2021安徽考研数学三真题【含答案】

2021安徽考研数学三真题试卷一、选择题（10550分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）xtxt(1)当x00(e

1)dt是x7的(A)低阶无穷小. (B)等价无穷小. (C)高阶无穷小. (D)同阶但非等价无穷小.C.x2 t3

x6 7

x2 t3 7详解】因为当x0时，0(edt确答案为C.

2x(e

1)

，所以0(edt是xex1(2)函数f(x)= x ,x0,在x0处 ,x0(A)连续且取极大值. (B)连续且取极小值.(C)可导且导数为0. (D)可导且导数不为0.D.【详解】因为limf(x)=lim

ex1

1f(0)，故f(x)在x0处连续；x0

x0 xf(x)f(0)

ex11x

ex1x 1 1因为lim =lim

lim

，故f(0) ，正确答案为D.x0

x

x0

x

x0 x2 2 2(3)设函数f(x)axblnx(a0)有两个零点，则b的取值范围是a(A)(e,). (B)(0,e). (C)(0,1). (D)(1,).e eA.【详解f(x)axblnx0f(x)abf(x)0xbfbabblnb0，x从而lnb1，可得be，正确答案为A.

aa a aaa a(4)设函数f(x,y)可微，f(x1,ex)x(x1)2，f(x,x2)2x2lnx，则df(1,1)dxdy. (B)dxdy. (C)dy. (D)dy.C.1 【详解】fex)exf(xex)(x1)22x(x1) 1 1 f(x,x2)2xf(x,x2)4xlnx2x 1 x0 x1分别将y0，y1带入①②式有 f1(1,1)f2(1,1)1，f1(1,1)2f2(1,1)201dfdyC.f(xxx(xx)2xx)2xx)2的正惯性指数与负惯性指数依次为1 2 3 1 2 2 3 3 1(A)2,0. (B)1,1. (C)2,1. 2.B.【详解f(xxx(xx)2xx)2xx)22x22xx2xx2xx1 2 3 1 2 2 3 3 1 2 12 23 130 1 1 所以A1 2 1 1 1 0 |A|1 1 1

11(1)(3)令上式等于零，故特征值为13011.B.T 11 A,,4B=T1k表示任意常数，1 2 3 4

2 T 13 则线性方程组Bx的通解x(A)2341. (B)1342.(C)1243. (D)1234.D.因为A1234)为4阶正交矩阵，所以向量组1234是一组标准正交向量T1r(B)3=T0，所以齐次线性方程组Bx0的通解为而4 24 4T3T 11 B()=T()1

，故线性方程组

Bx

的通解1 2 3 2 1 2 3 T

13 x1234，其中k故应选D.1 0 1已知矩阵A2 1 1若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q使PAQ为对角 1 2 5 矩阵，则P，Q可以分别取1 0 0

1 0 1

1 0 0

1 0 0(A)0 1 0，0 1 3. (B)2 1 0，0 1 0. 0 0 1

0 0

3 2 1

0 0 1 1 0 0

1 0 1

1 0 0

1

3(C)2 1 0，0 1 3. (D)0 1 0，

1 2. 3 2 1 C.

0 0

1 3 1

0 0 1 1 0 1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0(A,E)2 1 0 1 00 3 1 00 1 2 0 1 2 5 0 0 1 0 2 6 1 0 1 0 0 0 3 2 1 1 0 0(F,P),则P2 1 0;1 0

3 2 1 1 1 0 03 0 1 0

1 0 1F0 0 00 0 0，则Q0 1 3.故应选C. Q E1 0 0 Q 0 1 0 0 1 3 0 0 1

0 0 AB为随机事件，且0P(B1，下列命题中不成立的是PA|B)PAPA|B)PA.PA|B)PAPA|B)PA)PA|B)PA|BPA|BP.PA|AB)PA|AB)PAP(B.D. P(A(A 【详解】P(A|AB)P(AB)

P(A)P(A)P(B)P(AB)P(A|AB)P(A(AB）P(AB)

P(AB)P(AB)

P(B)P(AB)P(A)P(B)P(AB)因为P(A|AB)P(A|AB)，固有P(A)P(B)P(AB)，故正确答案为D.(9)设X,Y，

,Y)，，(

,Y)N,22;)11 2 2 n n1n 1n

1 2 1 212，XnXi，YniXY则i1 i122(A)Eˆ)，Dˆ)1 2.nˆ ˆ 1 2 122ˆ ˆ 1 2 1(B)， .n(C)Eˆ)，Dˆ)1 2.nˆ ˆ 1 2 122ˆ ˆ 1 2 1(D)， .nBX,YX与YXY也服从二维正态Eˆ)E(XY)E(X)EY)12， 22D(ˆDXYDXD(YcovX,Y1 2 12B.n1 1设总体X的概率分布为P{X ，P{XP{X ，利用来自总体2 4的样本值1，3，2，2，1，3，1，2，可得的最大似然估计值为1.

