保险学之风险汇聚与风险偏好

第一讲效用、风险与风险态度1第一节风险、不确定性与风险管理一、风险与不确定性风险是客观存在（Astateofworld），而不确定性是心理状态（Astateofmind）。风险是可以测定的(Measurable)，有其发生的一定概率，而不确定性是不能测定(Immeasurable)。风险的重要性在于它能给人们带来损失或收益；而不确定性的重要性则在于它影响着个人、公司和政府的决策过程。2〔一〕风险的度量

1.概率(Probability)

3

2.期望值(Expectedvalue)

43.方差(Variance)54.标准差(Standarddeviation)65.离散系数(Deviationcoefficient)76.偏度(Skewness)87.协方差(Covariance)98.相关系数（Correlationcoefficient）10〔二〕风险险管理风险管理是是通过风险险的识别、、衡量和控控制，以最最小的成本本将风险导导致的各种种不利后果果减少到最最低限度的的科学管理理方法，是是组织、家家庭或个人人用以降低低风险的负负面影响的的决策过程程。11121314第二节风风险汇聚、、大数法则则与中心极极限定理一、风险汇汇聚的效果果当风险是相相互独立的的时候，汇汇聚安排可可以抑制风风险，风险险管理的价价值因此而而显现出来来。15例子：假设设蓝猫和黑黑猫下一年年度发生20万元损损失的概率率都为20%，且两两者的事故故损失不相相关。16如果蓝猫和和黑猫决定定在他们之之间进行风风险汇聚，，也就是说说，不论谁谁发生意外外，两个人人同意均担担发生的损损失，这时时看期望损损失和标准准差如何变变化：17可以看到，，风险汇聚聚虽然不能能改变每个个人的期望望损失，但但却能将平平均损失的的标准差由由8万元减减小到5.66万元元，使事故故损失变得得更容易预预测，因此此风险汇聚聚降低了每每个人的风风险。不难证明，，当风险汇汇聚的加入入者增多，，平均损失失的标准差差会进一步步减少，出出现极端损损失（非常常高的损失失和非常低低的损失））的概率不不断降低，，风险变得得更易预测测。而且随随着加入者者数量的增增加，每个个人支付的的平均损失失的概率分分布逐渐接接近于钟形形曲线。当参加风险险汇聚的人人足够多，，达到一定定的大数，，每个参加加者成本的的标准差将将变得接近近于零，因因此每位加加入者的风风险将变得得可以忽略略不计。这这就是保险险经营最重重要的数理理基础———大数法则则。18二、大数法法则(Lawoflargernumbers)1.切贝雪雪夫（Chebyshev））不等式和和切贝雪夫夫大数法则则19切贝雪夫大大数法则说说明，当n足够大时时，平均每每个被保险险人实际获获得的赔偿偿金额与每每个被保险险人获得的的赔偿金额额的期望值值之间的差差异很小，，或者说，，平均每个个人获得的的赔款与赔赔款的期望望值之差的的绝对值小小于这一事事件，在n→∞时是是个必然事事件。而保保险公司从从投保人那那里收取的的纯保费（（不包括保保险公司的的管理费用用、税收和和利润等））应等于每每个被保险险人获得的的赔偿金的的期望值。。切贝雪夫夫大数法则则又指明了了期望值在在n→∞时时等于实际际赔偿额的的平均值。。尽管实际际赔偿额的的平均值事事先是无法法知道的，，但保险人人可以根据据以前的统统计资料知知道同类损损失的平均均值是多少少。所以当当n足够大大时，保险险人从投保保人哪里收收取的保险险费应该是是以前损失失的平均值值。这就是是保险公司司从投保人人那里收取取多少的保保险费的基基本依据，，如果风险险汇聚的加加入者达不不到一定的的“大数””，保险公公司就无从从知道应该该向每个投投保人收取取多少保险险费，保险险也就失去去了最基本本的精算基基础。202.辛钦大大数法则3.贝努利利大数法则则在保险经营营中，当相相互独立的的风险单位位满足一定定的大数，，保险公司司就可以用用以往损失失频率的统统计数据来来推测未来来同一损失失发生的概概率，因为为，大数法法则令两者者近于相等等。214.泊松（（Poisson））大数法则则在保险经营营中，尽管管相互独立立的风险单单位的损失失概率可能能各不相同同，但只要要标的足够够地多，仍仍可以在平平均意义上上求出相同同的损失概概率。保险险公司由此此可以把性性质相似的的各分类的的标的集中中在一块，，求出一个个整体的费费率，再加加以调整，，从而在整整体上保证证收支平衡衡。比如，，尽管同一一档次的众众多车辆所所面对的风风险可能各各不相同，，但仍可以以把它们放放在同一个个风险集合合之内进行行风险汇聚聚，只要这这些车的数数量满足一一定的大数数即可。22〔二〕中心心极限定理理当风险汇聚聚的加入者者足够多时时，平均损损失的分布布接近于正正态分布，，就可以用用正态分布布的概率值值来估计结结果超过某某给定值的的概率。