文都数学讲义-2018基础

第一部分考研数学高分导 专题一：求极 专题二：平面域的面积及旋转体的体 第二部分高等数学基 第一章函数极限连 第二章导数与微 第三章微分中值定理及导数应 第四章不定积 第五章定积分与反常积 第六章定积分的应 第七章微分方 第八章多元函数微分 第九章二重积 第十章无穷级 第十一章向量代数与空间解析几何及多元微分学在几何上的应 第十二章多元积分学及其应 第一部 考研数学高分导以下讲两个常考的专题，求极限和平面域的面积及旋转体的体积专题一：求 求极限常见的是七种类型不定式， ，0，，1，，0，其 点是0”型和“1”型00”0常用的方法洛必1）x

f(x)limg(x)xf(x)g(x)x0的某去心邻域内可导，且g(x)flim 存在（xx0f

f则lim xx0 xx0等价代换原则乘除关系可以换若~,~,

A1.则~ 1常用的等价无穷小：x→0x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~ex(1x)1~ 1cosx~1x22

ax1~xlnxsinx~16arcsinxx~16

tanxx~13xarctanx~13

xln(1x)~12泰勒公

xex1x

o(xn

sinxx

(2n

2cosx1

(1)n o(xn) (ln(1x)xx (2

n1n

o(xn1（2008年，数一、数二，10分sinxsinsinxsin 求极限

【 2（2008年，数三，10分求极限

1lnsinx

12x0 23（2012年，数三，10分 x 2 求极限lim . 【 x 4（2009年，数一，数二，数三，4分当x0时，f(x)xsinax与g(x)x2ln(1bx)是等价无穷小，则 （A）a1,b1 （B）a1,b16（C）a1,b6

6 （D）a1,b 65（2011年，数二，数三，4分已知当x0时，函数f(x)3sinxsin3x与cxk是等价无穷小，则 （A）k1,c （B）k1,c（C）k3,c （D）k3,c【例6】(2013年，数一，4分xarctan已知极限lim c,其中k,c为常数，且c0,则 x （A）k2,c121

（B）k2,c121（C）k3,c3

（D）k3,c 3是比x3高阶的无穷小，则下列结论中错误的1（A）a （B）b （C）c （D）d6“1”型极常用的方法1凑基本极限lim(1xx改写成指数lim[f(x)]g(x)limeg(xlnf(x)，用洛必达法则若lim(x)0lim(x)，且lim(x)(x)Alim[1(x)](x)eA【例1】(2010年，数一，4分 lim(xa)(xb)x (B)e (C)eab (D)eba【例2】(2012年，数三，4分1lim(tanx)cosxsinx 【e2x43】(2011年，数一，10分 ln(1x)求极限 x

【e21【例4】(2013年，数二，4分1lim2ln(1xx 【e 2x t

sintx)t在(,) 【B（A）连续 （B）有可去间断点（C）有跳跃间断点 （D）有无穷间断点6（2016年，数二，数三，10分求极限lim(cos2x2xsinxx4

【e3专题二：平面域的面积及旋转体的体平面若平面D由曲yf(xyg(xf(xg(xxaxb（ab所围成，则

bSa[f(x)b若平面域D由曲线(，,()所围成S12旋转体体设区Dyf(xf(x0)，和直线xa，xb(0abx轴所围区域D绕xV bf2(x)d DybVy2axf(x)db1（2014年，数三，4分）设D是由曲xy10与直线yx0y23成的有界区域则D的面积 2

ln212（2013年，数二，数三）D是由曲yx3xa(a0)x轴所围成的平面图形,Vx,VyDx轴,y轴旋转一周所得旋转体的体积.若Vy10Vxa7值 【a 7【例3求由曲线y4x2及y0所围成的图形绕直线x3旋转一周所得旋转体的体积 【64【例4求圆盘(x2)2y21绕y轴旋转而成的旋转体的体积 5（1993年，数三）设平面图Ax2y22xyx所确定A绕x2旋转一周所得旋转体的体积.22】 第二部 高等数学基第一章函数极限连续第一节函考试内容概（一）函数的定定义 设x和y是两个变量，D是一个给定的数集.如果对于每个数xD变量y照一定的法则总有一个确定的数值y和它对应，则称y是x的函数，记为y 自变量，y为因变量,D为函数的定义域.注：函数概念有两个基本要素：定义域、对应规则（或称依赖关系）..（二）函数1.单调定义 . 定义3 设函数yf(x)的定义域D关于原点对称（即若xD，则有xD，如果对于任一xD，恒有f(x)f(x)，则称f(x)为D上的偶函数；如果恒f(x)f(xf(xD上的奇函数【注】(1)sinxtanxarcsinxarctanx

