2019届高考数学高效备考资料(基本方法思想热点问题解题策略)

2019届高考数学高效备考精选资料(基本方法、思想、热门问题、解题策略)2019届高考数学高效备考精选资料(基本方法、思想、热门问题、解题策略)2019届高考数学高效备考精选资料(基本方法、思想、热门问题、解题策略)2011届高考数学高校备考精选资料整合（基本方法、思想、热门问题、解题策略）目录序言………2数学解题基本方法………2配方法………3---7换元法………8---15待定系数法…………………16---20定义法………21---25数学归纳法…………………26--31参数法………32--36七、反证法………37---39数学常用的数学思想……40数形联合思想………………40---45分类讨论思想………………46---52函数与方程思想……………53---60四、转变（化归）思想…………61---65高考热门问题和解题策略……67应用问题……67---72研究性问题…………………73---78选择题解答策略……………79---84填空题解答策略……………85--86序言美国有名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要擅长解题。而当我们解题时碰到一个新问题，总想用熟习的题型去“套”，这但是知足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透辟及贯穿交融时，才能提出新见解、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的察看，特别是突出察看能力的试题，其解答过程都包含重视要的数学思想方法。我们要存心识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提升数学素质，使自己拥有数学脑筋和目光。高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行察看：常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；数学思想方法：察看与分析、归纳与抽象、分析与综合、特别与一般、类比、归纳和演绎等；常用数学思想：函数与方程思想、数形联合思想、分类讨论思想、转变（化归）思想等。数学思想方法与数学基础知知趣比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，能够用文字和符号来记录和描绘，跟着时间的推移，记忆力的减退，未来可能忘掉。而数学思想方法例是一种数学意识，只好够意会和运用，属于思想的范围，用以对数学识题的认识、办理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即便数学知识忘掉了，数学思想方法也仍是对你起作用。数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的表现，是数学的行为，拥有模式化与可操作性的特色，能够采纳作为解题的详尽手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。能够说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深入，提升数学素质的核心就是提升学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合表现就是“能力”。为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考取常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特别与一般法、类比与归纳法、察看与实验法，再介绍高考取常用的数学思想：函数与方程思想、数形联合思想、分类讨论思想、转变（化归）思想。最后说说解题中的有关策略和高考取的几个热门问题，并在附录部分供给了近几年的高考试卷。在每节的内容中，先是对方法或许问题进行综合性的表达，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详尽的解答和分析，对方法和问题进行示范。坚固性题组旨在检查学习的见效，起到坚固的作用。每个题组中习题的采纳，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。第一章高中数学解题基本方法配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“圆满平方”）的技巧，经过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适合展望，而且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而达成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常有的配方是进行恒等变形，使数学式子出现圆满平方。它主要合用于：已知或许未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或许缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项圆满平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，将这个公式灵巧运用，可获得各样基本配方形式，如：a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…联合其余数学知识和性质，相应有其余的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2；……等等。Ⅰ、再现性题组：1.在正项等比数列{a}中，aa+2aa+aa=25，则a＋a＝_______。2.方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。A.<k<1B.k<或k>1C.k∈RD.k＝或k＝13.已知sinα＋cosα＝1，则sinα＋cosα的值为______。A.1B.－1C.1或－1D.04.函数y＝log(－2x＋5x＋3)的单一递加区间是_____。A.（－∞,]B.[,+∞)C.(－,]D.[,3)5.已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x，则点P(x,x)在圆x+y=4上，则实数a＝_____。【简解】1小题：利用等比数列性质aa＝a，将已知等式左侧后配方（a＋a）易求。答案是：5。2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)＋(y－b)＝r，解r>0即可，选B。3小题：已知等式经配方成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1，求出sinαcosα，此后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。4小题：配方后获得对称轴，联合定义域和对数函数及复合函数的单一性求解。选D。5小题：答案3－。Ⅱ、示范性题组：例1.已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。A.2B.C.5D.6【分析】先变换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则,而欲求对角线长，将其配凑成两已知式的组合形式可得。【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：。长方体所求对角线长为：＝＝＝5因此选B。【注】本题解答重点是在于将两个已知和一个未知变换为三个数学表示式，察看和分析三个数学式，简单发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。例2.设方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，若()+()≤7建立，务实数k的取值范围。【解】方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2,()+()＝＝＝＝≤7，解得k≤－或k≥。又∵p、q为方程x＋kx＋2=0的两实根，∴△＝k－8≥0即k≥2或k≤－2综合起来，k的取值范围是：－≤k≤－或许≤k≤。【注】对于实系数一元二次方程问题，老是先考虑根的鉴别式“Δ”；已知方程有两根时，能够适合运用韦达定理。本题由韦达定理获得p＋q、pq后，察看已知不等式，从其结构特色联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。若是本题不对“△”讨论，结果将犯错，即便有些题目可能结果同样，去掉对“△”的讨论，但解答是不严实、不圆满的，这一点我们要特别注意和重视。例3.设非零复数a、b知足a＋ab＋b=0，求()＋()。【分析】对已知式能够联想：变形为()＋()＋1＝0，则＝ω（ω为1的立方虚根）；或配方为(a＋b)＝ab。则代入所求式即得。【解】由a＋ab＋b=0变形得：()＋()＋1＝0，设ω＝，则ω＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，因此：＝，ω＝＝1。又由a＋ab＋b=0变形得：(a＋b)＝ab，因此()＋()＝()＋()＝()＋()＝ω＋＝2。【注】本题经过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵巧性，要求我们擅长联想和张开。【另解】由a＋ab＋b＝0变形得：()＋()＋1＝0，解出＝后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式()＋()后，达成后边的运算。此方法用于但是未联想到ω时进行解题。若是本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a＋ab＋b＝0解出：a＝b，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理达成最后的计算。Ⅲ、坚固性题组：函数y＝(x－a)＋(x－b)（a、b为常数）的最小值为_____。A.8B.C.D.最小值不存在α、β是方程x－2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1)+(β-1)的最小值是_____。A.－B.8C.18D.不存在已知x、y∈R，且知足x＋3y－1＝0，则函数t＝2＋8有_____。A.最大值2B.最大值C.最小值2B.最小值椭圆x－2ax＋3y＋a－6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上，则a＝_____。A.2B.－6C.－2或－6D.2或6化简：2＋的结果是_____。A.2sin4B.2sin4－4cos4C.－2sin4D.4cos4－2sin46.设F和F为双曲线－y＝1的两个焦点，点P在双曲线上且知足∠FPF＝90°，则△FPF的面积是_________。7.若x>－1，则f(x)＝x＋2x＋的最小值为___________。8.已知〈β<α〈π，cos(α-β)＝，sin(α+β)＝－，求sin2α的值。(92年高考题)9.设二次函数f(x)＝Ax＋Bx＋C，给定m、n（m<n）,且知足A[(m+n)+mn]＋2A[B(m+n)－Cmn]＋B＋C＝0。解不等式f(x)>0；②能否存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)<0？若不存在，说出原由；若存在，指出t的取值范围。10.设s>1，t>1，m∈R，x＝logt＋logs，y＝logt＋logs＋m(logt＋logs),将y表示为x的函数y＝f(x)，并求出f(x)的定义域；若对于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m的取值范围。二、换元法解数学题时，把某个式子看作一个整体，用一个变量去取代它，从而使问题获得简化，这叫换元法。换元的实质是转变，重点是结构元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得简单办理。换元法又称协助元素法、变量代换法。经过引进新的变量，能够把分其余条件联系起来，隐含的条件显现出来，或许把条件与结论联系起来。或许变为熟习的形式，把复杂的计算和推证简化。它能够化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或许未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来取代它从而简化问题，自然有时要经过变形才能发现。比方解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t>0），而变为熟习的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或许变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα，α∈[0,]，问题变为了熟习的求三角函数值域。为何会想到这样设，此中主要应当是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x＋y＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。均值换元，如碰到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。我们使用换元法时，要依据有益于运算、有益于标准化的原则，换元后要注从头变量范围的采纳，必然要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不可以够减小也不可以够扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,]。Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。2.设f(x＋1)＝log(4－x)（a>1），则f(x)的值域是_______________。3.已知数列{a}中，a＝－1，a·a＝a－a，则数列通项a＝___________。4.设实数x、y知足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。5.方程＝3的解是_______________。6.不等式log(2－1)·log(2－2)〈2的解集是_______________。【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－,]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y＝＋；2小题：设x＋1＝t(t≥1)，则f(t)＝log[-(t-1)＋4]，因此值域为(－∞,log4]；3小题：已知变形为－＝－1,设b＝，则b＝－1,b＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，因此a＝－；4小题：设x＋y＝k，则x－2kx＋1＝0,△＝4k－4≥0,因此k≥1或k≤－1；5小题：设3＝y，则3y＋2y－1＝0,解得y＝，因此x＝－1；6小题：设log(2－1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－2<y<1，因此x∈(log,log3)。Ⅱ、示范性题组：例1.实数x、y知足4x－5xy＋4y＝5（①式），设S＝x＋y，求＋的值。【分析】由S＝x＋y联想到cosα＋sinα＝1,于是进行三角换元，设代入①式求S和S的值。【解】设代入①式得：4S－5S·sinαcosα＝5解得S＝；∵-1≤sin2α≤1∴3≤8－5sin2α≤13∴≤≤∴＋＝＋＝＝此种解法后边求S最大值和最小值，还可由sin2α＝的有界性而求，即解不等式：||≤1。这种方法是求函数值域时常常用到的“有界法”。【另解】由S＝x＋y，设x＝＋t，y＝－t，t∈[－，]，则xy＝±代入①式得：4S±5=5，移项平方整理得100t+39S－160S＋100＝0。∴39S－160S＋100≤0解得：≤S≤∴＋＝＋＝＝【注】本题第一种解法属于“三角换元法”，主若是利用已知条件S＝x＋y与三角公式cosα＋sinα＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转变为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主若是由等式S＝x＋y而依据均值换元的思路，设x＝＋t、y＝－t，减少了元的个数，问题且简单求解。其余，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分别参数法。和“均值换元法”近似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，能够设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a＋13b＝5，求得a∈[0,]，因此S＝(a－b)＋(a＋b)＝2(a＋b)＝＋a∈[,]，再求＋的值。例2．△ABC的三个内角A、B、C知足：A＋C＝2B，＋＝－，求cos的值。【分析】由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设，再代入可求cosα即cos。【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得,由A＋C＝120°，设，代入已知等式得：

