2020年北京西城一模数学试卷+答案

/13函数f(x)=sin(2x+K)的最小正周期为;若函数f(x)在区间(0,a)上单调递增，贝忆的最大值为—4在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率；甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定其中，所有正确结论的序号是三、解答题:本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.(本小题满分14分)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,44］丄平面ABCD,底面ABCD满足AD||BC,且AB=AD=AA1=2,BD=DC=2V2.(I)求证:AB丄平面ADD1Ai；仃I)求直线AB与平面BCD］所成角的正弦值.(本小题满分14分)已知△ABC满足,且0=46,A=2^,求sinC的值及△ABC的面积.3从①B=&②a=V3,③a=3V2sinB这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.4注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.(本小题满分14分)2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:男女647357903b656L4713565818(I)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；仃I)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求X的分布列和数学期望；(III)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值•(结论不要求证明)(本小题满分14分)设函数f(x)=alnx+x2—(a+2)x，其中aGR・(I)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线的倾斜角为庄，求a的值；4仃I)已知导函数f'(x)在区间(1,e)上存在零点，证明：当％G(1,e)时,f(%)>—e2.(本小题满分15分)设椭圆E：¥=1,直线2］经过点M(m,0),直线12经过点N(n,0),直线"II直线12,且直线々,分别与椭圆E相交于A,B两点和C,D两点.(I)若M,N分别为椭圆E的左、右焦点,且直线4丄％轴,求四边形ABCD的面积；仃I)若直线-的斜率存在且不为0,四边形ABCD为平行四边形，求证:m+n=0;(III)在(II)的条件下，判断四边形ABCD能否为矩形，说明理由.(本小题满分14分)对于正整数仏如果k(kEN*)个整数勺,僞，…,％满足1<a1<a2<…<ak<n,且a1+a2+ak=n,则称数组(珀巴，为兀的一个“正整数分拆”•记勺‘僞，…,％均为偶数的“正整数分拆”的个数为/^，勺‘僞，…,％均为奇数的“正整数分拆”的个数为9他.(I)写出整数4的所有“正整数分拆”；仃I)对于给定的整数n(n>4),设(幻,僞，…叫)是兀的一个“正整数分拆”，且幻=2,求k的最大值；(III)对所有的正整数仏证明:人<gn；并求出使得等号成立的兀的值.(注:对于兀的两个“正整数分拆”(a1，a2，^,ak)与(如每,…,打)，当且仅当k=m且珀=久,僞=每，…,％=bm时,称这两个“正整数分拆”是相同的.)西城区高三统一测试2020.4数学参考答案2020.4一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.TOC\o"1-5"\h\z1．C2．B3．C4．B5.A6.C7.D8.A9.D10.B二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分.11.2012.（-3,1）13逅•~214.n1514.n注：第14题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.16.（本小题满分14分）解：（I）因为在底面ABCD中，AB=AD=2,BD=2辽,TOC\o"1-5"\h\z所以AB2+AD2=BD2，即AB丄AD.2分因为AA丄平面ABCD,ABu平面ABCD,1所以A^丄AB,4分又因为AAAD=A,AA,ADu平面ADDA,1111n11所以AB丄平面ADDA.6分11（口）由（I）,得AB,AD,AA］两两垂直，故分别以AB,AD,AA］为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，7分在底面ABCD中，由题意，得bc=xBD2+CD2=4-IABI-1nI6直线AB与平面所成角的正弦值为吕-14分17•（本小题满分14分）解：（不可以选择②作为补充条件•）选择①作为补充条件.2分解答如下：因为在△ABC中，A+B+C=n,所以sinC=sin(A+B)4分=sinAcosB+cosAsinB6分

.2nn2n.n=sincos—+cossm.2nn2n.n=sincos—+cossm3434………………8分在^ABC中，由正弦定理亠二丄，得a=空仝A=311分sinAsinBsinB所以△ABC的面积s=—absinC=-_-.14分24选择③作为补充条件.………………2分解答如下：在ABC中，由a二ginB，以及正弦定理金=总4分3^2sinB<6得二sin2nsinB3解得sin2B=2.由A=—，得B为锐角，nTOC\o"1-5"\h\z所以B，且a=3\2sinB-3.6分4因为在△ABC中，A+B+C=n,所以sinC=sin(A+B)8分………………10分=sinAcosB+cosA………………10分.2nn2n.n=sincos—+cossin3434………………11分………………14分所以△ABC的面积S=2absinC=屮………………14分18．（本小题满分14分）解：（I）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为A=—,3分2010故在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生约为50x丄=5万人.10………………5分（II）由图表知，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，TOC\o"1-5"\h\z由题意，随机变量X的所有可能取值为：0，1，26分85Ci-Ci，P(85Ci-Ci，P(X=1)=5314C28，P(X=2)=53=-28C2288………………9分………………10分………………10分………………11分………………14分X0125153P2828所以e(x)=0x14+1xH+2x28=4-(皿)m的最小值为4.19．（本小题满分14分）解：（I）由题意，得广（x）=-+2x-（a+2）,2分x