11

,ln(x

1x2

exex

,f(x)fx2xcosxf(xf(xyf(xf(xx0偶偶偶.周期定义 若存在实数T0，对于任意x，恒有f(xT)f(x)，则称yf(x)为期函数.使得上述关系式成立的最小正数T称为f(x)的最小正周期，简称为函数f(x)的期af(x以Tf(axba

为周期有界定义 设yf(x)在集合X上有定义.若存在M0，使得对任意的xX，恒|f(x|Mf(xX上为有界函数【注】(1)sinx1;cosx1;arcsinx2

;arctanx2

如果没有指x的范围，而说“f(x)为有界函数”，是指f(x)在其定义域上数M0x0X，使得f(x0Mf(xX的函数（三）常见复合函,DfRg,y为xxDgg(x)Df反函

f[g(xyf(u)ug(x)的复合函数.定义 设函数yf(x)的定义域为D，值域为Ry.若对任意yRy，有唯一确定xDyf(xxf1yyf(x的反函数注：(1)yf(xxf1yyf1(x.在同一直角坐标系中yf(xxf1y的图形重和yf(xyf1(x的图形关于直yx对称(2)f1[f(x)] f[f1(x)]幂函 yx（为实数 yax （a0,a1） ylogax (a0,a1)三角函 ysinx,ycos ytanx,ycotx,ysecx,ycscx反三角函数yarcsinx yarccosx yarctan定义 上述五类函数统称为基本初等函数初等函9常考题型与常考题复合函数【例1】(1987年 f(x)|xsinx|ecosx(x)是 （A）有界函数 （B）单调函数（C）周期函 （D）偶函数【例2（2017年1,3）设函数f(x)可导且f(x)f(x)0,，则 （A）f(1)f （B）f(1)f

f(1)

f

f(1)

f【例3】(1988年1,2)已知f(x)sinx,f(x)1x2,则(x) 的定义为【arcsin(1x2)；[ 2].2x,x x2,x 【例4】设 x2,x0,f x,x0则gf 2x2,xgf(x2x,x（一）极限

】第二节极考试内容概定义 如果对于任意给定的0，总存在正整数N，当nN时，恒|xna|成立，则称常数a为数列xnn趋于无穷时的极限，记为limxna【注】(1)limxaa点的任何邻域即开区间(aan多只有N个）在这区间之外.数列 的极限是否存在，如果存在极限值等于多少与数列的前有限项无关limxnalimx2k1limx2k k k定义 若对任意给定的0，总存在X0，当|x|X时，恒有|f(x)A|Af(xx时的极限，记为limf(xAx定义 若对任意给定的0，总存在X0，当xX时，恒有|f(x)A|，x

f(x)A定义 若对任意给定的0，总存在X0，当xX时，恒有|f(x)A|x

f(x)A定理 极限limf(x)存在的充要条件是极限limf(x)及limf(x)存在并且相等x

x x定义 若对任意给定的0，总存在0，当0|xx0|时，恒|f(xA|Af(xxx0x

f(x)A定义 若对任意给定的0，总存在0，当x0xx0时，恒|f(xA|Af(xxx00xx0

f(xAf(x00)Af(xA0定义 若对任意给定的0，总存在0，当x0xx0时，恒0|f(xA|Af(xxx00x0

f(xAf(x00)Af(x0定理 极限limf(x)存在的充要条件是左极限limf(x)及右极限limf(x)存在0 x x x 且相等【注】需要分左、右极限求极限的问题常见有三种分段函数在分界点处的极限，而在该分界点两侧函数表达式不同(x绝对值的函数，如 xx01e型极限（如limexlimex,limexx x x1arctan型极限（如lim ,，limarctanx x（二）极限1)(数列)如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界x

f(x存在，则f(x)x0某去心邻域有界(即局部有界保号(数列)设limxn（1）A0（A0N0,nNxn0（xn0（2）N0,nNxn0（xn0A0（Ax

f(x)（1）A0（或A0则存在0,xU(x0时，f(x0（或f(x)0（2）如果存在0,xU(x0,时,f(x0（f(x0）,A0（A有理运算性 若limf(x) limg(x)B那么limf(xg(xlimf(xlimg(xAlim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)Af(x) limf lim (Bg(x) lim 两个常用的结论：1）

f

limg(x)0limf(x

f

A0,limf(x)0limg(x)极限值与无穷小之间的关系limf(xAf(xA(x 其中lim(x【注】数列极限也有以上对应的后两条性质1f(xx0处连续

f

（A）f(0)1,f(0)