＋＝＋＝＋＝＝＝－2,解得：cosα＝，即：cos＝。【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。因此＋＝－＝－2，设＝－＋m，＝－－m，因此cosA＝，cosC＝，两式分别相加、相减得：cosA＋cosC＝2coscos＝cos＝，cosA－cosC＝－2sinsin＝－sin＝，即：sin＝－，＝－，代入sin＋cos＝1整理得：3m－16m－12＝0,解出m＝6，代入cos＝＝。【注】本题两种解法由“A＋C＝120°”、“＋＝－2”分别进行均值换元，随后联合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当娴熟。若是未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。因此＋＝－＝－2，即cosA＋cosC＝－2cosAcosC，和积互化得：2coscos＝－[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos＝－cos(A-C)＝－(2cos－1)，整理得：4cos＋2cos－3＝0,解得：cos＝y

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－x例3.设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小值。【解】设sinx＋cosx＝t，则t∈[-,]，由(sinx＋cosx)＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝∴f(x)＝g(t)＝－(t－2a)＋（a>0），t∈[-,]t＝-时，取最小值：－2a－2a－当2a≥时，t＝，取最大值：－2a＋2a－；当0<2a≤时，t＝2a，取最大值：。∴f(x)的最小值为－2a－2a－，最大值为。【注】本题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转变为二次函数在闭区间上的值域问题，使得简单求解。换元过程中必然要注意新的参数的范围（t∈[-,]）与sinx＋cosx对应，不然将会犯错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的地点关系而确立参数分两种情况进行讨论。一般地，在碰到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinxcsox)，常常用到这样设元的换元法，转变为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。例4.设对所于有实数x，不等式xlog＋2xlog＋log>0恒建立，求a的取值范围。【分析】不等式中log、log、log三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实行换元法。【解】设log＝t，则log＝log＝3＋log＝3－log＝3－t，log＝2log＝－2t，代入后原不等式简化为（3－t）x＋2tx－2t>0，它对一确实数x恒建立，因此：，解得∴t<0即log<00<<1，解得0<a<1。【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为何会想到换元及如何设元，重点是发现已知不等式中log、log、log三项之间的联系。在解决不等式恒建立问题时，使用了“鉴别式法”。其余，本题还要求对数运算十分娴熟。一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适合变形，发现它们的联系而实行换元，这是我们思虑解法时要注意的一点。例5.已知＝，且＋＝(②式)，求的值。【解】设＝＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sinθ＋cosθ＝k(x+y)＝1,代入②式得：＋＝＝即：＋＝设＝t，则t＋＝,解得：t＝3或∴＝±或±【另解】由＝＝tgθ，将等式②两边同时除以，再表示成含tgθ的式子：1＋tgθ＝＝tgθ，设tgθ＝t，则3t—10t＋3＝0，∴t＝3或，解得＝±或±。【注】第一种解法由＝而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。第二种解法将已知变形为＝，不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较娴熟。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。例6.实数x、y知足＋＝1，若x＋y－k>0恒建立，求k的范围。【分析】由已知条件＋＝1，能够发现它与a＋b＝1有相像之处，于是实行三角换元。【解】由＋＝1，设＝cosθ，＝sinθ，即：代入不等式x＋y－k>0得：3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ)因此k<-5时不等式恒建立。【注】本题进行三角换元，将代数问题（或许是分析几何问题）化为了含参三角不等式恒建立的问题，再运用“分别参数法”转变为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在碰到与圆、椭圆、双曲线的方程相像的代数式时，或许在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，常常使用“三角换元法”。y