TOC\o"1-5"\h\z则f(2)=tann,4分即-+4-(a+2)=1，解得a=2.6分2(口)f'(x)=a+2x-(a+2)=(2x-a)(x-°，其中xe(1,e)7分xx令广⑴=(2x-a)(x-1)=o，得x=1，或x=a.8分x2由导函数f(x)在区间(1，e)上存在零点，得-e(1,e)，即ae(2,2e)-……9分随着x变化，f(x)与f(x)的变化情况如下表所示：x(1，2)a2za、(—,e)2f'(x)—0+f(x)极小值所以/(x)在(1'|)上单调递减，在中)上单调递增.所以f(x)在(1,e)上存在最小值f(|)=aln(|)-手-a11分设g(x)=2xlnx一x2一2x，xe(1,e)-则g(彳)=f(今)，*e(1,e).12分所以g，(x)=2lnx-2x.由xe(1,e)，得2lnxe(0,2)，2xe(2,2e)，贝％'(x)=2lnx-2x<0.所以g(x)在区间(1,e)上单调递减.所以g(x)>g(e)=-e2，即g>-e2………………14分故当xe(1,e)时，f(x)>-e………………14分20．（本小题满分15分）解：（1）由题意，得a=、辽,b=1,则c=\a2-b2=1.2分根据椭圆的对称性，知四边形ABCD是矩形.设A(—1,y0)，B(—1,—y0)，C(1,—y0)，D(1,y0)，将x=-1代入椭圆方程得y：=2.3分所以四边形ABCD的面积S=IABI-1AD1=21y°I-2c=2^/2.5分(口)设A(x,y),B(x,y)，直线l:y=k(x—m),112216分y=k(x—m),x2消去y，得(1+2k2)x2—4k2mx+2k2m2—2=0，、T+y2=1?7分则A=16k4m2—4(1+2k2)(2k2m2—2)>0，4k2m2k2m2—2x+x=,xx=121+2k2121+2k28分所以IABI=*1+k2Ix—x+k2-J(x+x)2—4xx2129分1+k2-8(1+2k2一k2m2)1+2k2同理，得〔CD|=”1+k2r8(1+2k2一k2n2)1+2k2由四边形ABCD为平行四边形，得IAB1=1CDI，即得m2=n2.由题意知m丰n，所以m=—n，即m+n=0.11分（皿）结论：四边形ABCD不可能为矩形.12分由（口）知M,N两点关于原点对称.根据椭圆的对称性，可得A,C两点关于原点对称，故C的坐标为（-x,-y）.11y+yy2-y221=21x+xxy+yy2-y221=21x+xx2-x22121y2-y2212(1-y2)-2(1-y2)21于是，k-k=厶1ABBCx-x21所以AB不可能垂直于BC.所以四边形ABCD所以四边形ABCD不能为矩形.………………15分21．（本小题满分14分）TOC\o"1-5"\h\z解：(1)(1,1,1,1),(1,1,2),(1,3),(2,2),⑷.3分(口)由题意，知2=aWaWWaWn，且a+a++a=n,12k12kn得n=a+a++a22k，即k•■'■W.5分12k2所以当n是偶数时，k的最大值是-（此时，（2,2,,2）是n的一个“正整数分拆”）；2共有k个2当n是奇数时，k的最大值是口（此时，（22—23）是n的一个“正整数分拆”）.共有k-1个2…8分（皿）当n为奇数时，由题意，得f=0；且（1,1,,1）是n的一个各位数字均为奇数的“正整数分拆”，n共有n个1所以g>0，故f<g、•‘9分nnn当n为偶数时，由(n)是各位数字均为偶数的“正整数分拆”，(1,1,,1)是各位数字均为奇数的“正整数分拆”，得共有n个1TOC\o"1-5"\h\zf〉0，g〉0nnKV'当n=2时，n的“正整数分拆”只有(1,1)和⑵，所以f=g=1；22当n=4时，由(I)知，f=g=2；11分44当n为大于4的偶数时，因为对于n的任意一个各位数字均为偶数的“正整数分拆”(a,a,,a)，都存在一个与之对应的