3.

(C)1. (D)5.4 8 2 2A.)( 【详解】似然函数L()(1315)( 2 41 1取对数ln3ln( )5ln( )；2 4dln3 5 1求导 0，得 .故正确答案为A. 114二、填空题（6530分.请将答案写在答题纸指定位置上.）dydx若ycosex，则 .dydxsin1 e.2e

x1 dydxsindydx2x【详解】dysinex(ex 1)2xdx

x1 e.2e5(12)556

x dx .x2923 x 2

13

d(9x2)

5d(x29)x29x29

dx9x

dxx29

25

9x2

23

6.Dy体积为 ..4

x(0xxDx轴旋转所成旋转体的11 1【详解】V(xsinx)2dxxsin2t1 sin2tdt .0 0 20 4差分方程ytt的通解为 .yyy1t21tCC为任意常数.2 2【详解】yC,y1(at+b)(t1)(a(tbt(att2atabta1b1，2yyy1t21tC,C为任意常数.xxxx12x1x221x1211xf(x)

2 2中x3项的系数为 .-5.【详解】x x

1 2x

x 2 1 1 2

1 1

x 1 1 x 21 x 2 f(x) x1

x 1x2 x

12 1

2x2 1 x2 1 x

1 1

2 1

3 1

2 1 12 1 1 x所以展开式中含x3项的有x3,4x3，即x3项的系数为-5.22再从乙盒中任取一球.XY分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数 .1 .5

(0,0) 0)

0 1

0 1联合分布率X,Y

3 1 1

,X1 1Y1 1

2 2

2 21 1 1 1o(X,Y)20，X4,Y4即Y5.三、解答题（本题共6小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(17)(本小题满分10分)1 1已知lim[arctanx011

1xx]的值.x(ee).【详解】.要想极限存在，则左右极限相等； 又由于limarctanx0

1x)x

e;2 limarctanx0

1 1x)x ; 2 e 1 11从而 e2

，即e

(e

e).(18)(本小题满分12分)(x1)2y2求函数f(x,y)2lnx 的极值.2x21020)112

2ln2.【详解】'

2x2x1y2fx

x3 0 2x2x1y20（1） y

即y0f' 0 y x21得驻点(1,0)，(,0)2f f

4x1x3(2x2x1y2)x4（2）

''2yfxy x3fxf1xyy 2（3）驻点(1,0)处，A=3，B=0，C=1，ACB230，A0故f(x,y)在(1,0)处取极小值2；驻点(1,0)处，A=24，B=0，C=4，ACB230，A021 故f(x,y)在(,0)处取极小值2 (19)(本小题满分12分)

2ln2.设有界区域D是x2y21和直线yx以及x轴在第一象限围城的部分，计算二重积分e(xy)2(x2y2)dxdy.D1e21e1.8 4 8

12 2e(xy)(x2y2)d

4cos2der(cossin)r2dr2

4coserr2dr22D 0 0 20 02 4cos2deu(cossin)udu0 01ueudu1

1(cossin)2ueu(cossin)2du(cossin)20 1(cossin) 1

osin)40 te(cossin) te40e(cossin)2

1 osin)2 osin)4 上式=1

4cossin(cossin)2d14cossin[e(cossin)21]d20

cossine

20

(cos+sin)3121eu2du1

eu2121u

du21 u32 2 2 2u2其中 1eu2u

-2 1

1 u2 2

1u2

12 1 e1u

1ud(

) 2u2

11(2

4

2e

u3du2e2 e 1 22

1 1 1原式=

+u3du e2e .(20)(12分)设ny

xyn1y0yn

1n(n

的解.yn(x)；求级数yn(x的收敛域及和函数.n11 n1

(1x)ln(1x)x,x(1,1)(1)yn(x)n(n1)x(n1)y

;(2)收敛域[1,1]，S(x)n1dx 1

x1 .1(1)

y 0x

yCex

Cxn1

yn

n(n

Cn(n1)，yn(x)

1n(n

xn1；11n1n1(2)n(n1)n1

的收敛域为[1,1]11n1

xn1

xn1n1S(x)n(n1n1

nn1n

(1x)ln(1x)x,x(1,1)nnn又因为S(x)在[1,1]连续，所以S(1)limS(x)1，x1S(x)xxxx. x1(21)(12分)2 1 0 设矩阵A=1 2 0仅有两个不同的特征值.若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并 1 a b 逆矩阵P，使P1AP为对角矩阵.2【详解】由A 1

1 02 0

(b)(3)(1)01 a b当b3时，由A相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则1 1 0 (3E1 1 0a1 1 a 0 1 0此时，3所对应特征向量为1,0，0 1 2 1 2 0 1

3 1所对应的特征向量为1，则P1AP 3 3 3 1 1 当b1时，由A相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存