x

x＋y－k>0k平面地区本题另一种解题思路是使用数形联合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c>0(a>0)所表示的地区为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。本题不等式恒建立问题化为图形问题：椭圆上的点向来位于平面上x＋y－k>0的地区。即当直线x＋y－k＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组有相等的一组实数解，消元后由△＝0可求得k＝－3,因此k<-3时原不等式恒建立。Ⅲ、坚固性题组：已知f(x)＝lgx(x>0)，则f(4)的值为_____。A.2lg2B.lg2C.lg2D.lg4函数y＝(x＋1)＋2的单一增区间是______。A.[-2,+∞)B.[-1,+∞)D.(-∞,+∞)C.(-∞,-1]设等差数列{a}的公差d＝，且S＝145，则a＋a＋a＋……＋a的值为_____。A.85B.72.5C.60D.52.5已知x＋4y＝4x，则x＋y的范围是_________________。已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，则＋的范围是____________。不等式>ax＋的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。函数y＝2x＋的值域是________________。在等比数列{a}中，a＋a＋…＋a＝2，a＋a＋…＋a＝12，求a＋a＋…＋a。yDC

AB

Ox实数m在什么范围内取值，对随意实数x，不等式sinx＋2mcosx＋4m－1<0恒建立。已知矩形ABCD，极点C(4,4)，A点在曲线x＋y＝2(x>0,y>0)上挪动，且AB、AD向来平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。三、待定系数法要确立变量间的函数关系，设出某些未知系数，此后依据所给条件来确立这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个随意的a值，都有f(a)g(a)；或许两个多项式各同类项的系数对应相等。待定系数法解题的重点是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把拥有某种确立形式的数学识题，经过引入一些待定的系数，转变为方程组来解决，要判断一个问题能否用待定系数法求解，主若是看所求解的数学识题能否拥有某种确立的数学表达式，若是拥有，就能够用待定系数法求解。比方分解因式、拆分分式、数列乞降、求函数式、求复数、分析几何中求曲线方程等，这些问题都拥有确立的数学表达形式，因此都能够用待定系数法求解。使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确立所求问题含有待定系数的分析式；第二步，依据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或许消去待定系数，从而使问题获得解决。如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：利用对应系数相等列方程；由恒等的见解用数值代入法列方程；利用定义自己的属性列方程；利用几何条件列方程。比方在求圆锥曲线的方程时，我们能够用待定系数法求方程：第一设所求方程的形式，此中含有待定的系数；再把几何条件转变为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，获得所求圆锥曲线的方程。Ⅰ、再现性题组：设f(x)＝＋m，f(x)的反函数f(x)＝nx－5，那么m、n的值挨次为_____。A.,－2B.－，2C.,2D.－，－2二次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,)，则a＋b的值是_____。A.10B.－10C.14D.－14在(1－x)（1＋x）的张开式中，x的系数是_____。A.－297B.－252C.297D.207函数y＝a－bcos3x(b<0)的最大值为，最小值为－，则y＝－4asin3bx的最小正周期是_____。与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。与双曲线x－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。【简解】1小题：由f(x)＝＋m求出f(x)＝2x－2m，比较系数易求，选C；2小题：由不等式解集(－,)，可知－、是方程ax＋bx＋2＝0的两根，代入两根，列出对于系数a、b的方程组，易求得a＋b，选D；3小题：分析x的系数由C与(－1)C两项构成，相加后得x的系数，选D；4小题：由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案；5小题：设直线L’方程2x＋3y＋c＝0，点A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0；6小题：设双曲线方程x－＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程－＝1。Ⅱ、示范性题组：已知函数y＝的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。【分析】求函数的表达式，实质上就是确立系数m、n的值；已知最大值、最小值实质是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“鉴别式法”。【解】函数式变形为：(y－m)x－4x＋(y－n)＝0，x∈R,由已知得y－m≠0∴△＝(－4)－4(y－m)(y－n)≥0即：y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0①不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，代入两根得：解得：或∴y＝或许y＝本题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即y－6y－7≤0，此后与不等式①比较系数而得：，解出m、n而求得函数式y。【注】在所求函数式中有两个系数m、n需要确立，第一用“鉴别式法”办理函数值域问题，获得了含参数m、n的对于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n。两种方法能够求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集见解理解透辟，也要求理解求函数值域的“鉴别式法”：将y视为参数，函数式化成含参数y的对于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了对于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用“鉴别式法”的重点能否能够将函数化成一个一元二次方程。例2.设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两头连线相互垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是－，求椭圆的方程。yB’

x

AFO’F’A’

