高等数学中的相关知识点

4双曲余弦：y=（>）”函数：=x04双曲余弦：y=（>）”函数：=x00000333一、其它常见初等函数（大家自己画出图象，并分析性质）、取整函数：y[x](不超过x的最大整数称为x的数部)（>）、符号函数：ysgnx=0(x=0)－1(x<0)、双曲正弦：y=

钩“函数：y=x

ax

(>、平移后的反比例函数y=

cx

（ad

）思考：什么条件下它反函数相同)、最大值和最小值定理：在闭区间上的连续函数，在该区间上一定有最大值和最小。、有界性定理：在闭间上连续的函数一定在该区间上有界。、零点定理：设数在闭区间[,]上连续，且f(a)与f(b)异号，即，那么在开区间(内至少有一ξ，使得f()=0。、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,]连续，且f(a)≠f(b)，对于f(a)和f(b)之的任意一个数，在开区间(内至少有一点，得f()=。例：求证方程X

4X

在（，）至少有一个实数根。利用隐函数求导，可以得到过圆锥曲线上任意一点x，y）切线方程：00、过椭圆

yyy上意一点（xy）切线方程为：

；、过双曲线

xyb

xy上任意一点（x，y）的切线方程为：

；、过抛物线y上意一点x，y）切线方程为：y如果函数f(x)点处的导数f(x)≠0，且Δx很小时，有0Δy≈f’)·x0也可写为：f(x+x≈(xf’(x)·Δx00例1一个半径为1厘的铁球，在表面均匀地涂上一层厚度为厘米的铜，若铜的密度为克厘。问需要多质量的铜？（0.13厘×8.9克厘=1.16克例2计算º′的近值。0.5076定理：如函数在闭区间[a,]连续，在开区间,内导，那么在区(,b)内至少有一ξ（a<<b,使得等式f(b)-f(a)=fˊξ)(b-a)立。例：求证：当x>时<<x。1x

f)证明：设=ln(1+x)则在区间[0,x]上续，在区间0x）上可导，根据拉格郎日中f)f(x)-f(0)=

fˊξ)(x-0)0ξ<

x，因为，ˊ(x)=

11x

，所以上式可写为1ln=x1又因为0<ξ<，以：

<，即1

1x

<ln<x。、定义：若函数在区间[a,]上连续，如果对于区间[ab]内任意两点X，X，恒有1（1f(（2f(

)<，函数图象是凹的，函数f(x)叫函数；2f)))>，函数图象是凸的，函数f(x)叫函数。2、定理：若函数在区间[a,]上连续，在区a内有一阶导数和二阶导数，那么（1若在区间(a,b)内，二阶导数f″(x)>0，则函数f(x)凹函数；（2若在区间(a,b)内，二阶导数f″(x)<0，则函数f(x)凸函数。向量的两个向量和b的向积是一个向量，作a×b，它模为：∣a×∣∣∣•∣b∣•sin<ab>

a×bb它的方向垂直于ab构的平面并和a、b构右手系。如右图所示。从图中可以看出，ab的模在数值上等于以、b为边的平行四边形的面积。根据向量积的定义，可以得出下列结论：（1两个相等向量的向量积等于零，即×=；（2两个向量共线的充要条件是它们的向量积等于零。（3ii=j×j=k×k=0i×=k，j×k=i，×i=j；j×=–k×=–，i×–j。向量积满足下列运算规律：（1）反交换：×–×（2）结合律(a)×bk(×b)

（3）分配律×b+c×+a×；)×=×a+×向量积也可以用坐标表示。设a=，y，)，b=(x，y，)，则：11122×（Y–YZ）i+（ZX–X）j+XY–XYk1211如果先作向量a、向量积，得到新的向量a，再把新向量a×b和向量c作量积，我们就得到一个形如a×b）实，这个实数就叫三个向量a、bc的混合或向数量。下面分两种情况讨论混合积的几何意义。一．当三个向量、、c不面时，混合积×）的绝对值等于以a、为棱的平行六面体的体积。如图所示。abbSa二．当三个向量a、、共时，混合积（a）等零。实际上×）c等零是三个向量、b、c共的充要条件。此外，可以证明，混合积的运算具有下列性质：（a×）（×）a（×）=–（×ac–c×）a=–×）根据上述性质，三个向量a、c的合积可以简单地表示为a、c不必指明三个向量中是哪两个作向量积。向量积也可以用坐标表示。设a=，y