概率统计和随机过程课件13事件的独立性

§2.5几种重要的连续型分布指数分布正态分布Γ分布*对数正态分布* 前面我们曾经讨论的均匀分布是最简单的常用连续型分布。在这一节里，将介绍另几种常用连续型分布，它们有着广泛的应用背景。1概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第1页!指数分布定义:如果随机变量X的概率密度为其中>0,则称X服从参数为的指数分布,X

～Exp(λ).易知,其分布函数为2概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第2页!指数分布的分布函数推导当x≤0时,当x>0时,3概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第3页!指数分布的期望、方差4概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第4页!例题与解答例1.某电子元件的寿命X(年)服从参数为3的指数分布.(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？解:由题意可知, X~电子元件在已使用t小时之后再使用s小时的概率,与它使用s小时的概率是相同的.称这样的随机变量具有“无记忆性”,正是指数分布的重要特点.5概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第5页!例题与解答例2.顾客在某银行窗口等待服务的时间X服从参数为1/5的指数分布,X的计时单位为分钟.若等待时间超过10分钟,则他就离开.设他一个月内要来银行5次,以Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数,求Y分布律及至少有一次没有等到服务的概率P(Y≥1).解:由题意不难看出Y~B(5,p)而其中的概率p=P(X>10)，现X的概率密度函数为因此,Y的分布律为于是P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-(1-e-2)5≈0.5167.

6概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第6页!正态分布正态分布也叫高斯分布,正态分布是实践中应用最为广泛,在理论上研究最多的分布之一,故它在概率统计中占有特别重要的地位。正态分布是自然界最常见的一种分布。例如测量的误差；人的生理尺寸:身高、体重；一个班的考试成绩；普通人的年收入；工厂产品的尺寸：直径、长度、宽度、高度；一个地区的降雨量等等都近似服从正态分布。一般说来，若某一数量指标受到大量微小的，独立的随机因素的影响，则这个指标服从正态分布。7概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第7页!泊松积分公式8概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第8页!正态分布的两个特性(1)单峰对称 密度曲线关于直线x=μ对称

f()＝maxf(x)＝

(2)σ的大小直接影响概率的分布 σ越大,曲线越平坦,σ越小,曲线越陡峻。9概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第9页!标准正态分布密度函数特性(1)

j(x)有各阶导数(2)

j(-x)=j

(x),偶函数(3)在(-,0)内严格上升,在(0,+)严格下降.在 x=0处达到最大值:j

(0)=(2)-1/20.3989.(4)在x=1处有两个拐点;(5)x轴是j

(x)的水平渐近线:标准正态分布分布函数表示为:10概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第10页!正态分布的期望若随机变量X~N(,2),则EX=。证明:11概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第11页!Φ(-x)当

时,x0y(1)表中

x

的取值范围[0,4.49],(2)当

时,则有Φ(x)Φ(x)x0y当

x

≤

-4.5

时,标准正态分布函数表12概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第12页!例题与解答例4.X~N(0,1),求P(X1.96),P(X-1.96), P(|X|1.96),P(-1<X2),P(X5.9)。解P(X

1.96)=F(1.96)=0.975

P(X

-1.96)=F(-1.96) =1-F(1.96)=1-0.975=0.025

P(|X

|1.96)=P(-1.96X

1.96) =2F(1.96)-1=0.95

P(-1<X

2)=F(2)-F(-1)=F(2)-[1-F(1)] =0.81855

P(X

5.9)=F(5.9)=1.13概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第13页!标准正态分布的重要性在于,

都可以通过线性变换转化为标准正态分布.证明:X~即任何一个一般的正态分布14概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第14页!例题与解答例6.X~N(,2),P(X-5)=0.045,P(X3)=0.618,求及。解：15概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第15页!3σ原则例8.设X~N(,σ2),求P{-3σ<X<+3σ}解:P{-3σ<X<+3σ}=P{-3<(X-)/σ<3} =Φ(3)-Φ(-3)=2Φ(3)-1=0.9973≈1本题结果称为3σ(三倍标准差)原则。在工程应用中,通常认为P{|X-μ|≤3σ}≈1，忽略{|X-μ|>3σ}的值。如在质量控制中,常用标准指标值±3σ作两条线,当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报,表明生产出现异常。16概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第16页!例题与解答例9一种电子元件的使用寿命Ｘ(小时)服从正态分布Ｎ(100,225),某仪器上装有3个这种元件,三个元件损坏与否是相互独立的。求使用的最初90小时内无一元件损坏的概率。解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,则Y~B(3,p)，其中故17概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第17页!

设X为连续型随机变量，其密度函数为p(x),而Y=f(X)，如f(x)在不相重叠的区间I1,I2…上逐段严格单调，其反函数分别为h1(y),h2(y),…而且h′1(y),h′2(y),…均为连续函数，那么Y=f(X)是连续型随机变量，其密度函数为18概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第18页!

