2022-2023学年黑龙江省哈尔滨德强学校高二（宏志班）上学期期中考试数学试题（B卷）【含答案】

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨德强学校高二（宏志班）上学期期中数学试题（B卷）一、单选题1．已知双曲线，则该双曲线的虚轴长为（

）A．1 B．2 C． D．D【分析】直接由双曲线的标准方程得到的值，从而得到虚轴长.【详解】双曲线的虚半轴长，所以该双曲线的虚轴长为．故选:D．2．与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（

）A． B． C． D．A【分析】由题知，，进而求得可得答案.【详解】解：因为椭圆的焦点坐标为，所以，所求椭圆的焦点坐标为，即，因为，所求椭圆的短半轴长为，所以，所以，，所以，所求椭圆的方程为.故选：A3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）．A．5 B． C．45 D．B【分析】先求出点关于直线的对称点，则线段的长度即为最短总路程，再利用两点间的距离公式进行求解.【详解】因为点关于直线的对称点为，所以即为“将军饮马”的最短总路程，则“将军饮马”的最短总路程为．故选：B．4．若m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题不正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则B【分析】利用直线、平面平行的性质，直线、平面垂直的性质、判定推理并判断A，C，D，举例说明判断B作答.【详解】对于A，因，则存在过直线n的平面，使得，于是有，而，有，所以，A正确；对于B，因，令，当，且时，满足，若，必有，B不正确；对于C，因，则存在过直线m的平面，使得，于是有，又，则，所以，C正确；对于D，因，，所以，D正确.故选：B5．已知椭圆的左、右焦点分别是、，点在椭圆上.若、、是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为（

）A． B． C． D．或C【分析】分析可知必为锐角，则或是直角顶点，将代入椭圆方程，即可得解.【详解】在椭圆中，，，，将代入椭圆方程可得，可得，所以，当或是直角顶点时，点到轴的距离为；设，，则，由余弦定理可得，当且仅当时，等号成立，故必为锐角.综上所述，点到轴的距离为.故选：C.6．在数列中，，若为等差数列，则（

）A． B． C． D．A【分析】利用等差中项求解即可．【详解】解：由为等差数列得，解得.故选：A7．已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为（

）A． B． C． D．C【分析】根据题意求得直线l的方程，设，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求得，再利用弦长公式即可得出答案.【详解】由椭圆知，，所以，所以右焦点坐标为，则直线的方程为，设，联立，消y得，，则，所以.即弦AB长为.故选：C.8．已知抛物线：的焦点为，为抛物线上一动点，当轴时，，则外接圆与抛物线的准线相切时（为坐标原点），该圆的面积为（

）A． B． C． D．B【分析】根据通径可得抛物线的方程，再由三角形外接圆的圆心在斜边中点及与准线相切可知圆的半径，即可得解.【详解】由题意得，即抛物线方程为，外接圆与抛物线的准线相切时，抛物线的准线方程为，因为外接圆的圆心在的垂直平分线上，所以外接圆的半径为，所以该圆的面积为.故选：B二、多选题9．记为等差数列的前项和，则（

）A． B．C．，，成等差数列 D．，，成等差数列BCD【分析】利用等差数列求和公式分别判断.【详解】由已知得，A选项，，，，所以，A选项错误；B选项，，B选项正确；C选项，，，，，，则，C选项正确；D选项，，，，则，D选项正确；故选：BCD.10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是（

）A．直线BD与A1D所成的角为45°B．异面直线BD与AD1所成的角为60°C．二面角A-B1C-C1的正弦值为D．二面角A-B1C-C1的正弦值为BD【分析】先利用几何法找出题目中异面直线所成的角和二面角的平面角，再借助几何知识求出角度及正弦值，验证选项.【详解】正方体中，为等边三角形，直线BD与A1D所成的角为60°，选项A错误；，异面直线BD与AD1所成的角等于BD与BC1所成的角，为等边三角形，∴异面直线BD与AD1所成的角为60°，选项B正确；BC1与CB1相交于点O，连接AO、AC1，如图所示：正方体中，，O为B1C的中点，∴，，二面角A-B1C-C1的平面角为，不妨设正方体棱长为2，，，，由余弦定理，，∴，则二面角A-B1C-C1的正弦值为，选项C错误，选项D正确.故选：BD11．已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于、两点，其中在第一象限，若，则（

