理论力学课件10

第十七章拉格朗日方程1

动力学本章在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，进一步导出动力学普遍方程和拉格朗日第二类方程（简称拉格朗日方程）。动力学普遍方程和拉格朗日方程是研究动力学问题的有力手段，在解决非自由质点系的动力学问题时，显得十分简捷、规范。2§17–1动力学普遍方程§17–2拉格朗日第二类方程§17–3拉格朗日第二类方程的积分第十七章拉格朗日方程3

动力学设质点系有n个质点，第i个质点

若质点系受有理想约束，将作为主动力处理，则：解析式：§17-1动力学普遍方程动力学普遍方程。4

动力学

例1三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑动，三棱柱A置于光滑水平面上，A和B的质量分别为M和m，斜面倾角为。试求三棱柱A的加速度。解：研究两三棱柱组成的系统。该系统受理想约束，具有两个自由度。

在理想约束的条件下，质点系的各质点在任一瞬时受到的主动力与惯性力在任意虚位移上所作的虚功之和为零。5

动力学由动力学普遍方程：系统为二自由度，取互不相关的为独立虚位移，且，所以解得：6动力学§17-2拉格朗日第二类方程设质点系有n个质点，受s个完整约束且系统所受的约束是理想约束，自由度k=3n-s。下面推导以广义坐标表示的动力学普遍方程的形式。质点。若取系统的一组广义坐标为，则称为广义速度。7

动力学代入质点系动力学普遍方程，得：8

动力学称 为广义力

广义惯性力9

动力学广义惯性力可改变为用质点系的动能表示,因此为简化计算,需要用到以下两个关系式：下面来推导这两个关系式：第一式只须将(b)式两边对求偏导数即可得到。10第二式可可比较(a)式先对ql求偏导数数再对对t求导数与与(b)式对ql求偏导数数的结论论得出。。动力学拉格朗日日第二类类动力学学方程，，简称拉拉格朗日日方程。。11动力学如果作用用于质点点系的力力是有势势力，则则广义力力可可用质质点系的的势能来来表达。。而拉氏方程为：引入拉格格朗日函函数：L=T-U则：保守系统统的拉格格朗日方方程。12动力学应用拉氏氏方程解解题的步步骤：1.判定质点点系的自自由度k，选取适宜宜的广义义坐标。。必须注注意：不不能遗漏漏独立的的坐标，，也不能能有多余余的（不不独立））坐标。。2.计算质点点系的动动能T，表示为广广义速度度和广义义坐标的的函数。。3.计算广义义力，，计算公公式为：：或若主动力力为有势势力，须须将势能能U表示为广广义坐标标的函数数。4.建立拉氏氏方程并并加以整整理，得得出k个二阶常常微分方方程。5.求出上述述一组微微分方程程的积分分。13动力学[例1]水平面内内运动的的行星齿齿轮机构构。均质质杆OA：重P，可绕O点转动；；均质小小齿轮：：重Q，半径r，沿半径为为R的固定大大齿轮滚滚动。系系统初始始静止，，系杆OA位于图示示OA0位置。系系杆OA受大小不不变力偶偶M作用后，，求系杆杆OA的运动方方程。所受约束束皆为完完整、理理想、定定常的，，可取OA杆转角为广义坐坐标。解：图示机机构只有有一个自自由度14动力学15动力学代入拉氏氏方程：：积分，得得：故：代入初始条件，t=0时，得16动力学[例2]与刚度为为k的弹簧相相连的滑滑块A，质量为m1,可在光滑滑水平面面上滑动动。滑块块A上又连一一单摆，，摆长l，摆锤质量量为m2，试列出该该系统的的运动微微分方程程。解：将弹簧簧力计入入主动力力，则系系统成为为具有完完整、理理想约束束的二自自由度系系统。保保守系统统。取x,为广义坐坐标，x轴原点位于于弹簧自自然长度度位置，，逆时针转转向为正正。17动力学系统动能：18动力学系统势能能：（以弹弹簧原长长为弹性性势能零零点，滑滑块A所在平面面为重力力势能零零点）拉格朗日日函数：：19动力学代入：并适当化简得：20动力学系统的运运动微分分方程。。上式为系系统在平平衡位置置(x=0,=0)附近微幅幅运动的的微分方方程。若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时<<1o,cos1,sin

，略去二阶以上无穷小量，则21动力学§17-3拉格朗日日第二类类方程的的积分对于保守守系统，，可以得得到拉格格朗日方方程的某某些统一一形式的的首次积积分，从从而使得得保守系系统动力力学问题题的求解解过程进进一步简简化。保守系统统拉格朗朗日方程程的首次次积分包包括：能能量积分分、循环环积分。。一、能量量积分设系统所所受的主主动力是是有势力力，且拉拉格朗日日函数L=T-U中不显含含t，则22动力学广义能量量积分。。保守系统统的拉格格朗日函函数不显显含时间间t时，保守守系统的的广义能量量守恒。可以证证明，当当系统约约束为定定常时，，上式为为=023系统的广广义能量量积分式式就是系系统的机机械能守守恒方程程式。动力学二、循环环积分如果拉格格朗日函函数L中不显含含某一广广义坐标标qr,则该坐标标称为保保守系统统的循环坐标标或可遗遗坐标。当为系统的循环坐标时，必有于是拉氏氏方程成成为24动力学积分得：循环积分分因L=T-U，而U中不显含，故上式可写成Pr称为广义义动量，，因此循循环积分分也可称称为系统统的广义义动量积积分。保守系统统对应于于循环坐坐标的广广义动量量守恒。。一个系统统的能量量积分只只可能有有一个；；而循环环积分可可能不止止一个，，有几个个循环坐坐标，便便有几个个相应的的循环积积分。能量积分分和循环环积分都都是由保保守系统统拉格朗朗日方程程积分一一次得到到的，它它们都是是比拉格格朗日方方程低一一阶的微微分方程程。25动力力学学[例3]楔形形体体重重P，斜面面倾倾角角，置置于于光光滑滑水水平平面面上上。。均均质质圆圆柱柱体体重重Q，半径径为为r，在在楔形形体体的的斜斜面面上上只只滚滚不不滑滑。。初初始始系系统统静静止止，，且且圆圆柱柱体体位位于于斜斜面面最最高高点点。。试试求求：：(1)系统统的的运运动动微微分分方方程程；；(2)楔形形体体的的加加速速度度；；(3)系统统的的能能量量积积分分与与循循环环积积分分。。解：：研究究楔楔形形体体与与圆圆柱柱体体组组成成的的系系统统。。系系统统受受理理想想、、完完整整、、定定常常约约束束，，具具有有两两个个自自由由度度。。取取广广义义坐坐标标为为x,s；各坐坐标标原原点点均均在在初初始始位位置置。。26动力力学学系统统的的动动能能：系统统的的势势能能：取水水平平面面为为重重力力势势能能零零点点。。拉格格朗朗日日函函数数：：27动力力学学代入入保保守守系系统统拉拉氏氏方方程程，，并并适适当当化化简简，，得得到到系系统统的的运运动动微微分分方方程程。。（d）解得得楔楔形形体体的的加加速速度度为为拉格格朗朗日日函函数数L中不不显显含含t，故故系统统存存在在能能量量积积分分。。28动力力学学当t=0时，，x=

s=0,代入上式中，得

29动力力学学由于于拉拉格格朗朗日日函函数数L中不不显显含含广广义义坐坐标标x，故x为系系统统循循环环坐坐标标，，故故有有循循环环积积分分：：t=0时，故上式中C2=