已知电源电压X~N(220,252)(单位:伏),在电源电压不超过200伏、200~240伏和超过240伏三种情况,某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2,试求:(1)该电子元件损坏的概率;(2)该电子元件损坏时,电源电压在200~240之间的概率.解：设B=“电子元件损坏”,Ai=“三种电压”(i=1,2,3)且或:则A1,A2,A3是一完备事件组,19概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第19页!分布*定义：如果随机变量X的概率密度为则称X服从分布，简记作X~(λ,r),其中λ,r均为常数,。(-函数)20概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第20页!χ2分布与正态分布的关系定理:设X~N(0,1),则X2~χ2(1)。证明:设X2的概率密度为fX2(x),X的概率密度仍用φ(x)表示。由分布函数法

FX2(x)=P{X2≤x} 当x≤0时,FX2(x)=0,故fX2(x)=0; 当x>0时,FX2(x)=P{X2≤x}=P{-x1/2≤X≤x1/2} =F(x1/2)-F(-x1/2)所以21概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第21页!对数正态分布与正态分布关系定理(1):若X~N(,2),则Y=eX服从参数为和σ2的对数正态分布。定理(2):若Y服从参数为和σ2的对数正态分布,则X=lnY~N(,2)。另外,参数为和σ2的对数正态分布的期望、方差为:22概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第22页!1、一种电子元件的使用寿命X（单位：小时）服从参数为1/10的指数分布，求其中一个的使用寿命在10到20小时的概率。作业P836723概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第23页!当k为偶数时,令于是24概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第24页!指数分布应用背景指数分布经常用来作各种“寿命”分布的近似。如随机服务系统中的服务时间,某些消耗性产品(电子元件等)的寿命,产品首次发生故障（需要维修）的时间都常被假定服从指数分布。某产品的寿命T服从参数为λ=0.002的指数分布，则该产品的平均寿命

E(T)=l-1=(0.002)-1=500对指数分布,任何实数a,b(0≤a<b),有25概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第25页!指数分布的无后效性定理：设X是连续型非负随机变量，则X服从指数分布P(X>s+t|X>s)=P(X>t)的充分必要条件是对任何的s,t≥0,有无后效性是指数分布的特征.26概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第26页!例题与解答例3.某公路桥每天辆汽车过桥时刻为T,设[0,t]时段内过桥的汽车数Xt服从参数为t的泊松分布，求T的概率密度。解:当t≤0时，当t>0时，=1-P{在t时刻之前无汽车过桥}于是27概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第27页!正态分布定义:如果连续型随机变量X的概率密度为其中s,m为常数,并且s>0,则称X服从正态分布,简记作X~N(m,s2)。特别地,当m=0,s=1时,称其为标准正态分布,其概率密度记为j

(x),这时X~N(0,1)。28概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第28页!决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.

正态分布

的图形特点29概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第29页!标准正态分布密度函数图xj

(x)01-130概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第30页!

因此对同一长度的区间,x0y-11若此区间越靠近点

x=0,则其即X

在该区间上取值的概率所以标准正态分布的分布规律是

“中间多,两头少”.越大,对应的曲边梯形的面积越大,31概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第31页!正态分布的方差若随机变量X~N(,2),则DX=2

。证明:32概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第32页!(x)的计算(1)x0时,查标准正态分布分布函数表.(2)x<0时,用若X~N(0,1),则(1)P(X

a)=(a);(2)P(X>a)=1(a);(3)P(a<X<b)=(b)(a);(4)若a0,则

P(|X|<a)=P(a<X<a)=(a)(a)=(a)[1(a)]=2(a)1

33概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第33页!一般正态分布的标准化定理

设X~N(,

2),则Y~N(0,1).推论:

若X~N(,

2),则34概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第34页!例题与解答例5.X

~N(8,0.52),求P(|X

-8|<1)及P(X

10)。解:因为X

~N(8,0.52),所以(X

-8)/0.5~N(0,1)35概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第35页!例题与解答例7.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似地服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的考生占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.36概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第36页!正态分布的3原则设X~N(,2),则

P(|X|≤

)=2Φ(1)-1=68.27%.

P(|X|≤2)=2Φ(2)–1=95.45%.

P(|X|≤

3)=2Φ(3)-1=99.73%.

P(|X|≤6)=99.999999802682%.37概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第37页!

设X~N(0,1),求Y=X2的密度函数.解：Y是非负随机变量.是连续函数，对y>0可微，所以Y的密度是对y>0,分布函数课堂练习38概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第38页!

设X~N(0,1),求Y=X2的密度函数.解：y=f(x)=x2,分段单调，因此Y的密度函数为39概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是第39页!解：(1)(2)40概率统计和随机过程课件13事件的独立性共45页，您现在浏览的是