（B）f(0)0,f(0)f(x)在x0处取极大值 （D）f(x)在x0处取极小值（三）极限的存在准则：若存在N，当nN时，xnynzn，且limxnlimzn limy

单调有界准则：单调有界数列必有极限【注】1）准则比较多的是用在 项和的数列极限，而单调有界准则比较多的是函数极限也有对应的以上两条存在准则（四）无穷无穷小量的概念:f(xxx0（x）fxx0（x）时的无穷小量无穷小的比较 设lim(x)0,lim(x)0，且(x)0（1）高阶：若lim 0；记为(x)（2）若lim(x)C0 等价：若lim 1；记为(x)~(x);无穷小的阶:若lim C0，则称(x)是(x)的k阶无穷小.无穷小的性质有限个无穷小的和仍是无穷小有限个无穷小的积仍是无穷小无穷小量与有界量的积仍是无穷小（五）无穷无穷大量的概念:x

f(xf(xxx0M0，总存在0，当0|xx0|时，恒有|f(x|Mf(xxx0时的无穷大量lnxx其中0,0,a（2）nlnnnann!其中0,0,a2（20103）f(xln10xg(xxh(xe10x充分大时，有（A）g(x)h(x)f （B）h(x)g(x)f（C）f(x)g(x) （D）g(x)f(x)无穷大量与变量的关系无穷大量必为变量，而变量不一定是无穷大量在同一极限过程中，如果f(x)是无穷大

f

是无穷小；反之，如果f(x)是无f(x0,常考题

f

是无穷大常考题型与求极限无穷小量阶的比较一、极限的概念、性质及有|xna|2”是数列{xn}收敛于a的 （A）充分条件但非必要条 （B）必要条件但非充分条（C）充分必要条 （D）既非必要也非充分条【例2（2015年，3）设xn是数列，下列命题中不正确的是 若limxna则limx2nlimx2n1 若limx2nlimx2n1a则limxn 若limxna则limx3nlimx3n1 若limx3nlimx3n1a则limxn 二、求极方法 利于有理运算法则求极3sinxx2cos【例1（1997年 x 【3 (1cos 11x131x31【例2 【 sin 1lim 1 lim(1x)xe lim(1 ) limax1ln

limna1,(a

n

limnnxn1limnn

an

n

x

xm xm1bx

n x

n

xlimxn

x

lim

x

x

x不存在，x “1”若lim(x)0lim(x)，且lim(x)(x)A则lim[1(x)](x)eA 【例1 nn

sin

1n(n 2(19972)limx

x)x

【e23

limnanbnc)n，其中a0,b0,c3 3 4(2012

1lim(tanx)cosxsinx 【e2x4 【例5(2010年1)limxa)(xb)

【C (B)e (C)eab (D)eba方法 利用等价无穷小代换求极x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~ex1cosx

12

(1x)1~ ax1~xlna,等价无穷小乘、除关系可以换：若~,~, lim 1

若~,~,且

A1.则~ 1x1（20161）lim0tln(1tsinx

1

1cos 1f(x)sin2x2】（1f(x)sin2x e3xlimf(x)

2,【6

ln(cosx)

【 2【例4（2006年 【2x01cosee x031x2

3e2【例6】limesinxetanx 【1x0xln(1x2 12cosx 【例7（2006年2求极限lim3 【 x0x 1x1311x131x31 方法 利用原理求极 【例1(1995年

