热工测试基础知识

热工测试技术12/7/2022第一页，共四十八页。12/7/2022第二页，共四十八页。对于任意线性系统，高阶常系数线性微分方程都是成立的1、测量系统的数学模型--传递函数式中y——输出信号，是时间t的函数x——输入信号，是时间t的函数t——时间

——常数；——常数

——输出量对时间t的n阶导数——输入量对时间t的m阶导数。12/7/2022第三页，共四十八页。

传递函数的定义：它正是表达了输出信号与输入信号的比的关系。（一）时域范围的传递函数若系统的初始条件为零，即在考察时刻以前（t-0-），其输入量、输出量及其各阶导数均为零，则对高阶常系数线性微分方程进行拉氏变换，得

1）拉普拉斯型传递函数：将输出量和输入量两者的拉普拉斯变换之比定义为传递函数H（s），即

12/7/2022第四页，共四十八页。

2）D算子型传递函数：将输出量和输入量两者之比进行D算子变换为传递函数H（D），即

传递函数以代数式的形式表征了系统的传输、转换特性。其分母中s或D的n次幂代表了系统微分方程的阶数。如n为1或n为2，就分别称为是一阶系统或二阶系统的传递函数等等。传递函数有以下几个特点：12/7/2022第五页，共四十八页。①传递函数是由高阶常系数线性微分方程变换而来的，因此它与微分方程一样，代表了系统的固有特性，而且比微分方程更为直观地揭示出输出量与输入量间的动态特性。

②传递函数有多种形式，表现的内涵相同。③H（s）和输入无关，即不因x(t)而异。它只反映系统的特性。④H（s）是通过把实际物理系统抽象成数学模型后经过变换后得到的。它只反映系统的响应特性而和具体的物理结构无关。同一个传递函数可能表征着两个完全不同物理系统，它们具有相似的传递特性。⑤运算简化传递函数→将微积分运算简化为代数运算，因此是一种有用的工具。12/7/2022第六页，共四十八页。⑥H（s）虽和输入无关，但它们所描述的系统对任一具体的输入x（t）都确定地给出了相应的y(t)。而且由于y(t)和x(t)常具有不同的量纲，因而用传递函数描述的系统之传输、转换特性地应该真实地反映这种变换。这些都是通过系数an、an-1、a1、a0和bm、bm-1、…、b1、b0反映的。不仅不同的物理系统有不同的系数量纲；就是同个系统，各系数的量纲也有所不同。⑦H(s)中的分母完全由系统（包括研究对象和测试装置）的结构所决定，而分子则和输入（激励）点的位置、所测的变量以及测点布置情况有关。⑧用传递函数来研究环节间信号流向直观、清楚，见图（2-7）、（2-8），各环节的传递函数已知，则串联相乘，并连相加，信号流向清晰。12/7/2022第七页，共四十八页。两个传递函数各为H1(s)和H2（s）的环节，其串联后所组成的系统的传递函数H（s）为：对n个环节串联组成的系统，有串联相乘图2-7两个环节的串联12/7/2022第八页，共四十八页。图2-8两个环节的并联若n个环节环节并联:12/7/2022第九页，共四十八页。如果我们已知某一个系统（环节）的传递函数H（S），并且输入量为，相应的输出量为。但具体x与y有何差异，y与x接近的程度如何？它以什么方式趋近，在趋近的过程中，有无滞后，有无振荡。又，当输入量为正弦波时，，由线性系统性质决定输出量也必为一正弦波，且为：。它们的幅值并不相同，相差多少？相位滞后，滞后多少？输出波形会否失真，畸变。要回答这一些问题，必须考察环节在动态输入量的作用下，发生的状态变化，在“动”中考察其响应。换句话说：既要对环节输入一个动态量，考察在该动态量的作用下，其状态变化的情况。考察分为：时域考察；频域考虑。（二）频域范围的传递函数12/7/2022第十页，共四十八页。广义地讲，输入量可以是任意的信号，以这时对应的输出信号，来研究动态特性，是没有普遍意义的。因此采用几种典型的标准信号（有信号发生器）作为输入信号，作用于测量系统（环节）。目前常用标准输入信号，在时间域内用阶跃函数（或脉冲函数）；在频率域内用正弦函数等。在这些标准输入信号的作用下，环节的输出响应分别称为脉冲响应特性、阶跃响应特性和频率响应特性。1、阶跃响应特性---输入阶跃信号，考察输出的阶跃响应用阶跃信号（或脉冲信号）在时域考察，输出量称为阶跃响应。当输入为一阶跃信号，其对应的输出为阶跃响应。