B【分析】求椭圆方程，依据所给条件，确立几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了。设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转变为a－c的值后列出第二个方程。【解】设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF’|＝a∴解得：∴所求椭圆方程是：＋＝1也可有垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后，由其性质推证出等腰Rt△B’O’F’，再进行以以下式：，更简单求出a、b的值。【注】圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）确实定，是待定系数法的生动表现；如何确立，要抓住已知条件，将其变换成表达式。在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不变，本题就利用了这一特色，列出对于a－c的等式。一般地，分析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件变换成方程→求解→已知系数代入。例3.能否存在常数a、b、c，使得等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(an＋bn＋c)对全部自然数n都建立？并证明你的结论。【分析】能否存在，不如假定存在。由已知等式对全部自然数n都建立，取特别值n＝1、2、3列出对于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对全部自然数n都建立。【解】假定存在a、b、c使得等式建立，令：n＝1，得4＝(a＋b＋c)；n＝2，得22＝(4a＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c。整理得：,解得，于是对n＝1、2、3，等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(3n＋11n＋10)建立，下边用数学归纳法证明对随意自然数n，该等式都建立：假定对n＝k时等式建立，即1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＝(3k＋11k＋10)；当n＝k＋1时，1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＋(k＋1)(k＋2)＝(3k＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)＝(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)＝（3k＋5k＋12k＋24）＝[3(k＋1)＋11(k＋1)＋10]，也就是说，等式对n＝k＋1也建立。综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对全部自然数n都建立。【注】建立对于待定系数的方程组，在于由几个特别值代入而获得。此种解法中，也表现了方程思想和特别值法。对于能否存在性问题待定系数时，能够依据先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行。本题若是记得两个特别数列1＋2＋…＋n、1＋2＋…＋n乞降的公式，也能够抓住通项的打开，运用数列乞降公式而直接求解：由n(n＋1)＝n＋2n＋n得S＝1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(1＋2＋…＋n)＋2(1＋2＋…＋n)＋(1＋2＋…＋n)＝＋2×＋＝(3n＋11n＋10)，综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对全部自然数n都建立。例4.有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将节余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？【分析】实诘问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件采纳适合的变量建立目标函数，将实诘问题转变为函数最大值和最小值的研究。【解】依题意，矩形盒子底边边长为(30－2x)cm，底边宽为(14－2x)cm，高为xcm。∴盒子容积V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x，明显:15－x>0，7－x>0，x>0。设V＝(15a－ax)(7b－bx)x(a>0,b>0）要使用均值不等式，则解得：a＝，b＝，x＝3。从而V＝(－)(－x)x≤()＝×27＝576。因此当x＝3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm。【注】均值不等式应用时要注意等号建立的条件，当条件不知足时要凑配系数，能够用“待定系数法”求。本题解答中也能够令V＝(15a－ax)(7－x)bx或(15－x)(7a－ax)bx，再由使用均值不等式的最正确条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也表现了“凑配法”和“函数思想”。Ⅲ、坚固性题组：函数y＝logx的x∈[2,+∞)上恒有|y|>1，则a的取值范围是_____。A.2>a>且a≠1B.0<a<或1<a<2C.1<a<2D.a>2或0<a<方程x＋px＋q＝0与x＋qx＋p＝0只有一个公共根，则其余两个不同样根之和为_____。A.1B.－1C.p＋qD.没法确立若是函数y＝sin2x＋a·cos2x的图像对于直线x＝－对称，那么a＝_____。A.B.－C.1D.－1知足C＋1·C＋2·C＋…＋n·C<500的最大正整数是_____。A.4B.5C.6D.7无量等比数列{a}的前n项和为S＝a－,则全部项的和等于_____。A.－B.1C.D.与a有关(1＋kx)＝b＋bx＋bx＋…＋bx，若b＋b＋b＋…＋b＝－1，则k＝______。经过两直线11x－3y－9＝0与12x＋y－19＝0的交点，且过点(3,-2)的直线方程为_____________。8.正三棱锥底面边长为2，侧棱和底面所成角为60°，过底面一边作截面，使其与底面成30°角，则截面面积为______________。9.设y＝f(x)是一次函数，已知f(8)＝15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比数列，求f(1)＋f(2)＋…＋f(m)的值。10.设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2)，对称轴与x轴平行，张口向右，直线y＝2x＋7和抛物线截得的线段长是4,求抛物线的方程。四、定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法例等，都是由定义和公义推演出来。定义是揭示见解内涵的逻辑方法，它经过指出见解所反应的事物的实质属性来明确见解。定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反应和揭示了客观世界的事物的实质特色。简单地说，定义是基本见解对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。Ⅰ、再现性题组：已知会合A中有2个元素，会合B中有7个元素，A∪B的元素个数为n，则______。A.2≤n≤9B.7≤n≤9C.5≤n≤9D.5≤n≤7设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，则_____。A.MP<OM<ATB.OM<MP<ATC.AT<<OM<MPD.OM<AT<MP复数z＝a＋2ｉ，z＝－2＋ｉ，若是|z|<|z|，则实数a的取值范围是_____。A.－1<a<1B.a>1C.a>0D.a<－1或a>1椭圆＋＝1上有一点P，它到左准线的距离为，那么P点到右焦点的距离为_____。A.8C.7.5C.D.3奇函数f(x)的最小正周期为T，则f(－)的值为_____。A.TB.0C.D.不可以够确立正三棱台的侧棱与底面成45°角，则其侧面与底面所成角的正切值为_____。【简解】1小题：利用并集定义，选B；2小题：利用三角函数线定义，作出图形，选B；3小题：利用复数模的定义得<，选A；4小题：利用椭圆的第二定义获得＝e＝，选A；5小题：利用周期函数、奇函数的定义获得f(－)＝f()＝－f(－)，选B；6小题：利用线面角、面面角的定义，答案2。Ⅱ、示范性题组：例1.已知z＝1＋ｉ，①设w＝z＋3－4，求w的三角形式；②若是＝1－ｉ，务实数a、b的值。【分析】代入z进行运算化简后，运用复数三角形式和复数相等的定义解答。【解】由z＝1＋ｉ，有w＝z＋3－4＝(1＋ｉ)＋3－4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉ，w的三角形式是（cos＋ｉsin）；由z＝1＋ｉ，有＝＝＝(a＋2)－(a＋b)ｉ。由题设条件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ；依据复数相等的定义，得：，解得。【注】求复数的三角形式，一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的定义，由实部、虚部分别相等而建立方程组，这是复数中常常碰到的。例2.已知f(x)＝－x＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝logf(x)的定义域，判断在(,1)上的单一性。【分析】要判断函数的单一性，必然第一确立n与c的值求出函数的分析式，再利用函数的单一性定义判断。【解】解得：∴f(x)＝－x＋x解f(x)>0得：0<x<1设<x<x<1，则f(x)－f(x)＝－x+x-（-x+x）=(x-x)[1-(x+x)(x+x)],∵x+x>，x+x>∴(x+x)(x+x)〉×＝1∴f(x)－f(x)>0即f(x)在(,1)上是减函数∵<1∴y＝logf(x)在(,1)上是增函数。A’A

