十字相乘法分组分解法知识讲解详例题演练

十字相乘法及分组分解法知识讲解详及例题演练十字相乘法及分组分解法知识讲解详及例题演练2/10十字相乘法及分组分解法知识讲解详及例题演练十字相乘法及分组分解法【学习目标】2型的二次三项式的因式分解.1.熟练掌握首项系数为1的形如x(pq)xpq2.基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3.对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4.掌握好简单的分组分解法.【要点梳理】要点一、十字相乘法利用十字交织线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2xbxc，若存在pqcpqb，则2xbxcxpxq要点讲解：（1）在对2xbxc分解因式时，要先从常数项c的正、负下手，若c0，则p、q同号(若c0，则p、q异号)，尔后依据一次项系数b的正负再确定p、q的符号（2）若2xbxc中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，尔后看这两个整数之和能否等于b，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2axbxc(a≠0中)，若是二次项系数a能够分解成两个因数之积，即aaa，常数项c能够分解成两个因数之积，即cc1c2，把a1，a2，c1，c2排列以下：12按斜线交织相乘，再相加，获取a1c2a2c1，若它正好等于二次三项式2axbxc的一次项系数b，即a1c2a2c1b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1xc1与axc之积，即222axbxcaxcaxc.1122要点讲解：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a一般都化为正数，若是是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能够直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑第1页分步办理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，尔后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，尔后再分解因式.要点讲解：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点四项二项、二项①按字母分组②按系数分组③吻合公式的两项分组三项、一项先完好平方公式后平方差公式

分组分解五项三项、二项各组之间有公因式法三项、三项各组之间有公因式二项、二项、二项

六项三项、二项、一项可化为二次三项式要点四、添、拆项法把多项式的某一项翻开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必定在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要必然的技巧性，在仔细观察题目后可先试一试进行添、拆项，在屡次试一试中熟练掌握技巧和方法.【典型例题】种类一、十字相乘法1、分解因式：2(1)(62136)xaxaa【答案与剖析】解：原式＝212332xaxaa【总结升华】将a视作常数，就以x为主元十字相乘可解决.贯穿交融：【变式】分解因式：23xyy3x4y5【答案】解：原式2(34)35(35)(1)yxyxyxy2、分解因式：【思路点拨】该题能够先将2aa看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘.【答案与剖析】解：因为所以：原式＝[－2][－12]第2页【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家必然要熟练掌握.贯穿交融：【变式】分解因式：222(x3x)2(x3x)8；【答案】解：原式234232xxxx3、分解以下因式(1)22(xx1)(xx2)12(2)22(x3x3)(x3x4)8【答案与剖析】解：（1）令21xxt，则原式222t(t1)12tt12(t4)(t3)(xx5)(xx2)（2）令23xxm，原式2(m3)(m4)8mm20(m5)(m4)【总结升华】此两道小题结构都特别有特点，欲分解都必定先翻开，再仔细观察每个式子中都存在大量相同的因式→整体性想法.整体性思路又称换元法，这与我们生活中乔迁有些类似，要先将一些碎东西找包，会省好多事.种类二、分组分解法4、分解因式：222332xxyyxy【思路点拨】对完好平方公式熟悉的同学，一看见该式，第一想到的必然是式子中前三项恰好构成2(xy)，第4、5项→3(xy).【答案与剖析】解：原式2(xy)3(xy)2(xy1)(xy2)【总结升华】①熟记公式在复杂背景下鉴别公式架构很重要；②我们前面练习中无论公式、配方、十字相乘一般都只涉及单一字母，其实代数式学习是一个结构的学习，其中任一个字母均可被一个复杂代数式来取代，故有时要有一些整体性认识的想法.贯穿交融：【变式1】分解因式：（1）22abacbc（2）225a5b3a3b（3）23xyy3x4y5【答案】第3页解：（1）原式ababcabababc；（2）原式225ab3ab5abab3abab5a5b3；（3）原式23xy3xy4y53x(y1)(y1)(y5)(y1)(3xy5).【变式2】分解因式：2424422421abcabacbc．【答案】解：2424422421abcabacbc种类三、拆项或添项分解因式222能够直接用公式法分解为（x+a）的形式，5、阅读理解：对于二次三项式x+2ax+a222但对于二次三项式x，就不能够直接用公式法了．我们能够在二次三项式x

+2ax﹣8a+2ax﹣222中先加上一项a，使其成为完好平方式，再减去a这项，使整个式子的值不变，于是又：8a22x+2ax﹣8a2222﹣a=x+2ax﹣8a+a2222）﹣8a﹣a=（x+2ax+a22﹣9a=（x+a）=[（x+a）+3a][（x+a）﹣3]=（x+4a）（x﹣2a）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．22（1）请仔细阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式：x

+2ax﹣3a分解因式．22（2）直接填空：请用上述的添项法将方程的x﹣4xy+3y

=0化为（x﹣）?（x﹣）=0并直接写出y与x的关系式．（满足xy≠0，且x≠y）xyx22y（3）先化简，再利用（2）中y与x的关系式求值．yxxy【答案与剖析】22解：（1）x

+2ax﹣3a222﹣4a=x+2ax+a22﹣4a=（x+a）=（x+a+2a）（x+a﹣2a）=（x+3a）（x﹣a）；22（2）x﹣4xy+3y222﹣4xy+4y﹣y=x22﹣y=