第一章空间向量及其线性运算+人教A版（2019）选择性必修一（教师版）

第一章1.1.1空间向量及其线性运算人教A版（2019）选择性必修一1.给出下列命题：①若将空间中所有的表示单位向量的有向线段的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向．其中假命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】D【详解】①假命题．若将空间中所有表示单位向量的有向线段的起点移到同一个点，则它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆．②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同．③真命题．向量的相等具有传递性．④假命题．空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等．⑤假命题．零向量的方向是任意的．2.(多选)下列说法中正确的是()A．单位向量都相等B．任一向量与它的相反向量不相等C．四边形ABCD是平行四边形的充要条件是eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))D．“模为0”是“一个向量的方向是任意的”的充要条件【答案】CD【详解】A不正确，单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同．B不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．C正确．D正确．3．(多选)[福建泉州2021高二期中]已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，则与向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量有()A.eq\o(CD,\s\up6(→))B.eq\o(A′B′,\s\up6(→))C.eq\o(D′C′,\s\up6(→))D.eq\o(BC,\s\up6(→))【答案】BC【详解】如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，与向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量有eq\o(A′B′,\s\up6(→))，eq\o(D′C′,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，故选BC.4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝()A.eq\o(D1B1,\s\up6(→))B.eq\o(D1B,\s\up6(→))C.eq\o(DB1,\s\up6(→))D.eq\o(BD1,\s\up6(→))【答案】D【详解】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→)).故选D.5．(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则下列各式运算结果是eq\o(AC1,\s\up6(→))的为()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋AA1B．AA1＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋CC1D.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋CC1【答案】ABC【详解】选项A中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))；选项B中，eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋(eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))；选项C中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))；选项D中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC1,\s\up6(→))≠eq\o(AC1,\s\up6(→)).故选ABC.6．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．空间四边形C．等腰梯形D．矩形【答案】A【详解】∵eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|.∴四边形ABCD为平行四边形．7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，则|a＋b＋c|＝()A．0B．3C．2＋eq\r(2)D．2eq\r(2)【答案】D【详解】利用向量加法的平行四边形法则，结合正方形的性质，可得|a＋b＋c|＝2|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(2).8．已知在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则eq\o(MG,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A．2eq\o(DB,\s\up6(→))B．3eq\o(MG,\s\up6(→))C．3eq\o(GM,\s\up6(→))D．2eq\o(MG,\s\up6(→))【答案】B【详解】eq\o(MG,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(MG,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(MG,\s\up6(→))＋2eq\o(MG,\s\up6(→))＝3eq\o(MG,\s\up6(→)).9．已知A，B，C，D为空间中任意四点，化简(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝．【答案】0【详解】方法一(利用相反向量的关系转化为加法运算)：(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0.方法二(利用向量的减法运算法则求解)：(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝0.10．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝c，则eq\o(BA1,\s\up6(→))＝.【答案】a－b＋c【详解】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝c，则eq\o(BA1,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CC,\s\up6(→))1＝a－b＋c.故答案为a－b＋c.11．如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点．请化简以下式子，并在图中标出化简结果的向量．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DG,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→)).【答案】见详解【详解】(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，如图中向量eq\o(AD,\s\up6(→)).(2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DG,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，如图中向量eq\o(AF,\s\up6(→)).12．在空间四边形ABCD中，连接AC，BD.若△BCD是正三角形，且E为其中心，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))的化简结果为．【答案】0【详解】如图，取BC的中点F，连接DF，则eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→)).故eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.【栏目：归纳总结】对空间向量进行线性运算时，要尽可能地使其转化为平行四边形或三角形中的向量，运用向量加法的平行四边形法则、三角形法则，以及利用三角形的中位线、相似三角形等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量．13．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，G为BD上一点，BG＝3GD，eq\o(PA,\s\up6(→))＝a，eq\o(PB,\s\up6(→))＝b，eq\o(PC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(PG,\s\up6(→))＝．(用a，b，c表示向量eq\o(PG,\s\up6(→)))【答案】eq\f(3,4)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(3,4)c【详解】eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(3,4)c.故答案为eq\f(3,4)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(3,4)c.14．如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝()A.eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\o(FA,\s\up6(→))C.eq\o(AF,\s\up6(→))D.eq\o(EF,\s\up6(→))【答案】C【详解】因为eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→)).故选C.15．如图，四棱锥P－OABC的底面是矩形，PO⊥底面OABC.设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OC,\s\up6(→))＝b，eq\o(OP,\s\up6(→))＝c，E是PC的中点，则()A.eq\o(BE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cB.eq\o(BE,\s\up6(→))＝－a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\o(BE,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cD.eq\o(BE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c【答案】B【详解】eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→)))－(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OP,\s\up6(→))＝－a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.故选B.16．下面关于空间向量的说法正确的是()A．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行B．若向量a，b所在直线是异面直线，则a，b不共面C．若A，B，C，D四点不共面，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))不共面D．若A，B，C，D四点不共面，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))不共面【答案】D【详解】我们可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故B，C都不正确．由向量平行与直线平行的区别，可知A不正确．因为AB，AC，AD是空间中共端点A但不共面的三条线段，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))不共面．17．已知非零空间向量a，b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D【答案】A【详解】∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋4b＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴A，B，D三点共线．18．下列条件中，能说明空间中不重合的A，B，C三点共线的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))D．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|【答案】C【详解】对于空间中的任意向量，都有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，选项A不符合要求；若eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，而eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，据此可知eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，即B，C两点重合，选项B不符合要求；eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，则A，B，C三点共线，选项C符合要求；|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项D不符合要求．19．在四面体OABC中，空间的一点M满足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OB,\s\up6(→))＋λeq\o(OC,\s\up6(→)).若点M，A，B，C共面，则λ＝()A.eq\f(7,12)B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,12)D.eq\f(1,2)【答案】A【详解】因为点M，A，B，C共面，所以eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋λ＝1，得λ＝eq\f(7,12).故选A.20．已知A，B，C三点不共线，对空间内任意一点O，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点()A．不共面B．共面C．不一定共面D．无法判断是否共面【答案】B【详解】因为eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，所以8eq\o(OP,\s\up6(→))＝6eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，6(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))，6eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(PC,\s\up6(→)).故P，A，B，C四点共面，故选B.21．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝．【答案】－8【详解】由已知得eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.∵A，B，D三点共线，∴eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))共线，即存在λ∈R使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→)).∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.∵e1，e2不共线，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,k＝－4λ，))得k＝－8.22．如图所示，M，N分别是空间四边形ABCD的边AB，CD的中点．试判断向量eq\o(MN,\s\up6(→))与向量eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))是否共面．【答案】见详解【详解】由题图可得eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DN,\s\up6(→))，①eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))，②eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(DN,\s\up6(→))＝－eq\o(CN,\s\up6(→)).因此，①＋②得2eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，即eq\o(MN,