河南省洛阳市2022-2023学年高二年级上册学期期中数学理科试题

洛阳市2022——2023学年第一学期期中高二数学试卷（理）本试卷共4页，共150分。时间120分钟。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线在y轴上的截距是（）A．5 B．－5 C．10 D．－102．已知，，则线段AB的长为（）A．39 B．7 C．5 D．3．已知直线：与：垂直，则实数a的值为（）A．0或3 B．0或－3 C．－3 D．04．若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间另一个基底的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，5．已知直线l：和圆C：交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小为（）A． B． C． D．6．已知四面体ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，则（）A． B．C． D．7．已知，当变化时，直线过定点（）A． B． C． D．8．已知直线AB的方向向量为，平面的法向量为，给出下列①若则直线．②若，则直线．③记直线AB与平面所成角的为，则．④若，，则点C到平面的距离．其中真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．19．圆关于直线对称的圆的方程为（）A． B．C． D．10．已知点D在确定的平面内，O是空间任意一点，实数x，y满足，则：的最小值为（）A． B． C．1 D．211．在四面体中，平面平面DBC，且，，则直线BC与平面ABD所成角的余弦值为（）A． B． C． D．12．若圆上至少有三个不同的点到直线l：的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知是直线l的方向向量，是平面的法向量．若，则______．14．已知，两点到直线l：的距离相等，则______．15．在棱长为1的正方体中，M是底面内动点，且平面，当最大时，三棱锥的体积为______．16．若点P在直线上移动，过P作圆的切线，切点分别为A，B，则的最小值为______．三、解答题：本大题共6个小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知的三个顶点是，，．（1）求边BC的垂直平分线的方程；（2）求经过AB，AC两边中点的直线的方程．18．（12分）如图，平行六面体的底面是菱形，且，．（1）求的长；（2）求异面直线与所成的角．19．（12分）已知平面直角坐标系中有，，，四点．（1）判断这四点是否共圆？若共圆，求出该圆的方程；若不共圆，说明理由；（2）一条光线从点射出，经过x轴反射后与的外接圆相切．求反射光线所在直线的方程．20．（12分）在直角梯形ABCD中，，，，如图（1）．把沿BD翻折，使得平面平面BCD，如图（2）．（1）求证：；（2）若M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离．21．（12分）已知两定点，，动点P满足，直线l：．（1）求动点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状；（2）记动点P的轨迹为曲线E，把曲线E向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度后得到曲线，求直线l被曲线截得的最短的弦长；（3）已知点M的坐标为，点N在曲线上运动，求线段MN的中点H的轨迹方程．22．（12分）如图，长方体中，，点E在棱CD上且平面．（1）求的值；（2）求平面与平面夹角的余弦值．洛阳市2022——2023学年第一学期期中高二数学试卷（理）答案一、选择题1-5DBBCC 6-10AACBA 11-12DB二、填空题13．27 14．1或－4 15． 16．三、解答题17．解：（1）∵，边BC的中点为，∴边BC的垂直平分线的方程为，即．（2）设经过AB，AC中点的直线为l，∵经过AB，AC中点的直线l平行BC，∴．又∵AB的中点为，∴l的直线方程为，即经过AB，AC中点的直线的方程．18．解（1）设，，，构成空间的一个基底．因为，所以，所以．（2）又，，所以∴∴异面直线与所成的角为90°．19．解：（1）设经过A，B，D三点的圆的标准方程是，将A，B，D三点坐标分别代入，得，∴．所以经过A，B，D三点的圆的标准方程是，将代入上面方程左边得．所以点C在经过A，B，D，三点的圆上，即A，B，C，D，四点共圆．过A，B，C，D四点的圆的方程为．（2）根据光的反射原理，作与点关于x轴对称的点，从M点发出的光线经x轴反射后，反射光线所在直线就是由向圆所作的两条切线，设切线方程为，即．所以，解得，或，所以反射光线所在直线的方程为或，即或．20．（1）证明：在中，，，∴，∴．∵平面平面BCD，平面平面，平面BCD，∴平面ABD．又∵平面ABD，∴．（2）解：以D为原点，DB，DC所在直线为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，如图，由条件可得，，，．∴，．设平面ACD的法向量，则，，∴，∴令，得平面ACD的一个法向量为），又，∴点M到平面ACD的距离．21．解：（1）设点，由得，化简得．∴动点P的轨迹方程是，轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆．（2）∵曲线E的方程为，∴曲线的方程为，又∵直线l可化为，∴，∴．∴直线l恒过定点．由平面几何知识可知，当直线l垂直于时被截得的弦长最短．∵，，∴最短弦长为．（3）设，，所以，∴——①∵点N在圆：上运动，∴．——②把①代入②得，即．∴点H的轨迹方程是．22．解：（1）如图，以D为原