阶跃响应的意义在于知道了系统的阶跃响应，实际上是知道了描述该系统的微分方程在特定的输入函数（阶跃输入）的给定的边界条件下的解。因此可以得出任意随时间变化的信号对应的输出情况。12/7/2022第十一页，共四十八页。a)数学考察----此时若输入信号为单位阶跃函数Au(t)，即它的拉普拉斯变换式为

环节的传递函数为，则它的阶跃响应特性为12/7/2022第十二页，共四十八页。输入信号x(t)输出信号y(t)a)数学考察----此时若输入信号为阶跃温度12/7/2022第十三页，共四十八页。由（2-9）式热电偶温度计的动态特性方程令，称之为时间常数，代入上式，则

（2-34）将热电阻温度计测温环节，放在时间域内进行考察，考察它的动态特性、考察它的动态响应情况。对（2-34）进行拉普拉斯变换，得到它的传递函数：

则传递函数为：（2-35）

热电偶温度计的阶跃响应特性

（2-36）12/7/2022第十四页，共四十八页。2、频率响应特性在频率域内考察测量系统或环节的动态特性，采用典型的标准信号正弦信号作为输入量，考察测量系统或测试环节的输出量的情况。当一个线性稳定的测量系统或测试环节的输入端加上一个幅值为A，角频率为ω的正弦输入信号，此时的输出端会产生一个和输入信号有相同频率、幅值为B，相位延迟为Φ的强迫振荡正弦输出信号。12/7/2022第十五页，共四十八页。当输入信号，输出信号。如由2-17可见：1）对于线性系统，当输入信号为时，输出信号由于暂态过渡部分的影响，输出信号并不成正弦波，但暂态过渡部分随着时间的增长，逐渐衰减以至消失。在某一时刻内进入稳态响应阶段，输出信号呈正弦曲线，此阶段称为稳态阶段。

2）输出信号与输入信号，二者频率相同，幅值不等，并有一定的相位差。3）当输入信号的幅值A一定时，只要ω有所变化，输出信号的振幅B、相位也会发生变化。当测量系统或测试环节进入稳定状态时，输出、输入信号的幅值比B/A与输入信号频率ω的关系，输出、输入信号的相位差与输入信号频率ω的关系称为测量系统或测试环节的频率特性，其中：B/A-ω称之为测量系统或测试环节的幅频特性；称之为测量系统或测试环节的相频特性。这种频率域内表征测量系统或测试环节的动态特性称之为频率响应特性。12/7/2022第十六页，共四十八页。（三）频率型传递函数①频率型传递函数线性稳定的测量系统或测试环节在正弦输入情况下，输出端会产生一个和输入信号有相同频率的强迫振荡正弦输出信号。为了在频率域内研究测量系统或环节的动态响应特性，与在时间域内研究一样，引入表达了输出信号与输入信号之比的传递函数。称之为频率型传递函数，记为。得到频率型传递函数的方法，用代替（2-23）式中的S或（2-24）式中的D即可。注意，用代替D或S并不是一种随心所欲的作法，而是由同一描述测量系统或测试环节的动态特性的微分方程变换而来的。从不同的角度，反映出测量系统或测试环节的动态特性。12/7/2022第十七页，共四十八页。高阶常系数线性微分方程（2-12），对于任意线性系统都是适用的：将代入上式（2-38）12/7/2022第十八页，共四十八页。正弦函数在其时间域内微分运算的结果，只改变它的幅值和相位，并不改变它的ω，每微分一次，其幅值增大ω倍，相位提前，则2-38式变为式中：——称为测量系统或测试环节的频率特性；---表示幅值比与频率的关系，称之为测量系统或测试环节幅频特性；-----表示相位差与频率的关系，称之为测量系统或测试环节相频特性。②线性测量系统的频率特性求线性测量系统的频率特性，与前面时域分析方法一样，由组成系统的各个环节，按信号传递的方式联接，构成线性测量系统的频率特性。12/7/2022第十九页，共四十八页。1）环节串联的测量系统，在时域内，其传递函数，如式（2-26）所示在频率域内，其传递函数

