四边形，其相邻两角的差是40°.求平行四边形各角的度数.略.解：3求平行四边形四个内角的度数和.如图所示，在▱ABCD中，因为AD∥BC，所以∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°.所以平行四边形ABCD的四个内角的和为2×180°＝360°.解：典题精讲4如图，在▱ABCD中，

CE⊥BA，交BA延长线于点E，∠EAD＝46°.求∠BCE和∠D的度数.如图，记AD与CE交于点F，在▱ABCD中，因为BA∥CD，所以∠D＝∠EAD＝46°.因为CE⊥BA，所以∠AEC＝90°.所以∠AFE＝90°－46°＝44°.又因为AD∥BC，所以∠BCE＝∠AFE＝44°.解：典题精讲5如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF.猜想AE与CF有怎样的数量关系，并对你的猜想给与证明.典题精讲证明：在▱ABCD中，因为AB∥CD，所以∠ABE＝∠CDF.在△ABE和△CDF中，所以△ABE≌△CDF.所以AE＝CF.AE＝CF.解：典题精讲6已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是BC，AD上的点，且BE=DF.求证AE=CF.在▱ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D，在△ABE和△CDF中，所以△ABE≌△CDF，所以AE＝CF.解：典题精讲7如图，在▱ABCD中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是(

)A.B．2C．2D．4C典题精讲8如图，在▱ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，如果∠A＝120°，那么∠BCE的度数是(

)A．80°B．50°C．40°D．30°D易错提醒在▱ABCD中，∠DAB的平分线分边BC为3cm和4cm两部分，则▱ABCD的周长为(

)A．20cm

B．22cm

C．10cm

D．20cm或22cm易错点：不注意分情况讨论，造成漏解D学以致用小试牛刀如图，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC上的点，EF＝6，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为(

)A．6B．12C．18D．241C小试牛刀如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是(

)A．BO＝OH

B．DF＝CEC．DH＝CG

D．AB＝AE2D小试牛刀已知▱ABCD中，∠A＋∠C＝200°，则∠B的度数是(

)A．100°B．160°C．80°D．60°3C小试牛刀4如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B的度数．小试牛刀(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠F.∵∠DEA＝∠CEF，DE＝CE，∴△ADE≌△FCE.(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC.∵△ADE≌△CEF，∴AD＝CF.∴CB＝CF.∴BF＝2BC.∵AB＝2BC，∴BF＝AB.∵∠F＝36°，∴∠FAB＝∠F＝36°.∴∠B＝180°－2×36°＝108°.小试牛刀5如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O.(1)求证：BO＝DO；(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AE的长．小试牛刀(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠ODF＝∠OBE.

在△ODF和△OBE中，∴△ODF≌△OBE(AAS)，∴BO＝DO.证明：小试牛刀(2)

∵EF⊥AB，AB∥DC，∴∠GEA＝∠GFD＝90°.∵∠A＝45°，∴∠G＝∠A＝45°.∴AE＝GE.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠GDO＝90°.∴∠GOD＝∠G＝45°.∴DG＝DO.∴OF＝FG＝1.

由(1)可知，△ODF≌△OBE，∴OE＝OF＝1.∴GE＝OE＋OF＋FG＝3.∴AE＝3.解：小试牛刀6如图所示的是某城市部分街道示意图，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE.甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B→A→E→F，乙乘2路车，路线是B→D→C→F.假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站？请说明理由．小试牛刀两人同时到达F站．理由如下：∵BA∥DE，BD∥AE，∴四边形ABDE是平行四边形．∴BA＝DE，BD＝AE，①且S△ABD＝S△ADE∵AF∥BC，EC⊥BC，∴EC⊥AF.