1 n2n n2nn 2】limn12n

【3【例3limnananan 【maxa 1【例4（2008年4设0ab则lim(anbn)n 【B（A） （B）a1 （C）b （D）b125limn12

(x)n,

(x方法 利用单调有界准则求极1 1x【例】设x10,xn1 xn ，n1,2,.求极限limx 【1x2 n

n三、无穷小量阶的cos1xarcsin【例1（2005年2）当x0时，(x)kx2与cos1xarcsin价无穷小则k 【342（20012）x0时(1cosxln(1x2xsinxn高阶的无穷小，xsinxn是比(ex21)高阶的无穷小 整数n等 【B 1【例3（20142）x0时，若ln(12x),(1cosx)均是比x高阶的无穷小则的取值（A）(2,) （B）(1,2) （C）(1

（D）(0,12x3x【例4（2016年2）设1 x3xx03个无穷小量从低阶到高阶的排序 第三节函数的连续考试内容概（一）连续定义 设yf(x)在点x0的某邻域内有定义，limylim[f(x0x)f(x0)] yf(xx0定义 设y

f(xx0的某邻域内有x

f(x)f(x0yf注：以上两个定义是等价的定义 若0xx0

f(xf(x0)yf(xx0处左连续0xx0

f(xf(x0yf(xx0处右连定理函数f(xx0f(xx0处既左连续又右连续4f(x在区间(a,bf(x在(a,bf(x在区间(a,bxaxb处左连续，则称f(x)在[a,b上连续。（二）间断点及其定义 若f(x)在x0某去心邻域有定义，但在x0处不连续，则称x0为f(x)的间断点左、右极限都存在的间断点称为第一类间断点..左、右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点.其中 0xx0

f(x)0xx0

f(xx0f(x1y

x0处没定义，且左、右极限都不存在，这是x0时， 函数值在1与1之间无穷多次振荡，则称点x0为函数 的振荡间断点x（三）连续性的运算与性1设函数f(x)g(x)(g(x00)x0处也连续

f(xg(x)，f(xg(x)，f2设函数u(xxx0处连续，且(x0u0而函yyf[(xxx0

f(u在点u3基本初等函数在其定义域内都是连续的定理4 （四）闭区间上连续函数5（有界性定理）设f(x)在闭区间[a,b上连续，则f(x)在[a,b上必有界6（最值定理）设f(x)在闭区间[a,b上连续，则f(x)在[a,b上必有最大值与最7（介值定理）设f(x)在闭区间[a,b上连续，且f(a)f(b)，则对于任意介f(a与f(b之间的数C，至少存在一点(a,b)，使f()Cf(x在[abf(x在[abmM之8（零点定理）f(x在闭区间[a,bf(af(b0点a,bf(0注：零点定理的一个重要应用就是证明方程的根的存在性常考题型与常考题有关闭区间上连续函数性质的证明题1【例1（1997年2）已知f(x)(cosx)x,x0,在x0处连续，则a x

,0,在x0处连续，则 xxx ab 2

ab 2

（C）ab （D）abx【例3】讨论f(x) x1e1

的连续性并间断点类型(x2x)(lnx)sin【例4】函数f(x) x的可去间断点的个数为 x2 【解f(x有三个间断x0x1x0limf(xlimxlnx ln limxlnxlim lim 0（无穷小量 x0x

x0则limf(x0,x0为可去间断点xlnxsin在x1处,limf(x) x xx1为可去间断点xlnxsin

lnx1处,limf(x)

xsin1lim x x1xsin1limln[1(x1)]sin1limx1x1为可去间断点

x1

x1x【例5（1998年3）设函数f(x)lim ，讨论函数的间断点，其结论为n1（A）不存在间断 （B）存在间断点x（C）存在间断点x （D）存在间断点x6】f(x在[ab上连续acdb.pq,[cd],pf(cqf(dpqf(第二章（一）导数与微分的概定义1(导数 设函数y