D

C’C

OH

B’B【注】对于函数的性质：奇偶性、单一性、周期性的判断，一般都是直策应用定义解题。本题还在求n、c的过程中，运用了待定系数法和换元法。例3.如图，已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，D是AC中点。证明：AB’∥平面DBC’；假定AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度数。【分析】由线面平行的定义来证①问，即经过证AB’平行平面DBC’内的一条直线而得；由二面角的平面角的定义作出平面角，经过解三角形而求②问。【解】①连结B’C交BC’于O,连结OD∵A’B’C’—ABC是正三棱柱∴四边形B’BCC’是矩形∴O是B’C中点△AB’C中，D是AC中点∴AB’∥OD∴AB’∥平面DBC’作DH⊥BC于H，连结OH∴DH⊥平面BC’C∵AB’∥OD,AB’⊥BC’∴BC’⊥OD∴BC’⊥OH即∠DOH为所求二面角的平面角。设AC＝1，作OE⊥BC于E，则DH＝sin60°＝，BH＝，EH＝；Rt△BOH中，OH＝BH×EH＝，∴OH＝＝DH∴∠DOH＝45°，即二面角D—BC’—C的度数为45°。【注】对于二面角D—BC’—C的平面角，简单误以为∠DOC即所求。利用二面角的平面角定义，两边垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂线DH，再证得垂直于棱的垂线DO，最后连结两个垂足OH，则∠DOH即为所求，其依据是三垂线定理。本题还要求解三角形十分娴熟，在Rt△BOH中运用射影定理求OH的长是计算的重点。本题文科考生的第二问为：假定AB’⊥BC’，BC＝2，求AB’在侧面BB’C’C的射影长。解答中抓住斜线在平面上的射影的定义，先作平面的垂线，连结垂足和斜足而获得射影。其解法以下：作AE⊥BC于E，连结B’E即所求，易获得OE∥B’B，因此＝＝，EF＝B’E。在Rt△B’BE中，易获得BF⊥BE,由射影定理得：B’E×EF＝BE即B’E＝1，因此B’E＝。y