23德莫佛-拉拉普拉斯定定理列维定理2425第三节期期望效用与与风险偏好好一、效用与与投资风险险26例子：1000元钱钱在1年之之内：夹在书中：：——1000元存入银行：：——1030元投资基金：：——预定定指数高于于大盘指数数（比如上上证指数））：回报率率40%；；低于大盘盘指数回报报率-20%。如果符合期期望值规律律（Expectedvaluerule），即总总是选择期期望值最高高的投资)：则应应选择投资资基金。**期望值规律律：假定在一次次赌博中，分分别以概率（（p1,…,pn）获得得收益（x1,…,xn），那么该该项赌博的吸吸引力由该赌赌博获得的期期望收益x=∑xipi决定。27二、倍努利的的圣·彼得斯斯伯格悖论（（St.PetersburgParadox)但通常所运用用的期望值规规律却并不总总是适用，比比如1738年倍努利（（Bernoulli)提出的：即即”圣·彼得斯伯格悖悖论（St.PetersburgParadox)“：投掷质质地均匀的硬硬币，直至出出现反面，如如果掷第一次次就出现反面面，得到2美美元，第二次次掷出现正面面，得到4美美元，第三次次掷得到8美美元，这样赌赌局的期望值值是：但没有有人愿意出十十几美元或更更多的钱去冒冒险。28如果我们假设设乙的期望效效用值是财富富的自然对数数——这是一一个和厌恶风风险的人的期期望效用拟合合得很好的函函数形式。现现在用一个数数字化的例子子再展示一下下圣·彼得斯斯伯格悖论:由此可见，乙乙参加这样一一个赌局,他他所愿意出的的赌注仅仅是是4英镑，而而不是无穷大大。29如何解释圣··彼得斯伯格格悖论呢？期望效率理论论提供了答案案，也把效用用理论从古典典推到了现代代。期望效率率理论认为，，不确定性条条件下的效用用也是不确定定的，最终的的效用水平取取决于不确定定事件的结果果。比如，购购买彩票的效效用最终取决决于是否中奖奖，而购买保保险的效用水水平最终取决决于保险事故故是否发生以以及保险人对对损失的赔付付比例。在保保险经济学中中，对不确定定性条件下的的效用研究采采用的是期望望效用函数。。30附注：悖论举举例：1.自相矛盾盾2.半费之讼讼〔古希腊普罗罗泰戈拉Protagoras：：偶提勒士Euathlus〕3.鳄鱼和小小孩：我会不不会吃掉你，，对则放。4.唐吉柯德德悖论：你来来做什么，对对则放。5.理发师悖悖论：6.艾毕曼曼德悖论：7.藏羚羊羊与破窗理论论8.保险业的的诸多悖论：：代理人＋资资源配置31冯·诺依曼和和摩根斯坦恩恩是期望效用用函数的创始始人，所以期期望效用函数数也称冯·诺诺依曼和摩根根斯坦恩效用用函数，其一一般形式是：：32假设效用函数数是财富量的的自然对数，，则：1000元钱钱在1年之内内：1）夹在书中：———1000元2）存入银行行：——1030元3）投资基金金：——预定定指数高于大大盘指数（比比如上证指数数）：回报率率40%；低低于大盘指数数回报率-20%。2）的期望效效用：3）的期望效效用：33期望效用图示示：34如前：亦设U(x)=ln(x),则圣·彼得斯伯格悖悖论中，参赌赌者愿意付出出的代价为：：4美元。35三、风险偏好好——人们对对风险的态度度1.风险偏偏好的分类与与定义风险爱好者（（Risklover）风险厌恶者（（Riskaverter）风险中性者（（Riskneutral）36例子：假设世世界杯足球赛赛中巴西队和和阿根廷队冠冠亚军决赛时时猜巴西队赢赢的彩票中奖奖概率是P，，彩票购买者者中奖后的财财富量是；而而未中奖的财财富量是。彩彩票的期望值值是每一种结结果与其发生生的概率的乘乘积的总和。。如果一一个彩彩票购购买者者期望望值的的效用用等于于彩票票的期期望效效用，，即若若：说明他他仅对对期望望值感感兴趣趣，对对风险险是不不在意意的，，则称称他为为风险险中性性者。。37风险中中性者者的效效用函函数具具有以以下性性质：：1)财财富富数量量的增增加导导致满满足程程度的的上升升。2）边边际效效用恒恒定。。38如果一一个彩彩票购购买者者期望望值的的效用用大于于彩票票的期期望效效用，，即若若：39风险规规避的的效用用函数数满足足以下下两个个假设设：1）财财富数数量的的增加加导致致满足足程度度的上上升2）边边际效效用递递减40如果一一个彩彩票购购买者者期望望值的的效用用小于于彩票票的期期望效效用，，即若若：4142432.风风险偏偏好的的度量量阿罗-普拉拉特绝绝对风风险厌厌恶程程度的的计量量方法法是用用效用用函数数二阶阶导数数和一一阶导导数的的比率率：阿罗-普拉拉特相相对风风险程程度的的计量量方法法是用用绝对对风险险厌恶恶程度度乘以以财富富值W：443.风风险偏偏好与与保险险决策策倍努力力定理理：只只要保保险是是按