教学设计：平面的法向量与平面的向量表示

平面的法向量与平面的向量表示（1）教学目标知识与技能了解平面的法向量的概念，并会求已知平面的法向量；了解平面的法向量的应用，并能用法向量论证相关的立体几何问题；掌握正射影的概念，并能做出简单图形在某一平面内的正射影,并说出其图形的形状；掌握三垂线定理及其逆定理，并能应用此定理解题。过程与方法经历数量积的应用过程，以及由数量积的运算法则得出求平面法向量的方法，体会知识的由来及应用过程，并能熟练的求出平面的法向量。情感、态度与价值观向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，通过本节学习，体会他们之间的联系，并逐步认识向量的科学价值、应用价值和文化价值，提高学习数学的兴趣。教学重点、难点重点：平面的法向量的概念及应用，正射影的概念，三垂线定理及其逆定理。难点：平面的法向量的理解及灵活运用，三垂线定理的证明思路及定理的应用。教学方法根据诱思探究学科教学论中提出的学习方式来设计教学过程，遵循“探索——研究——运用”规律，侧重学生的自主学习，让学生动脑思考，整个教学过程贯穿“体验为主线，思维为主攻”于始终，以达到本节的学习目的。教学内容（重点内容、学情分析、教法设计、学法指导、分类推进措施）一、知识回顾：1．线面垂直的定义；2．线面垂直、面面垂直、面面平行的判定定理；3．直线的方向向量及其应用；4．已知向量，，求向量，使得，。（通过回顾4引出法向量概念，并暗示平面法向量的求法）二、概念形成1．平面的法向量的定义：已知平面，如果向量的基线与平面垂直，则向量叫做平面的法向量，或说向量与平面正交。（首先教师口述，之后学生看书填写学案法向量定义）思考：（1）平面的一个法向量和与平面共面的向量的关系是什么？（2）一个平面的法向量是不是唯一的？他们之间具有怎样的位置关系呢？（通过这两个问题，深化对定义的理解，学生思考后口答）应用：证明直线与平面垂直的判定定理。2．平面的向量表示式：过点A以向量为法向量的平面的向量表示式.3．设、分别是平面、的法向量，则或与重合（法向量在立体几何中的应用，使学生进一步明确学习法向量的意义）练习1：已知正方体，分别写出平面，平面，平面的一个法向量，并证明平面和平面互相垂直。（学生思考交流，给出答案）4．确定平面的法向量：三、概念应用例1已知点，，，求平面的一个法向量。（先由学生给出方法，然后教师给出完整过程，规范解题步骤）练习2：1．已知四面体，棱，棱，点为棱的中点，自己作图并指出，哪两点确定的位置向量是平面的法向量？那两个平面互相垂直？为什么？2．已知点，，，求平面的一个法向量。（两名学生板演）四、课堂总结(大约2分钟)学生从知识、题型与方法、数学思想三个方面总结，然后同桌交流各自的看法，最后教师找一名学生回答，其他学生进行补充，教师适当引导。1．知识内容：平面的法向量的概念；2．题型与方法：求已知平面的法向量，用法向量论证相关的立体几何问题，3．数学思想：转化与化归思想，数形结合思想五、达标检测：(大约8分钟)学生自主完成，订正答案，教师强调注意事项。1．填空：在中，，平面，则其中：（1）与垂直的直线有；（2）与垂直的直线有；（3）直角三角形有2．已知正方体，写出平面和平面的一个法向量。3．已知，求平面的一个单位法向量的坐标。4．已知，求平面的单位法向量。平面的法向量与平面的向量表示（2）教学目标知识与技能了解平面的法向量的概念，并会求已知平面的法向量；了解平面的法向量的应用，并能用法向量论证相关的立体几何问题；掌握正射影的概念，并能做出简单图形在某一平面内的正射影,并说出其图形的形状；掌握三垂线定理及其逆定理，并能应用此定理解题。过程与方法经历数量积的应用过程，以及由数量积的运算法则得出求平面法向量的方法，体会知识的由来及应用过程，并能熟练的求出平面的法向量。情感、态度与价值观向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，通过本节学习，体会他们之间的联系，并逐步认识向量的科学价值、应用价值和文化价值，提高学习数学的兴趣。教学重点、难点重点：平面的法向量的概念及应用，正射影的概念，三垂线定理及其逆定理。难点：平面的法向量的理解及灵活运用，三垂线定理的证明思路及定理的应用。教学方法根据诱思探究学科教学论中提出的学习方式来设计教学过程，遵循“探索——研究——运用”规律，侧重学生的自主学习，让学生动脑思考，整个教学过程贯穿“体验为主线，思维为主攻”于始终，以达到本节的学习目的。教学内容（重点内容、学情分析、教法设计、学法指导、分类推进措施）一、知识回顾：1．平面的法向量的定义：2．平面的向量表示式：过点A以向量为法向量的平面的向量表示式.3．设、分别是平面、的法向量，则或与重合二、概念形成1．正射影的定义：已知平面和一点，过点作平面的垂线与相交于点，则ABCD点ABCD（学生阅读课本，填写学案）练习1：已知正方体，分别找出点、点、线段、线段、线段、四边形、四边形、三角形在平面上的正射影。问题：两条异面直线在同一个平面上的射影是什么图形？（直观上从教室内找例子）（通过问题加深对正射影的理解，学生思考同桌交流后口答）2．平面的斜线、斜足：如果一条直线和平面相交于点，但不和平面垂直，那么直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足之间的线段叫做斜线段。（学生明确概念即可）例2已知、分别是平面的垂线段和斜线段，是在平面内的射影，且，求证：。（学生利用第二模块知识给出答案，教师归纳出三垂线定理）3．三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。变式：例2中的条件与结论互换，命题是否正确呢？（学生思考作答）（通过变式引出三垂线定理的逆定理）逆定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直。三、概念深化思考：（1）如果在三垂线定理中，已知条件改为：直线//平面，并且直线垂直于斜线在平面内的射影，直线是否还垂直于直线？（2）如果把条件去掉，其他条件不变，是否有相同的结论呢？（通过两个问题加深对这两个定理的理解）四、概念应用练习2：三垂线定理及其逆定理如图，已知平面，，为的中点，求证：(两名学生板演，师生共同订正)五、课堂总结(大约2分钟)学生从知识、题型与方法、数学思想三个方面总结，然后同桌交流各自的看法，最后教师找一名学生回答，其他学生进行补充，教师适当引导。1．知识内容：平面的法向量的概念，正射影的概念，三垂线定理及其逆定理；2．题型与方法：求已知平面的法向量，用法向量论证相关的立体几何问题，