MF

Ax例4.求过定点M(1,2)，以x轴为准线，离心率为的椭圆的下极点的轨迹方程。【分析】运动的椭圆过定点M，准线固定为x轴，因此M到准线距离为2。抓住圆锥曲线的一致性定义，能够获得＝建立一个方程，再由离心率的定义建立一个方程。【解】设A(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，则椭圆上定点M到准线距离为2，下极点A到准线距离为y。依据椭圆的一致性定义和离心率的定义，获得：，消m得：（x－1）＋＝1，因此椭圆下极点的轨迹方程为（x－1）＋＝1。【注】求曲线的轨迹方程，依据求曲线轨迹方程的步骤，设曲线上动点所知足的条件，依据条件列出动点所知足的关系式，进行化简即可获得。本题还引入了一个参数m,列出的是所知足的方程组，消去参数m就获得了动点坐标所知足的方程，即所求曲线的轨迹方程。在建立方程组时，奇妙地运用了椭圆的一致性定义和离心率的定义。一般地，圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决；求圆锥曲线的方程，也老是利用圆锥曲线的定义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰入采纳。Ⅲ、坚固性题组：函数y＝f(x)＝a＋k的图像过点(1,7)，它的反函数的图像过点(4,0)，则f(x)的表达式是___。2.过抛物线焦点F的直线与抛物线订交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为A、B,则∠AFB等于_____。A.45°B.60°C.90°D.120°3.已知A＝{0,1}，B＝{x|xA}，则以下关系正确的选项是_____。A.ABB.ABC.A∈BD.AB4.双曲线3x－y＝3的渐近线方程是_____。A.y＝±3xB.y＝±xC.y＝±xD.y＝±x5.已知定义在R上的非零函数f(x)知足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则f(x)是_____。A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇既偶函数C＋C＝________。Z＝4(sin140°－ｉcos140°)，则复数的辐角主值是__________。不等式ax＋bx＋c>0的解集是(1,2)，则不等式bx＋cx＋a<0解集是__________。已知数列{a}是等差数列，求证数列{b}也是等差数列，此中b＝(a＋a＋…＋a)。10.已知F、F是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，此中F与抛物线y＝12x的焦点重合，M是两曲线的一个焦点，且有cos∠MFF·cos∠MFF＝，求椭圆方程。五、数学归纳法归纳是一种有特别案例导出一般原理的思想方法。归纳推理分圆满归纳推理与不圆满归纳推理两种。不圆满归纳推理只依据一类事物中的部分对象拥有的共同性质，推测该类事物全体都拥有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不同样意的。圆满归纳推理是在察看了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n)时建立，这是递推的基础；第二步是假定在n＝k时命题建立，再证明n＝k＋1时命题也建立，这是无量递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特别实行到一般，实质上它使命题的正确性打破了有限，达到无量。这两个步骤亲密有关，缺一不可以，达成了这两步，就能够判断“对任何自然数（或n≥n且n∈N）结论都正确”。由这两步能够看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于圆满归纳。运用数学归纳法证明问题时，重点是n＝k＋1时命题建立的推证，此步证明要拥有目标意识，注意与最后要达到的解题目标进行分析比较，以此确立和调控解题的方向，使差别逐渐减小，最后实现目标达成解题。运用数学归纳法，能够证明以下问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。Ⅰ、再现性题组：1.用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1)（n∈N），从“k到k＋1”，左端需乘的代数式为_____。A.2k＋1B.2(2k＋1)C.D.2.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n(n>1)时，由n＝k(k>1)不等式建立，推证n＝k＋1时，左侧应增添的代数式的个数是_____。A.2B.2－1C.2D.2＋1某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N)时该命题建立，那么可推得n＝k＋1时该命题也建立。现已知当n＝5时该命题不可以立，那么可推得______。A.当n＝6时该命题不可以立B.当n＝6时该命题建立C.当n＝4时该命题不可以立D.当n＝4时该命题建立4.数列{a}中，已知a＝1，当n≥2时a＝a＋2n－1，挨次计算a、a、a后，猜想a的表达式是_____。A.3n－2B.nC.3D.4n－35.用数学归纳法证明3＋5(n∈N)能被14整除，当n＝k＋1时对于式子3＋5应变形为_______________________。6.设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________。【简解】1小题：n＝k时，左端的代数式是(k＋1)(k＋2)…(k＋k),n＝k＋1时，左端的代数式是(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)，因此应乘的代数式为，选B；2小题：（2－1）－（2－1）＝2，选C；3小题：原命题与逆否命题等价，若n＝k＋1时命题不可以立，则n＝k命题不可以立，选C。4小题：计算出a＝1、a＝4、a＝9、a＝16再猜想a，选B；5小题：答案（3＋5）3＋5（5－3）；6小题：答案k－1。Ⅱ、示范性题组：已知数列，得，…，，…。S为其前n项和，求S、S、S、S，推测S公式，并用数学归纳法证明。【解】计算得S＝，S＝，S＝，S＝，猜想S＝(n∈N)。当n＝1时，等式明显建立；假定当n＝k时等式建立，即：S＝，当n＝k＋1时，S＝S＋＝＋＝＝＝,由此可知，当n＝k＋1时等式也建立。综上所述，等式对任何n∈N都建立。【注】把要证的等式S＝作为目标，先通分使分母含有(2k＋3)，再考虑要约分，而将分子变形，并注意约分后获得（2k＋3）－1。这样证题过程中简短一些，有效地确立了证题的方向。本题的思路是从试验、察看出发，用不圆满归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是对于研究性问题的常有证法，在数列问题中常常有到。若是猜想后不用数学归纳法证明，结论不用然正确，即便正确，解答过程也不严实。必然要进行三步：试值→猜想→证明。【另解】用裂项相消法乞降：由a＝＝－得，S＝（1－）＋（－）＋……＋－＝1－＝。此种解法与用试值猜想证明比较，过程十分简单，但要求发现＝－的裂项公式。能够说，用试值猜想证明三步解题，拥有一般性。例2.设a＝＋＋…＋(n∈N),证明：n(n＋1)<a<(n＋1)。【分析】与自然数n有关，考虑用数学归纳法证明。n＝1时简单证得，n＝k＋1时，因为a＝a＋,因此在假定n＝k建立获得的不等式中同时加上，再与目标比较而进行适合的放缩求解。【解】当n＝1时，a＝，n(n+1)＝，(n+1)＝2，∴n＝1时不等式建立。假定当n＝k时不等式建立，即：k(k＋1)<a<(k＋1)，当n＝k＋1时，k(k＋1)＋<a<(k＋1)＋,k(k＋1)＋>k(k＋1)＋(k＋1)＝(k＋1)(k＋3)>(k＋1)(k＋2)，(k＋1)＋＝(k＋1)＋<(k＋1)＋(k＋)＝(k＋2)，因此(k＋1)(k＋2)<a<(k＋2)，即n＝k＋1时不等式也建立。综上所述，对全部的n∈N，不等式n(n＋1)<a<(n＋1)恒建立。【注】用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适入采纳放缩法。本题中分别将减小成(k＋1)、将放大成(k＋)的两步放缩是证n＝k＋1时不等式建立的重点。为何这样放缩，而不放大成(k＋2)，这是与目标比较后的要求，也是依据放缩要适合的原则。本题另一种解题思路是直接采纳放缩法进行证明。主若是抓住对的分析，注意与目标比较后，进行适合的放大和减小。解法以下：由>n可得，a>1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；由<n＋可得，a<1＋2＋3＋…＋n＋×n＝n(n＋1)＋n＝(n＋2n)<(n＋1)。因此n(n＋1)<a<(n＋1)。例3.设数列{a}的前n项和为S，若对于全部的自然数n，都有S＝，证明{a}是等差数列。【分析】要证明{a}是等差数列，能够证明其通项符合等差数列的通项公式的形式，即证：a＝a＋(n－1)d。命题与n有关，考虑能否能够用数学归纳法进行证明。【解】设a－a＝d，猜想a＝a＋(n－1)d当n＝1时，a＝a，∴当n＝1时猜想正确。当n＝2时，a＋(2－1)d＝a＋d＝a，∴当n＝2时猜想正确。假定当n＝k（k≥2）时，猜想正确，即：a＝a＋(k－1)d，当n＝k＋1时，a＝S－S＝－，将a＝a＋(k－1)d代入上式，获得2a＝(k＋1)(a＋a)－2ka－k(k－1)d，整理得(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d，因为k≥2,因此a＝a＋kd，即n＝k＋1时猜想正确。综上所述，对全部的自然数n，都有a＝a＋(n－1)d，从而{a}是等差数列。【注】将证明等差数列的问题转变为证明数学恒等式对于自然数n建立的问题。在证明过程中a的得出是本题解答的重点，利用了已知的等式S＝、数列中通项与前n项和的关系a＝S－S建立含a的方程，代入假定建立的式子a＝a＋(k－1)d解出来a。其余本题注意的一点是不可以够忽略考证n＝1、n＝2的正确性，用数学归纳法证明时递推的基础是n＝2时等式建立，因为由(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d获得a＝a＋kd的条件是k≥2。【另解】可证a－a＝a－a对于随意n≥2都建立：当n≥2时，a＝S－S＝－；同理有a＝S－S＝－；从而a－a＝－n(a＋a)＋，整理得a－a＝a－a，从而{a}是等差数列。一般地，在数列问题中含有a与S时，我们能够考虑运用a＝S－S的关系，并注意只对n≥2时关系建立，象已知数列的S求a一种类题应用此关系最多。Ⅲ、坚固性题组：用数学归纳法证明：6＋1(n∈N)能被7整除。用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)(n∈N)。n∈N，试比较2与(n＋1)的大小，并用证明你的结论。用数学归纳法证明等式：cos·cos·cos·…·cos＝用数学归纳法证明：|sinnx|≤n|sinx|（n∈N）。6.数列{a}的通项公式a＝(n∈N)，设f(n)＝(1－a)(1－a)…(1－a)，试求f(1)、f(2)、f(3)的值，推测出f(n)的值，并用数学归纳法加以证明。已知数列{a}知足a＝1，a＝acosx＋cos[(n－1)x]，(x≠kπ，n≥2且n∈N)。①．求a和a；②.猜想a，并用数学归纳法证明你的猜想。8.设f(logx)＝,①.求f(x)的定义域；②.在y＝f(x)的图像上能否存在两个不同样点，使经过这两点的直线与x轴平行？证明你的结论。③.求证：f(n)>n(n>1且n∈N)六、参数法参数法是指在解题过程中，经过适合引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。辨证唯物论必然了事物之间的联系是无量的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化要素之间的内在联系。参数表现了近代数学中运动与变化的思想，其见解已经浸透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较广泛。参数法解题的重点是恰到利处地引进参数，交流已知和未知之间的内在联系，利用参数供给的信息，顺利地解答问题。Ⅰ、再现性题组：1.设2＝3＝5>1，则2x、3y、5z从小到大摆列是________________。2.（理）直线上与点A(-2,3)的距离等于的点的坐标是________。（文）若k<－1，则圆锥曲线x－ky＝1的离心率是_________。3.点Z的虚轴上挪动，则复数C＝z＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为____________________。4.三棱锥的三个侧面相互垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。5.设函数f(x)对随意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的R上是______函数。(填“增”或“减”)6.椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是_____。A.3B.C.D.2【简解】1小题：设2＝3＝5＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z，再用“比较法”比较2x、3y、5z，得出3y<2x<5z；2小题：（理）A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝±时，即(-4,5)或(0,1)；（文）已知曲线为椭圆，a＝1，c＝，因此e＝－；3小题：设z＝bｉ，则C＝1－b＋2ｉ，因此图像为：从(1,2)出发平行于x轴向右的射线；4小题：设三条侧棱x、y、z，则xy＝6、yz＝4、xz＝3,因此xyz＝24,体积为4。5小题：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，因此f(x)是奇函数，答案：减；6小题：设x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝的最大值，选C。Ⅱ、示范性题组：实数a、b、c知足a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最小值。【分析】由a＋b＋c＝1想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，代入a＋b＋c可求。【解】由a＋b＋c＝1，设a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，此中t＋t＋t＝0，∴a＋b＋c＝（＋t）＋（＋t）＋(＋t)＝＋(t＋t＋t)＋t＋t＋t＝＋t＋t＋t≥因此a＋b＋c的最小值是。【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一个技巧。本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法是：a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a＋b＋c)，即a＋b＋c≥。两种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，能够提升我们的代数变形能力。椭圆＋＝1上有两点P、Q，O为原点。连OP、OQ，若k·k＝－，①．求证：|OP|＋|OQ|等于定值；②.求线段PQ中点M的轨迹方程。【分析】由“换元法”引入新的参数，即设（椭圆参数方程），参数θ、θ为P、Q两点，先计算k·k得出一个结论，再计算|OP|＋|OQ|，并运用“参数法”求中点M的坐标，消参而得。【解】由＋＝1，设，P(4cosθ,2sinθ)，Q(4cosθ,2sinθ),则k·k＝＝－，整理获得：cosθcosθ＋sinθsinθ＝0,即cos（θ－θ）＝0。∴|OP|＋|OQ|＝16cosθ＋4sinθ＋16cosθ＋4sinθ＝8＋12(cosθ＋cosθ)＝20＋6（cos2θ＋cos2θ)＝20＋12cos（θ＋θ）cos（θ－θ）＝20，即|OP|＋|OQ|等于定值20。由中点坐标公式获得线段PQ的中点M的坐标为，因此有()＋y＝2＋2(cosθcosθ＋sinθsinθ)＝2,即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为＋＝1。【注】由椭圆方程，联想到a＋b＝1,于是进行“三角换元”，经过换元引入新的参数，转变为为三角问题进行研究。本题还要求能够娴熟使用三角公式和“平方法”，在由中点坐标公式求出M点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即（cosθ＋cosθ）＋（sinθ＋sinθ），这是求点M轨迹方程“消参法”的重点一步。一般地，求动点的轨迹方程运用“参数法”时，我们能够将点的x、y坐标分别表示成为一个或几个参数的函数，再运用“消去法”消去所含的参数，即获得了所求的轨迹方程。本题的第一问，另一种思路是设直线斜率k，解出P、Q两点坐标再求：设直线OP的斜率k，则OQ的斜率为－，由椭圆与直线OP、OQ订交于PQ两点有：，消y得(1＋4k)x＝16,即|x|＝；，消y得(1＋)x＝16，即|x|＝；因此|OP|＋|OQ|＝()＋（）＝＝20。即|OP|＋|OQ|等于定值20。在此解法中，利用了直线上两点之间的距离公式|AB|＝|x－x|求|OP|和|OQ|的长。S

