椭圆与双曲线常见题型归纳

.PAGE.椭圆与双曲线常见题型归纳一."曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系"的综合型试题的分类求解1.向量综合型例1.在直角坐标系中,点到两点的距离之和为4,设点的轨迹为,直线与交于两点。〔Ⅰ写出的方程;〔Ⅱ若,求的值。例2．设、分别是椭圆的左、右焦点.〔Ⅰ若是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值;〔Ⅱ设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,且∠为锐角〔其中为坐标原点,求直线的斜率的取值范围例3．设、分别是椭圆的左、右焦点,．〔Ⅰ若是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值;〔Ⅱ若C为椭圆上异于B一点,且,求的值；〔Ⅲ设P是该椭圆上的一个动点,求的周长的最大值.例4．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为<2,0>,右顶点为<1>求双曲线C的方程；<2>若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且<其中O为原点>,求k的取值范围。例5．已知椭圆〔a＞b＞0的离心率,过点A〔0,-b和B〔a,0的直线与原点的距离为．〔1求椭圆的方程．〔2已知定点E〔-1,0,若直线y＝kx＋2〔k≠0与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．2．"中点弦型"例6.已知椭圆,试确定的值,使得在此椭圆上存在不同两点关于直线对称。例7.已知双曲线的中心在原点,焦点在轴上,离心率,焦距为〔=1\*ROMANI求该双曲线方程.〔=2\*ROMANII是否定存在过点,的直线与该双曲线交于,两点,且点是线段的中点？若存在,请求出直线的方程,若不存在,说明理由.例8．已知椭圆的中心在原点,焦点为F1,F2〔0,,且离心率。〔I求椭圆的方程；〔II直线l〔与坐标轴不平行与椭圆交于不同的两点A、B,且线段AB中点的横坐标为,求直线l倾斜角的取值范围。3．"弦长型"例9．直线y＝kx＋b与椭圆交于A、B两点,记△AOB的面积为S．<I>求在k＝0,0＜b＜1的条件下,S的最大值；〔Ⅱ>当｜AB｜＝2,S＝1时,求直线AB的方程．例10．已知向量=〔0,x,=〔1,1,=〔x,0,=〔y2,1〔其中x,y是实数,又设向量=+,=－,且//,点P〔x,y的轨迹为曲线C.〔Ⅰ求曲线C的方程；〔Ⅱ设直线与曲线C交于M、N两点,当|MN|=时,求直线l的方程.二．"基本性质型"例11．设双曲线的方程为,A、B为其左、右两个顶点,P是双曲线上的任一点,引,AQ与BQ相交于点Q。〔1求Q点的轨迹方程；〔2设〔1中所求轨迹为,、的离心率分别为、,当时,求的取值范围。例12．P为椭圆上一点,、为左右焦点,若〔1求△的面积；〔2求P点的坐标．例13．已知双曲线与椭圆共焦点,且以为渐近线,求双曲线方程．例14.代表实数,讨论方程所表示的曲线.例1.解:〔Ⅰ设P〔x,y,由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以为焦点,长半轴为2的椭圆．它的短半轴,故曲线C的方程为．〔Ⅱ设,其坐标满足消去y并整理得,故．若,即．而,于是,化简得,所以．例2．解：〔Ⅰ解法一：易知,所以,设,则因为,故当,即点为椭圆短轴端点时,有最小值当,即点为椭圆长轴端点时,有最大值解法二：易知,所以,设,则〔以下同解法一〔Ⅱ显然直线不满足题设条件,可设直线,联立,消去,整理得：∴由得：或又,∴又∵,即∴,故由①、②得或例3．解：〔Ⅰ易知,所以,设,则因为,故当,即点为椭圆短轴端点时,有最小值当,即点为椭圆长轴端点时,有最大值〔Ⅱ设C〔,由得,又所以有解得〔Ⅲ因为|P|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|∴周长≤4＋|BF2|＋|B|≤8．所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时,周长最大,最大值为8．例4．解：〔Ⅰ设双曲线方程为由已知得故双曲线C的方程为〔Ⅱ将由直线l与双曲线交于不同的两点得即①设,则而于是②由①、②得故k的取值范围为例5．解析：〔1直线AB方程为：bx-ay-ab＝0．依题意解得∴椭圆方程为．〔2假若存在这样的k值,由得．∴．①设,、,,则②而要使以CD为直径的圆过点E〔-1,0,当且仅当CE⊥DE时,则即∴．③将②式代入③整理解得．经验证,,使①成立．综上可知,存在,使得以CD为直径的圆过点E．例6.解：设,的中点,而相减得即,而在椭圆内部,则即例7.〔1〔2设,直线：,代入方程得〔则,解得,此时方程为,方程没有实数根。所以直线不存在。例8．解：〔I设椭圆方程为解得a=3,所以b=1,故所求方程为〔II设直线l的方程为代入椭圆方程整理得由题意得解得又直线l与坐标轴不平行故直线l倾斜角的取值范围是例9<I>解：设点A的坐标为<,点B的坐标为,由,解得,所以当且仅当时,．S取到最大值1．〔Ⅱ解：由得①,｜AB｜＝②又因为O到AB的距离所以③③代入②并整理,得,解得,,代入①式检验,△＞0故直线AB的方程是：或或或．例10解：〔I由已知,即所求曲线的方程是：〔Ⅱ由解得x1=0,x2=分别为M,N的横坐标.由所以直线l的方程x－y+1=0或x+y－1=0.例11.解：〔1设,∵∴,∵,∴,∴,化简得：,经检验,点不合题意,∴点Q的轨迹方程为〔2由〔1得的方程为,,∵,∴,∴。例12．[解析]：∵a＝5,b＝3c＝4〔1设,,则①②,由①2－②得〔2设P,由得4,将代入椭圆方程解得,或或