考试内容概f(x)x0的某邻域内有定义。如果极limylimf(x0x)f(x0x0 x ，x

ddxdd

.如果上述极限不存在，则称f(x)x0处不可导注：常用的导数定义的等价f(x)limf(x)f(x0) f(x)limf(x0h)f(x00 x x0

2(左导数yf(xx0limylimf(x0x)f(x0x0 存在时，则称该极限值为f(x)x0处的左导数，记为f(x03(右导数yf(xx0limylimf(x0x)f(x0x0 存在时，则称该极限值为f(x)x0处的右导数，记为f(x01函数f(x)x0处可导的充分必要条件是它在该点处左导数与右导数都存在且定义4(区间上可导及导函数yf(x)在开区间(a,b内每一点都可导，则称f(x)在区间(a,b内可导。此时对于(a,b)内的每一x，都对应一个导数值f(x，常称f(x为f(x)在(a,b)内的导数，简称为导数.若f(x)在区间(a,b内可导，且f(a)和f(b都存在，则称f(x)[a,b]上可5（）yf(x)在点x0的某一邻域内有如果函数的增量 f(x0xf(x0 (xA为不依赖于xf(xx0Axf(x在x0处相应于自变量增量x的微分，记为dyAx.定理 函数yf(x)在点x0处可微的充分必要条件是f(x)在点x0处可导，且 f(x0)dx处，常记dyf(xdx导数与微分的导数的几何意义：f(x0yf(x在点(x0f(x0处切线的如果函数f(xx0处可导，则曲yf(x在点(x0f(x0方程

yf(x0)f(x0)(xx0f(x00yf(x在点(x0f(x0yf(x0)

(xx0f(x00yf(x在点(x0f(x0yf(x0，即曲线在点(x0f(x0处有水平切线。注：导数还有物理意义：若ss(t)为变速直线运动的位移函数，则s(t)为瞬时速度s(t)为加速度yf(x0xf(x0yf(xy连续、可导、可微之间的关（二）导数公式及求导法基本初等函数的导数1）(C) 2）(x)(ax)axln 4）(ex)5）

x) xln

(lnx)x(sinx)cos 8)(cosx)sin9)(tanx)sec2 10)(cotx)csc211）(secx)secxtan 12）(cscx)cscxcot

(arcsinx)(arctanx)

1111

(arccosx)(arccotx)

111求导法有理设uu(xvv(xx1）(uv)u 2）(uv)uv(u)uv

(v 复合设u(xxyf(uyf可导dydyduf du隐函

xyy(xF(xy0yF(xyx求导，可得到一个含有y的方程，从中解出yydyFx 反函yf(xf(x0xy

； f 参数方程求导法x1)若(t和(t都可导，且(t0dy 2）若(t和(t)二阶可导，且(t)0(d2y(

d(t))

dt

对数函数取对数，然后两边对x求导。（三）高阶yf(x的二阶导数.

f(x

d2ydx2.

dn一般地，函yf(xn阶导数y(n)f(n1x)]也可记为f(n(x(x (x

dxn0f(n)(x)lim0

(n

x)f(n1)(x limf(n1)(x)f(n1)(xx x注：如果函数f(xxn阶可导，则在x的某邻域内f(x必定具有一切低阶的导数 常用的 sin sin(xn 2

(cosx)(n)cos(xn2n 4）(uv)(n)

nkn

Cku(k)v(nk常考题导数定义

常考题型与高阶导数1（19943）f(x01x

f(x02x)f(x0

【1

2】（2011年2,3）f(x)在x0f(00,x2f(x)2f(x3)（A）2f （B）f （C）f （D）1limn(f

)1) n

【1 （A）limhf(a1f(a存在；（B）limnf(a1)f(a

（C）

f(ah)f(ah)

存在 （D）

f(a)f(ah)

存在 5（20113）曲线tanxye 4

在点(0,0)处的切线方程y2x【例6（2013年2

xarctant,上对应于t1yln1t2

xy4

1ln22 π【例7（1997年1）对数螺线 在点(,)e2

处的切线的直角坐标方程22xye2【例8（20122）yy(x)是由方程x2y1ey所确定的隐函数，则dd2x

【1d2 xd2t【例9（2013年1）设ytsintcost,(t为参数)， t42 2

2x

，则y(n)(0) .

(1)n2n】【例11】(2015年2)函数f(x)x22x在x0处的n阶导数f(n)(0) n(n1)(ln2)n2112（20171）f(x11

，则f(3)(0) 第三章微分中值定理及导数应用考试内容概在闭区间[a,b]在开区间(a,b)f(a)f(b)则在(a,b内至少存在一点，使得f()03（拉格朗日中值定理）如果f(x)满足以下条件在闭区间[a,b]在开区间(a,b)则在(a,b)内至少存在一点，使f(b)f(a)f()(b推论如果在(a,b)有f(x)0，则在(a,b)内f(x)为常数。定理4（柯西中值定理）如果f(x)F(x)满足以下条件：在闭区间[a,b]在开区间(a,b)内可导，且F(x)在(a,b)内每一点处均不为零，则在(a,b)内至f(b)f(a)F(b)F