）A． B．C．以为直径的圆与轴相切 D．BCD【分析】写出焦点的坐标，设出直线的方程，并与抛物线方程联立，根据点在第一象限即可求出点，的横坐标，进而可以求出的值，即可求出抛物线的方程，再对应各个选项逐个验证即可．【详解】设，，则过的直线斜率为的方程为：，代入抛物线方程消去可得：，解得，因为点在第一象限，所以，，则，所以，错误，，正确，由可得抛物线的方程为：，且，，，所以，正确，的中点横坐标为，以为直径的圆的半径为，所以圆心到轴的距离等于半径，则以为直径的圆与轴相切，正确，故选：．12．已知，则关于函数说法正确的是（

）A．函数在上为减函数 B．函数的图象的对称轴为C．，使得 D．AD【分析】利用不同象限表示不同的圆锥曲线图象可求解.【详解】当时，原等式化为，当时，原等式化为，当时，原等式化为，当时，原等式化为，此方程无解，结合椭圆、双曲线的图象作出图象如下：由图象可知，函数在上为减函数，所以A正确；第一象限的图象为椭圆的部分，不关于，所以B错误；函数图象不出现在第三象限，所以不存在，使得，所以C错误；因为第四象限部分双曲线的渐近线与第二象限的双曲线部分的渐近线都为，所以结合函数图象恒成立，所以D正确.故选:AD.三、填空题13．已知数列为等差数列，其前项和为，则___________.55【分析】根据等差数列性质可求得，化简，即可求得答案.【详解】由题意知数列为等差数列，设公差为d，，则，即，所以，故5514．已知直线则与的距离___________.1.5【分析】根据平行线距离公式直接计算即可.【详解】因为，则与的距离，故15．如图，在平行六面体中，AB＝AD＝2，，，点E是AB中点，则异面直线与DE所成角余弦值是______．【分析】以为空间向量的一组基底，用基底表示向量，根据向量间的夹角公式计算即可求解.【详解】由题意，AB＝AD＝2，，且,,，又,,,设异面直线与DE所成角为，则.故16．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为_______.2【分析】根据条件，将弦长转化为圆心到渐近线的距离，算出a与c的关系即可.【详解】对于双曲线，其渐近线方程为，对于圆，有，圆心为，半径，渐近线被圆截得的弦长为2，所以圆心到渐近线的距离为，由点到直线距离公式得：；故2.四、解答题17．根据下列条件，求相应的等差数列的有关未知数：(1)已知，，，求；(2)已知，，求．(1)(2)【分析】（1）由等差数列的基本量进行计算；（2）由等差数列的前项和的基本量计算．【详解】（1）因为，解得；（2）因为，，18．已知圆.(1)若直线l经过点，且与圆C相切，求直线l的方程；(2)若圆与圆C相切，求实数m的值.(1)或(2)或【分析】（1）首先设出过定点直线，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求直线，不要忘记讨论斜率不存在的情况；（2）分内切和外切，结合公式，列式求值.【详解】（1）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，与圆C相切，符合题意.若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即，则，解得，所以直线l的方程为.综上，直线l的方程为或.（2）圆的方程可化为.若圆与圆C外切，则，解得.若圆与圆C内切，则，解得.综上，或.19．已知抛物线上的点(点位于第四象限)到焦点的距离为.（1）求的值；（2）过点作直线交抛物线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程.（1），；（2）.【分析】（1）由抛物线的定义可得，把点代入抛物线方程即可得；（2）由中点坐标、斜率公式结合点差法运算即可得解.【详解】（1）由抛物线的定义可知：，解得：，，，解得，点在第四象限，；（2）设，则，两式作差得，直线的斜率，为的中点，，，直线的方程为，即（经检验，所求直线符合条件）.20．已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.(1)(x－1)2＋y2＝1(2)x2＋y2－x－y－1＝0【分析】（1）设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式表示出点坐标，代入已知圆方程可得结论；（2）设PQ的中点为N(x，y)，由，再由可得轨迹方程．【详解】（1）设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知点P坐标为(2x－2，2y).因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.（2）设PQ的中点为N(x，y).在中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，如图，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.21．如图，在四棱锥中，平面，，且，为的中点.(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离.(1)证明见解析(2)【分析】第一问由线线平行证明线面平行，第二问建立空间直角坐标系利用向量的方法求得距离.【详解】（1）取PC的中点O，连接ON，OB，∵为的中点，∴，，∵，∴∵，∴，∴四边形ABON为平行四边形，∴，∵平面PBC，平面PBC，平面（2）过点A作AGBC，交CD于点G，因为平面，平面，所以，所以两两垂直，以A为坐标原点，AG，AB，AP所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面ANC的法向量为，则令，则，所以，点到平面的距离；22．已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由.(1)(2