2）环节并联的测量系统，在时域内，其传递函数，如式（2-27）所示在频率域内，其传递函数在频率域内，其传递函数12/7/2022第二十页，共四十八页。。三、简单测量环节的动态特性1、一阶环节的动态特性

由高阶常系数线性微分方程，根据一阶环节的定义，除系数：外，其余都等于0，则得到一阶环节的微分方程：变换12/7/2022第二十一页，共四十八页。由于a1/a0具有时间的量纲，称为“时间常数”，记为T；b0/a0具有输出/输入的量纲，称为“灵敏度系数”。记为k、k在线性系统中只起一个放大k倍的作用，且k为常数则D算子形式的传递函数：12/7/2022第二十二页，共四十八页。拉氏形式的传递函数：频率传递函数：（一）时间域内考察----阶跃响应：①数学解析：当输入x（t）为一阶跃信号，其函数表达式：12/7/2022第二十三页，共四十八页。求在阶跃信号的作用下一阶环节的阶跃响应将代入D算子传递函数：解一阶非齐次微分方程：⑴求对应齐次方程的通解y1（动态解）由特征方程：则D的根则12/7/2022第二十四页，共四十八页。

⑵求非齐次方程的特解y2（稳态解）：为零次多项式，用待定系数法求得且C=kA⑶该一阶非齐次方程的通解：利用初始条件：则⑷一阶非齐次微分方程在阶跃输入下的解：上式为一阶环节的阶跃响应函数－指数函数表达式12/7/2022第二十五页，共四十八页。

②测量分析⑴对一阶仪器－液柱式温度计输入一阶跃温度12/7/2022第二十六页，共四十八页。12/7/2022第二十七页，共四十八页。⑵输入阶跃信号，输出指数曲线趋近输入。⑶如图表示时间常数T=0.1，0.5和1.0秒时的响应曲线。T越小，响应愈快；⑷要多长时间y与x才一致呢？理论上

y=kA，才能达到输入值。实际上，由于

这一项衰减很快，当

输出已达到输入的99.32%了。

12/7/2022第二十八页，共四十八页。，研究环节的频率响应，是研究环节进入稳态响应阶段，从数学的角度求非齐次方程的特解y2，从测量的角度，此时输出已稳定，所以又称y2为稳态解。求频率响应稳态部分，直接利用频率传递函数，研究在稳定状态幅值比B/A与相位差随ω变化的状况即可。求出测量环节系统的幅频特性与相频特性。总之，对于一阶环节，无论阶跃输入或正弦输入，其动态特性的好坏都取决于动态特性参数时间常数T。T值越小，系统或环节的阶跃响应，频率响应较好，动态误差较小。（三）实例一阶测量仪器①热电偶测温——典型的一阶惯性环节：令

12/7/2022第二十九页，共四十八页。D算子形传递函数：拉氏传递函数：频率传递函数：

幅频特性：相频特性：

12/7/2022第三十页，共四十八页。②R-C电路（阻容滤波）③简化的机械系统（质量可忽略）12/7/2022第三十一页，共四十八页。高阶常系数线性微分方程12/7/2022第三十二页，共四十八页。1、二阶环节的动态特性由高阶常系数线性微分方程，根据二阶环节的定义，除系数：外，其余都等于0，则得到二阶环节的微分方程：变换令固有频率阻尼比12/7/2022第三十三页，共四十八页。传递函数：D算子传递函数：或频率型传递函数12/7/2022第三十四页，共四十八页。（一）时间域内考察----阶跃响应：①数学解析：当输入x（t）为一阶跃信号，其函数表达式：

拉氏传递函数12/7/2022第三十五页，共四十八页。求在阶跃信号的作用下二阶环节的阶跃响应。求测量系统（环节）的阶跃响应函数，即解二阶线性非齐次微分方程。由特征方程：

得到D的根

12/7/2022第三十六页，共四十八页。为实根，二阶环节的解—阶跃响应函数：为实根，二阶环节的解—阶跃响应函数：12/7/2022第三十七页，共四十八页。共轭复根。二阶环节的解—阶跃响应函数为：的特例。阶环节的解—阶跃响应函数为：12/7/2022第三十八页，共四十八页。②测量分析⑴对二阶仪器输入一阶跃信号12/7/2022第三十九页，共四十八页。12/7/2022第四十页，共四十八页。（一）频率域内考察---频率响应：①数学解析：当输入x（t）