F定理5（皮亚诺型余项泰勒公式f(xx0有直n阶的导数，则f(x)f(x)f(x)(xx)1f(x)(xx)21f(n)(x)(xx)no[(xx)n R(xo[xx]nx0nf(x)

f(0)f(0)x

f(0)x2

f(n)(0)xno(xn定理6（拉格朗日型余项泰勒公式设函数f(x)x0的开区间(a,bn1阶的导数，则xa,b时f(x)f(x)f(x)(xx)1f(x)(xx)21f(n)(x)(xx)nR f(n1)

n

其中Rn(x)n1(xx0 ，这里介于x0与x之间，称为拉格朗日型余项x2xex1x

xo(xnx

sinxx

(2n

2cosx1

(1)n o(xn) (ln(1x)xx (2

n1n

o(xn（二）导数若1）x

f(x)limg(x)xf(x)g(x)x0的某去心邻域内可导g(x)limf(x)存在（或xx0f f lim lim xx0 xx0【注洛必达法则主要用7种不定式0，0，1，0，00.其中“0 型或”5种可通过以下关系图化为0”型或”型极限来求 0

00 0使用洛必达法则应该注意的使用洛必达法则之前，应该先检验其条件是否满足次使用洛必达法则0如果

”型极限中的函数含有极限非零的因子，可以单独求极限，不必0”型或与洛必达法则运算，以简化运算如果能进行等价无穷小量代换或恒等变形配合洛必达法则使用，也可以简化运算定理 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导若在(abf(x0f(x在[ab若在(abf(x0f(x在[ab定义 设yf(x)在点x0的某邻域内有定义。如果对于该邻域内任何x，恒f(x的极大值（或极小值。极大（小）值统称为极值；极大（小）值点统称为极值点。8（极值的必要条件）设yf(x0)0

f(xx0x0f(x9（极值的第一充分条件）设yf(xx0的某去心邻域内可导，且f(x0（f(xx0处连续xx0f(x0xx0f(x0x0f(x的极大值点xx0f(x0xx0f(x0x0f(x的极小值点定理,10（极值的第二充分条件）设yf(xx0f(x00f(x00x0f(x的极大值点f(x00x0f(x的极小值点函数的最大值定义2 设函数yf(x)在闭区间[a,b]上有定义，x0[a,b]。若对于任意x[a,b]，恒有f(x)f(x0)（或f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值（或最小值x0f(x在[a,b上的最大值点（或最小值点）.连续函数f(x)在闭区间[ab第一步：求出f(x)在开区间(a,b)内的驻点和不可导x1,x2xn第二步：求出f(x)x1x2xn和区间端点a,b处的函数f(x1),f(x2),f(xn),f(a),f第三步：比较以上各点函数值，其中最大的即为f(x)在[ab上的最大值，最小f(x)在[ab上的最小值f(x在[a,bf(x取极大值（或极小值f(x)在[ab]上的最大值（或最小值）.这种问题首先建立目标函数并确定其定义域，然后按照以上三步求其最大值（或最小值）.定义 设函数f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1,x2恒f(x1x2)2

f(x1)f(x2)f(xIf(x1x2)2

f(x1)f(x2)f(xI定理 设函数yf(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导，那若在(a,bf(x)0f(x在[a,b若在(a,b内有f(x)0，则f(x在[a,b上的图形是凸的.定理12（拐点的必要条件）设yyf(xf(x00

f(xx0处二阶可导，且点(x0f(x0定理13（拐点的第一充分条件）设yf(x00（f(xx0处连续

f(x)x0的某去心邻域内二阶可导，f(xx0的左、右两侧异号，则点(x0f(x0yf(xf(xx0的左、右两侧同号，则点(x0f(x0yf(x的拐点14（拐点的第二充分条件）yf(xx0f(x00f(x00，则点(x0f(x0yf(xf(x00，则此方法不能判定(x0f(x0y

f(x的拐点5Myf(x)无限远离原点时，它与某条定直线L之间的距离将趋Lyf(x的一条渐近线.LxL为曲线yf(xLxLyf(x的铅直渐近线；若L既不平行x轴，也不垂直x轴，则Lyf(x)的斜渐近线若limf(xAlimf(xAlimf(xA）yAyf水平渐近线

