2021-2022学年河北省邢台市会宁中学高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2021-2022学年河北省邢台市会宁中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．B【分析】将直线方程化为斜截式，可得直线的斜率，再由斜率公式，结合倾斜角的范围，即可得到所求角．【详解】直线，即为，则直线的斜率为，设倾斜角为，则，可得，故选：B．2．已知，，，若，，共面，则λ等于（

）．A． B．3 C． D．9C【分析】由，，共面，设，列方程组能求出λ的值．【详解】∵，，共面，∴设(实数m、n)，即，∴，解得．故选：C．3．设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A． B． C． D．C【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【详解】椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选C．本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，属于基础题．4．如图，空间四边形OABC中，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（

）A． B． C． D．C【分析】将表示为以为基底的向量，由此求得的值.【详解】依题意，所以.故选：C.本小题主要考查空间中，用基底表示向量，考查空间向量的线性运算，属于基础题.5．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．B利用点到直线的距离公式直接求出原点到直线的距离，即为的最小值.【详解】原点到直线的距离为，故的最小值为.故选：B.6．已知直线l1：3mx+（m+2）y+3＝0，l2：（m﹣2）x+（m+2）y+2＝0，且l1∥l2，则m的值为（）A．﹣1 B． C．或﹣2 D．﹣1或﹣2A【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解．【详解】根据两直线平行的公式可得，故解得故选：A．7．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是等边三角形，侧面底面为底面内的一个动点，且满足．则点到直线的最短距离为（

）A． B． C． D．D【分析】依题意建立空间直角坐标系，设，根据，即可得到，从而得到动点的轨迹方程，点到直线，即为圆上的点到直线的距离，即可得解；【详解】解：依题意取的中点，连接，建立如图所示空间直角坐标系，则，，设，则，，因为，所以，即，即动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，点到直线，即为圆上的点到直线的距离，所以点到直线的最短距离故选：D8．过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则A．2 B．8 C．4 D．10C【详解】由已知得，，所以，所以，即为直角三角形，其外接圆圆心为AC中点，半径为长为，所以外接圆方程为，令，得，所以，故选C．圆的方程．二、多选题9．下列说法错误的是（

）A．若直线与直线互相垂直，则B．直线的倾斜角的取值范围是C．过，两点的所有直线的方程为D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为ACD．根据直线垂直的等价条件进行判断，．根据直线斜率以及正切函数的图象和性质进行判断，．当直线和坐标轴平行时，不满足条件．．过原点的直线也满足条件．【详解】解：．当，两直线方程分别为和，此时也满足直线垂直，故错误，．直线的斜率，则，即，则，故正确，．当，或，时直线方程为，或，此时直线方程不成立，故错误，．若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故错误，故选：．10．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是()A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为AB【分析】根据正方体ABCD﹣A1B1C1D1的特征，利用空间向量的线性运算以及数量积公式即可求解.【详解】由题意，正方体ABCD﹣A1B1C1D1如下图所示：由向量的加法得到：，∵，∴，所以A正确；∵，AB1⊥A1C，∴，故B正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又∵A1BD1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C错误；∵AB⊥AA1，∴，故0，故D错误．故选：AB．11．下列命题正确的有（

）A．若方程表示圆，则的取值范围是B．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是C．已知点在圆C：上，的最大值为1D．已知圆和，圆和圆的公共弦长为BD将圆的一般式方程化为标准方程即可得圆心坐标，可判断选项A，设利用圆心到直线的距离等于半径可求圆心坐标，即可得圆的方程，可判断选项B，表示圆上的点与原点连线的斜率，可得相切时取得最值，设切线为，利用圆心到切线的距离等于半径，即可求出的值，可得的最值，即可判断选项C，两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，利用弦心距、弦长的一半、半径构成直角三角形即可求出弦长，即可判断选项D，进而得出正确选项.【详解】若方程表示圆，则，即，解得或，故选项A不正确；设圆心，则圆心到直线的距离为，解得，即圆心为，所以圆的标准方程是，故选项B正确；由可得，表示圆上的点与原点连线的斜率，可得相切时取得最值，设切线为，则，显然不是方程的解，故的最大值不是1，故选项C不正确，将两个圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程，由得，可得圆心，，圆心到直线的距离所以弦长为，所以公共弦长为，故选项D正确，故选：BD方法点睛：圆的弦长的求法：（1）几何法，设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；（2）代数法，设直线与圆相交于，，联立直线与圆的方程，消去得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，，根据弦长公式，即可得出结果.12．在长方体中，，，，以为原点，以，，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（