E

DC

OF

AB例3.已知正四棱锥S—ABCD的侧面与底面的夹角为β，相邻双侧面的夹角为α,求证：cosα=-cosβ。【分析】要证明cosα=-cosβ，考虑求出α、β的余弦，则在α和β所在的三角形中利用有关定理求解。【解】连AC、BD交于O，连SO；取BC中点F，连SF、OF；作BE⊥SC于E，连DE。则∠SFO＝β，∠DEB＝α。设BC＝a(为参数)，则SF＝＝,SC＝＝＝又∵BE＝＝＝在△DEB中，由余弦定理有：cosα＝＝＝－cosβ。因此cosα＝－cosβ。【注】设参数a而不求参数a，但是利用其作为中间变量协助计算，这也是在参数法中参数能够起的一个作用，即设参数协助解决有关问题。Ⅲ、坚固性题组：已知复数z知足|z|≤1，则复数z＋2ｉ在复平面上表示的点的轨迹是________________。函数y＝x＋2＋的值域是________________。抛物线y＝x－10xcosθ＋25＋3sinθ－25sinθ与x轴两个交点距离的最大值为_____A.5B.10C.2D.3过点M(0,1)作直线L，使它与两已知直线L：x－3y＋10＝0及L：2x＋y－8＝0所截得的线段被点P均分，求直线L方程。求半径为R的球的内接圆锥的最大概积。f(x)＝(1－cosx)sinx，x∈[0,2π)，求使f(x)≤1的实数a的取值范围。7.若对于x的方程2x＋xlg＋lg()＋lg＝0有模为1的虚根，务实数a的值及方程的根。8.给定的抛物线y＝2px(p>0)，证明：在x轴的正向上必然存在一点M，使得对于抛物线的随意一条过点M的弦PQ，有＋为定值。七、反证法与前面所讲的方法不同样，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思虑问题的证明方法，即：必然题设而否认结论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过归纳：“若必然定理的假定而否认其结论，就会以致矛盾”。详尽地讲，反证法就是从否认命题的结论下手，并把对命题结论的否认作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之获得与已知条件、已知公义、定理、法例或许已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原由是假定不可以立，因此必然了命题的结论，从而使命题获得了证明。反证法所依据的是逻辑思想规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思想过程中，两个相互矛盾的判断不可以够同时都为真，最罕有一个是假的，这就是逻辑思想中的“矛盾律”；两个相互矛盾的判断不可以够同时都假，简单地说“A或许非A”，这就是逻辑思想中的“排中律”。反证法在其证明过程中，获得矛盾的判断，依据“矛盾律”，这些矛盾的判断不可以够同时为真，必有一假，而已知条件、已知公义、定理、法例或许已经证明为正确的命题都是真的，因此“否认的结论”必为假。再依据“排中律”，结论与“否认的结论”这一对峙的相互否认的判断不可以够同时为假，必有一真，于是我们获得原结论必为真。因此反证法是以逻辑思想的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。反证法的证题模式能够简要的归纳我为“否认→推理→否认”。即从否认结论开始，经过正确无误的推理以致逻辑矛盾，达到新的否认，能够以为反证法的基本思想就是“否认之否认”。应用反证法证明的主要三步是：否认结论→推导出矛盾→结论建立。实行的详尽步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假定；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此经过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不可以立，从而必然原命题建立。在应用反证法证题时，必然要用到“反设”进行推理，不然就不是反证法。用反证法证题时，若是欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只需将这种情况反驳了就能够，这种反证法又叫“归谬法”；若是结论的方面情况有多种，那么必然将全部的反面情况一一反驳，才能推测原结论建立，这种证法又叫“穷举法”。在数学解题中常常使用反证法，牛顿以前说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否认形式”、“最少”或“至多”、“独一”、“无量”形式出现的命题；或许否认结论更明显。详尽、简单的命题；或许直接证明难以下手的命题，改变其思想方向，从结论下手进行反面思虑，问题可能解决得十分干脆。Ⅰ、再现性题组：已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0______。A.至多一个实根B.最少一个实根C.一个实根D.无实根已知a<0,－1<b<0，那么a、ab、ab之间的大小关系是_____。A.a>ab>abB.ab>ab>aC.ab>a>abD.ab>ab>a已知α∩β＝l，aα，bβ，若a、b为异面直线，则_____。A.a、b都与l订交B.a、b中最少一条与l订交C.a、b中至多有一条与l订交D.a、b都与l订交四周体极点和各棱的中点共10个，在此中取4个不共面的点，不同样的取法有_____。(97年全国理)A.150种B.147种C.144种D.141种【简解】1小题：从结论下手，假定四个选择项逐个建立，导出此中三个与特例矛盾，选A；2小题：采纳“特别值法”，取a＝－1、b＝－0.5，选D；3小题：从逐个假定选择项建立着手分析，选B；4小题：分析清楚结论的几种情况，列式是：C－C×4－3－6,选D。S