limf(xlimf(xlimf(x）,xx0yf 的垂直渐近线

xx xx若lim 且limf(x)axb（或x,或x)，那么yax

yf(x的斜渐近线利用函数的单调性、极值、曲线的凹凸性、拐点及渐近线可以做出函数曲线曲线的弧微分与曲率（数三不要求定义 设yf(x)在(a,b)内有连续导数，则有弧微1ds1定义 设yf(x)有二阶导数，则有曲K称 为曲率半径K|yK(1y2)3/2定义 若曲线yf(x)在点M(x,y)处的曲率为K(K0)。在点M处曲线的法1 K常考题型与常考题求极限求函数的极值和最值，确定曲线的凹向和拐点xx 6

tanxx~x33arcsinxx~x36

xarctanx~x33xln(1x)~x2【例2（2008年1,2求极限limsinxsinsinxsinx 【1 1 【例3（1994年3求极限limxx2ln1 . 【x x 【例4(2013年，1)已知极限limxarctanxc,其中k,c为常数且c0, 1（A）k2,c21（C）k3,c3

x

1（B）k2,c 21（D）k3,c 35（20091,2,3）x0f(xxsinaxg(x)x2ln(1bx)是等价无穷小 【A（A）a1,b1 （B）a1,b16（C）a1,b6

6 （D）a1,b 6【例6（2011年，2,3）已知当x0时，函数f(x)3sinxsin3x与cxk是等价无 （A）k1,c （B）k1,c（C）k3,c （D）k3,c x 2 【例7（2012年3求极限 【 x 【例8（1988年3求极限lim(1x2)tan 【 ln(1x) e【例9(2011年1)求极限 ex 1x10(20162,3)求极限limcos2x2xsinx41x

1【e3【例11】设f(x)二阶可导f(0) f(0) f(0)2.求极

f(x)x x二、求函数的极值和最值及确定曲线的凹向和1（20031,2）f(x在(,f(x一个极小值点和两个极大值两个极小值点和一个极大值两个极小值点和两个极大值三个极小值点和一个极大值【例2】（1990年1,2）f(x)在x0f(0)0, f x01cos（A）不可导 （B）可导，且f(0)（C）取得极大值 （D）取得极小值【例3在半径为R的球中内接一直圆锥,试求圆锥的最大体积 【例4（2010年3）若曲线yx3ax2bx1有拐点(1,0)，则b 【35（20042,3）f(x|x(1x|x0f(x的极值点，但(0,0)yx0f(x的极值点，但(0,0)y

f(xf(xx0f(x的极值点，且(0,0)yf(xx0f(x的极值点，(0,0)yf(x三、求渐近【例1（2014年1,2）下列曲线中有渐近线的是 yxsin（C）yxsinx

yx2sin（D）yx2sinx【例2（2007年1,2）曲线y1ln(1ex)渐近线的条数为 x x

的斜渐近线方程

[yx四、方程的为常数，且0q【例2】设aaa0,求证：方程naxn1(n xn22axa n 在(0,1)内至少有一个实根五、不等式的证 xln 1x1

ln(1x) (x22

11

cosx1

x(1x1).f(xx

1xcosxx2

(1x1 f(xf(x0(0xf(x)ln1x1

sinx2xsinxxxsinxf(x在[0,1)f(0)0,f(x0(0x六、中值定1】设f(x)在区间ab上连续，在(ab)上二阶可导f(af(bf(cacb证明存在a,bf(2（19901,2）设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(af(b，证明在(a,b内至少存在一点，使得f(0.3f(x在[ab上二阶可导，f(af(b0,且存在c(abf(c0.试,a,bf(0f(0.4（20133）f(x在[0,f(0)0,x明

f(x)2.（1）a0,f(aa第四章考试内容概（一）不定积分的概念与原函定义1 设f(x)在某区间(a,b)内有定义。若存在函数F(x)，使其在该区间内任一点都有F(x)f(x)，则称F(x)为f(x)在该区间内的原函数。F(xf(xF(xC（C为任意常数）f(x在该F(x，(xf(x)在某区间内的原函数F(x)(x)C（C为某个常数不定积定义 f(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分。记为f(x)dF(x为f(x)的一个原函数，则f(x)dxF(x)其中C为任意不定积分的几何意义F(xf(xF(xf(x的积分曲线。因此，不定积分f(xdxF(xC在几何上表示一族