狄利克雷函数-解析

约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（JohannPeterGustavLejeuneDirichlet），德国数学家。科隆大学博士。历任柏林大学和格廷根大学教授。柏林科学院院士。是解析数论的创始人。对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献。主要著作有《数论讲义》、《定积分》等。狄利克雷函数在数学中有许多以数学家的名字命名的定义、定理、公式、法则和方程等，其中德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，1、关于狄利克雷函数给出下列结论：①；②D（x+1）=D（x）；③，④，其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】按照狄利克雷函数的定义，对①②③④一一验证即可.对于①：分x为无理数和有理数，验证；对于②：分x为无理数和有理数，验证；对于③：取x为无理数，得到；即可判断；对于④：直接由定义求出值域即可.【详解】对于①：若x为无理数，则也是无理数，所以；若x为有理数，则也是有理数，所以；故①正确.对于②：若x为无理数，则也是无理数，所以；若x为有理数，则也是有理数，所以；故②正确.对于③：若x为无理数，则，所以；故③错误.对于④：由定义知：若x为无理数，则；若x为有理数，则，故.故④正确.故选：C2、下列关于狄利克雷函数的说法错误的是（）A．B．对于任意实数x，均有成立C．为偶函数D．存在无数个实数x，使得成立【答案】B【分析】由解析式判断A；取代入解析式判断B；由定义证明奇偶性判断C；由任意的无理数x，都有成立判断D.【详解】因为，所以A选项正确；因为当时，有，所以B选项错误；无论是无理数还是有理数，都有，则，即函数为偶函数，所以C选项正确；因为，对于任意的无理数x，都有成立，所以D选项正确故选：B3、关于狄利克雷函数有如下四个命题：①；②对任意，恒有成立；③任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立；④存在三个点、、，使得为等边三角形；其中真命题的序号为（）A．①③④ B．②④ C．②③④ D．①②③【答案】C【分析】命题①：根据狄利克雷函数的定义分别验证为无理数和为有理数时的值；命题②和命题③：分为无理数和为有理数两种情况进行验证；命题④：结合狄利克雷函数的定义找特殊点进行验证.【详解】当为无理数时，，所以；当为有理数时，，所以，所以对任意，恒有，①错误；当为无理数时，也为无理数，所以；当为有理数时，也为有理数，所以，②正确；对任意实数，任取一个不为零的有理数，若为无理数时，则也为无理数，所以；当为有理数时，也为有理数，所以，所以任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立，③正确；取，则，此时，三点恰好构成等边三角形，④正确.故选：C.4、下列有关狄利克雷函数的说法中不正确的是（）A．的值域为 B．是偶函数C．存在无理数，使 D．对任意有理数，有【答案】C【分析】由分段函数的解析式求得函数的值域，可判定A；由偶函数的定义，可判定B；由函数的周期函数的定义，可判断C、D，进而得到答案.【详解】由题意，函数，可得函数的值域为，所以A正确；若为有理数，则也为有理数，可得；若为无理数，则也为无理数，可得，所以函数为定义域上的偶函数，所以B正确；当为无理数，若为有理数，则为无理数，若为无理数，则可能为有理数，也可能是无理数，不满足，所以C不正确；对于任意有理数，若为有理数，则为无理数，若为无理数，则为无理数，所以，所以D正确.故选：C.5、以下关于狄利克雷函数的性质：①；②的值域为；③为奇函数；④，其中表述正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】Et狄利克雷函数的定义判断．【详解】由题得，则，①正确；容易得的值域为，②正确；因为，所以，为偶函数，③不正确；因为，所以，④正确．故选：C．6、以下对说法错误的是（）A．定义域为B．当时，的值域为；当时，的值域为C．为偶函数D．在实数集的任何区间上都不具有单调性【答案】B【分析】无理数集和有理数集的并集是实数集，A易判断；的函数值只有两个，故B易判断；分和两种情况，判断C即可；根据实数的稠密性易判断D项.【详解】解：显然无理数集和有理数集的并集是实数集，故A正确；的函数值只有两个，的值域为，故B错误；若，则，；若，则，；所以为偶函数，故C正确；由于实数具有稠密性，任何两个有理数之间都有无理数，任何两个无理数之间也都有理数，其函数值在之间无间隙转换，所以在实数集的任何区间上都不具有单调性,故D正确.故选：B7、（多选）下列说法正确的是（）A．的值域为B．的定义域为C．D．任意一个非零有理数，对任意恒成立【答案】BCD【分析】根据分段函数的解析式和函数的性质逐一判断可得选项.