C

AO

BⅡ、示范性题组：例1.如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。【分析】结论是“不垂直”，呈“否认性”，考虑使用反证法，即假定“垂直”后再导出矛盾后，再必然“不垂直”。【证明】假定AC⊥平面SOB，∵直线SO在平面SOB内，∴AC⊥SO，∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB，∴SO⊥平面SAB，∴平面SAB∥底面圆O，这明显出现矛盾，因此假定不可以立。即AC与平面SOB不垂直。【注】否认性的问题常用反证法。比方证明异面直线，能够假定共面，再把假定作为已知条件推导出矛盾。例2.若以下方程：x＋4ax－4a＋3＝0，x＋(a－1)x＋a＝0,x＋2ax－2a＝0最罕有一个方程有实根。试务实数a的取值范围。【分析】三个方程最罕有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。先求出反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。【解】设三个方程均无实根，则有：,解得,即－<a<－1。因此当a≥－1或a≤－时，三个方程最罕有一个方程有实根。【注】“最少”、“至多”问题常常从反面考虑，有可能使情况变得简单。本题还用到了“鉴别式法”、“补集法”（全集R），也能够从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（△≥0）a的取值范围，再将三个范围并起来，即求会合的并集。两种解法，要求对不等式解集的交、并、补见解和运算理解透辟。例3.给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝(此中x∈R且x≠)，证明：①.经过这个函数图像上随意两个不同样点的直线不平行于x轴；②.这个函数的图像对于直线y＝x成轴对称图像。【分析】“不平行”的否认是“平行”，假定“平行”后得出矛盾从而颠覆假定。【证明】①设M(x,y)、M(x,y)是函数图像上随意两个不同样的点，则x≠x,假定直线MM平行于x轴，则必有y＝y，即＝，整理得a(x－x)＝x－x∵x≠x∴a＝1，这与已知“a≠1”矛盾，因此假定不对，即直线MM不平行于x轴。②由y＝得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y－1,因此x＝，即原函数y＝的反函数为y＝，图像一致。由互为反函数的两个图像对于直线y＝x对称能够获得，函数y＝的图像对于直线y＝x成轴对称图像。【注】对于“不平行”的否认性结论使用反证法，在假定“平行”的情况下，简单获得一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知a≠1相互矛盾。第②问中，对称问题使用反函数对称性进行研究，方法比较奇妙，要求对反函数求法和性质运用娴熟。Ⅲ、坚固性题组：已知f(x)＝，求证：当x≠x时，f(x)≠f(x)。已知非零实数a、b、c成等差数列，a≠c，求证：、、不可以能成等差数列。已知f(x)＝x＋px＋q，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中最罕有一个不小于。求证：抛物线y＝－1上不存在对于直线x＋y＝0对称的两点。已知a、b∈R，且|a|＋|b|<1，求证：方程x＋ax＋b＝0的两个根的绝对值均小于1。第二章高中数学常用的数学思想一、数形联合思想方法中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，照实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是对于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是对于数形联合的知识，主要表现是分析几何。数形联合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大概能够分为两种情况：或许是借助形的生动和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比方应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或许是借助于数的精准性和规范严实性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精准地说明曲线的几何性质。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形联合就是依据数学识题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数目关的精准刻划与空间形式的直观形象奇妙、友好地联合在一同，充分利用这种联合，找寻解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而获得解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的一致。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少量时难入微，数形联合百般好，隔裂分家万事休。数形联合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像联合起来，重点是代数问题与图形之间的相互转变，它能够使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形联合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要完好理解一些见解和运算的几何意义以及曲线的代数特色，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是适合设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转变；第三是正确确立参数的取值范围。数学中的知识，有的自己就能够看作是数形的联合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；随意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。Ⅰ、再现性题组：设命题甲：0<x<5；命题乙：|x－2|<3，那么甲是乙的_____。A.充分非必需条件B.必需非充分条件C.充要条件D.既不充分也不用要条件若log2<log2<0，则_____。A.0<a<b<1B.0<b<a<1C.a>b>1D.b>a>1若是|x|≤,那么函数f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。A.B.－C.－1D.若是奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。A.增函数且最小值为－5B.增函数且最大值为－5C.减函数且最小值为－5D.减函数且最大值为－5设全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，会合M＝{(x,y)|＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么等于_____。A.φB.{(2,3)}C.(2,3)D.{(x,y)|y＝x＋1若是θ是第二象限的角，且知足cos－sin＝,那么是_____。A.第一象限角B.第三象限角C.可能第一象限角，也可能第三象限角D.第二象限角已知会合E＝{θ|cosθ<sinθ，0≤θ≤2π}，F＝{θ|tgθ<sinθ}，那么E∩F的区间是_____。A.(,π)B.(,)C.(π,)D.(,)若复数z的辐角为，实部为－2，则z＝_____。A.－2－2ｉB.－2＋2ｉC.－2＋2ｉD.－2－2ｉ若是实数x、y知足等式(x－2)＋y＝3，那么的最大值是_____。A.B.C.D.知足方程|z＋3－ｉ|＝的辐角主值最小的复数z是_____。【简解】1小题：将不等式解集用数轴表示，能够看出，甲＝>乙，选A;2小题：由已知画出对数曲线，选B；3小题：设sinx＝t后借助二次函数的图像求f(x)的最小值，选D；4小题：由奇函数图像对于原点对称画出图像，选B；5小题：将几个会合的几何意义用图形表示出来，选B；6小题：利用单位圆确立符号及象限；选B；7小题：利用单位圆，选A；8小题：将复数表示在复平面上，选B；9小题：转变为