）A．B．异面直线与所成角的余弦值为C．平面的一个法向量为D．二面角的余弦值为ACD【分析】根据坐标系求出各相关点坐标，结合异面直线向量夹角公式，平面法向量求解公式，二面角向量夹角公式，对选项一一判断即可．【详解】解：在长方体中，，，，以为原点，以，，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，对于A，∵，，∴，故A正确；对于B，，，，，设异面直线与所成角为，则异面直线与所成角的余弦值为：，故B错误；对于C，，，，设平面的一个法向量为，则，取，得平面的一个法向量为，故C正确；对于D，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，∴二面角的余弦值为：，故D正确.故选：ACD．三、填空题13．有一光线从点射到直线以后，再反射到点，则入射光线所在直线的方程为___________.【分析】设点关于直线的对称点为，可得，解得点，再利用点斜式即可得出．【详解】解：设点关于直线的对称点为，则，解得．则点在反射光线所在的直线上．反射光线所在的直线方程为：，化为．反射光线所在的直线方程为．故14．设为椭圆的左､右焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则的值为___________.【分析】由给定条件探求出PF2⊥x轴，由此求出的长，再借助椭圆定义即可得解.【详解】依题意，，右焦点，如图，因线段的中点在y轴上，而O是线段，于是得PF2//y轴，即PF2⊥x轴，由得，则有，于是有，，所以的值为.故15．已知过点的直线l被圆所截得的弦长为8，那么直线l的方程_____________.或【详解】分析：首先求得圆心到直线的距离，然后求解直线方程即可.详解：设圆心到直线的距离为，由题意可知：，解得：，即点到经过点直线的距离为，很明显直线的斜率不存在时满足题意，直线方程为，当直线斜率存在时，设直线方程为，即，由点到直线距离公式可得：，解得：，此时，直线方程为，整理为一般式即.综上可得：直线的方程为或.点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，直线方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：如图，的三条边长分别为，，.延长线段至点，使得，以此类推得到点和，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆.已知，则由生成的康威圆的半径为___________.利用弦长相等，，圆心与弦所在直线距离相等，得圆心是直角的内心，从而易求得圆半径．【详解】设是圆心，因为，因此到直线的距离相等，从而是直角的内心，作于，连接，则，，所以．故．关键点点睛：本题考查求圆心的半径，关键是找出圆心位置，解题根据是利用弦长相等，则圆心到弦所在直线的距离相等，从而得出圆心是题中直角三角形内心，这样由勾股定理可得结论．四、解答题17．已知的顶点，边AB上的中线CM所在直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为．求：(1)顶点C的坐标；(2)直线BC的方程．(1)(2)【分析】（1）先根据直线AC与直线BH垂直，斜率乘积为-1，得到，从而利用点斜式求出直线AC方程，与CM所在直线联立求出点C坐标；（2）先设出点的坐标为，利用中点坐标公式表达出点坐标，再把B点坐标代入BH所在直线，求出，从而求出点B坐标，结合第一问求解的点C的坐标，求出直线BC的方程【详解】（1）因为边AC上的高BH所在直线方程为∴，且∴∵的顶点∴直线AC方程：，即与联立，，解得：所以顶点C的坐标为（2）因为CM所在直线方程为故设点的坐标为因为是中点，所以因为在BH所在直线上所以，解得：所以点坐标为由第一问知：C的坐标为故直线BC的方程为，整理得：18．如图，直三棱柱中，，，，点是的中点．（1）求证∶平面；（2）求与平面所成角的正弦值及直线到面的距离．(1)证明见解析；(2)；.【分析】(1)连接A1C交AC1于点N，连接MN，证明B1C//MN即可推理得证；(2)由给定条件，以点C为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，借助空间向量即可求线面角及线面距离.【详解】(1)在直三棱柱中，连接A1C交AC1于点N，连接MN，如图，则点N是线段A1C中点，而M是线段A1B1中点，从而有MN//B1C，又平面，平面，所以平面；(2)依题意，平面ABC，又，则以点C为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则，，令为平面的法向量，则，令，得，设直线与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值是；由(1)知，平面，则直线到平面的距离等于点B1到平面的距离d，因此，，所以直线到平面的距离是.19．已知圆C的圆心C在直线上，且与x轴相切，直线与圆C交于A、B两点，且的面积为.（1）求圆C的方程；（2）当圆C的圆心在第一象限时，过点作圆C的切线，求切线方程.（1）或；（2）和.【分析】（1）根据圆心在直线上，可设圆心C的坐标为，利用距离公式和弦长公式代入面积公式，即可得解；（2）要求圆的切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，分切线斜率存在和不存在两种情况讨论即可得解.【详解】（1）设圆心C的坐标为，则半径为.∴圆心C到直线的距离为，.则，由，解得.符合条件的圆C的方程为或.（2）当切线的斜率存在时，设过点的圆的切线方程为，即，由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，解得，所以切线方程为即，当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离是3，是圆的切线，综上，过点的圆的切线方程为和.20．如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱中，P是侧棱上的一点，(1)试确定m的值，使直线AP与平面所成角为；(2)在线段上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，有？证明你的结论．(1)(2)答案见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的公式求出m的值；（2）假设在线段上存在这样的点Q，设点Q的横坐标为x，则，由，即，求出，即可得出答案．【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则点，，，，，，，，，，由，,知，为平面的一个法向量．设AP与平面所成的角为，则，解得故当时，直线AP与平面所成角为．（2）假设在线段上存在这样的点Q，设点Q的横坐标为x，则，，依题意，得，即，，解得，当Q为的中点时，满足题设的要求．21．已知直线与圆相交于两点，（1）求的取值范围；（2）若为坐标原点，且，求的值.（1）;（2）.【分析】（1）联立直线与圆的方程，利用判别式大于零，即可求k的取值范围；（2）由已知条件及向量数量积的坐标表示，结合韦达定理列出关于k的方程，求出k的值即可．【详解】（1）联立，所以，可得.（2）设，所以，由（1）知：，，则，解得.22．如图甲所示，在矩形ABCD中，，，为的中点，沿AE将翻折，使D折至处，且二面角为直二面角（如图乙）．（1）求证：；（2