【详解】因为函数，所以的值城为，故A不正确；因为函数，所以的定义城为，故B正确；因为，所以，故C正确；对于任意一个非零有理数，若x是有理数，则x+T是有理数；若x是无理数，则x+T是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有对任意恒成立，故D正确，故选：BCD.8、（多选）关于函数有以下四个命题，其中真命题是（）A．函数是奇函数 B．，C．函数是偶函数 D．，【答案】CD【分析】根据自变量是有理数和无理数进行讨论，可判定A、C、D，举特例根据和可判断B即可得到答案.【详解】对于A，当为有理数时，则为有理数，则．当为无理数时，则为无理数，则．故当时，，∴函数为偶函数，所以A错；对于B中，当是无理数，是无理数，则是无理数，则，则，所以B不正确；对于C中，若自变量是有理数，则，若自变量是无理数，则，所以，则是偶函数，C正确，D正确．故选：CD.9、（多选）关于函数有以下四个命题，其中真命题有（）A．既不是奇函数也不是偶函数B．C．D．【答案】BCD【分析】根据自变量是有理数和无理数进行讨论，可判定A、B、C，举特例根据和可判断D即可得到答案.【详解】对于A，当为有理数时，则为有理数，则．当为无理数时，则为无理数，则．故当时，，∴函数为偶函数，若自变量是有理数，则也是有理数，可得，所以不是奇函数，所以A不是真命题；对于B，，当是有理数时，是有理数，，当是无理数时，是无理数，，所以B是真命题；对于C，若自变量是有理数，则，若自变量是无理数，则，所以C是真命题；对于D，当是无理数，是无理数，则是无理数，则，满足，所以D是真命题.故选：BCD.【点睛】本题考查了特殊函数的性质及求函数的值，关键点是理解函数的定义和性质去做判断，考查了逻辑推理，数学运算.10、（多选）关于函数性质的叙述正确的是（）A．定义域为RB．C．存在无穷多个，使得的图象关于直线轴对称D．，且，必有【答案】ABC【分析】对于选项A：根据分段函数的解析式求出定义域可知选项A正确；对于选项B：利用分段函数的最值可知选项B正确；对于选项C：根据对任意的实数x有无穷多个，使恒成立可知选项C正确；对于选项D：取，且，可知选项D错误.【详解】对于选项A：∵函数，∴，∴选项A正确，对于选项B：∵，∴，∴选项B正确，对于选项C：∵对而言，若恒成立，∴函数关于对称，∴对于任意的实数x，则也为任意实数，由的解析式可知，有无穷多个，使关于对称，∴选项C正确，对于选项D：取，令，∴，与选项D矛盾，所以选项D错误.故选：ABC.11、（多选）关于下列说法正确的是（）A．函数的值域是B．C．对任意恒成立D．存在三个点，，，使得为等腰直角三角形【答案】BC【分析】根据新定义函数得函数的值域为；无论为有理数还是无理数，均为有理数，故；由于与均属于有理数或均属于无理数，故对任意恒成立；假设存在，则根据函数推出矛盾即可否定结论.【详解】解：对于A选项，函数的值域为，故A选项错误.对于B选项，.当为有理数时，，当为无理数时，，所以，，故B选项正确.对于C选项，为有理数时，为有理数，当为无理数时，为无理数，所以恒成立，故C选项正确.对于D选项，若为等腰直角三角形，不妨设角为直角，则的值得可能性只能为或，由等腰直角三角形的性质得，所以，这与矛盾，故D选项错误.故选：BC.12、（多选）关于函数f(x)有（）A．f(f(x))＝1 B．函数=f(x)的图象是两条直线C．>f(1) D．x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)【答案】AD【分析】利用题中的定义，直接分析求解即可【详解】对于A，当为有理数时，，所以，，当为无理数时，，，所以，A正确；对于B，明显地，函数=f(x)的图象是断续的点集，不是两条直线，B错误；对于C，，，所以，，C错误；对于D，明显地，定义域为，且，所以，为偶函数，若是有理数，则也是有理数；若是无理数，则也是无理数；所以，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数，对恒成立，取，则有，所以，x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)，所以，D正确故选：AD13、对任意的，，都有（√）14、对任意的，，都有（×）15、函数有无数个零点（√）16、函数是奇函数（×）对于B，函数形式不变，不满足奇函数定义，故B错误；17、，使得（×）对任意，的值为1或0，都是有理数，因此，A错；18、为周期函数，但无最小正周期（√）19、上存在四点、、、，使得四边形为平行四边形，且这样的平行四边形有无数个（√）20、有1个实数根（√）当x取有理数时，可得，解得；当x取无理数时，可得，解得（舍去），所以方程只有1个实数根，21、德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是数学史上第一位重视概念的人，并且有意识地“以概念代替直觉”，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，现定义一个与狄利克雷函数类似的函数为“L函数”，则关于狄利克雷函数和L函数有以下四个结论：①；②函数既是偶函数又是周期函数；③L函数图象上存在四个点A、B、