高等代数【北大版】64课件

§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和小结与习题第六章线性空间§2线性空间的定义§3维数·基与坐标§4基1一、向量的形式书写法二、基变换§6.4基变换与坐标变换三、坐标变换6.4基变换与坐标变换一、向量的形式书写法二、基变换§6.4基变换与坐标变换2引入

我们知道，在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都可取作线性空间V的一组基．V中任一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在不同基下的坐标一般是不同的．因此在处理一些问题是时，如何选择适当的基使我们所讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题．为此我们首先要知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系，即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的.6.4基变换与坐标变换引入我们知道，在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向3一、向量的形式书写法

1、V为数域

P上的

n

维线性空间，为V

中的一组向量，

，若

则记作6.4基变换与坐标变换一、向量的形式书写法1、V为数域P上的n维线性空间，4则记作

2、V为数域

P

上

n

维线性空间，

；为V中的两组向量，若6.4基变换与坐标变换则记作2、V为数域P上n维线性空间，5在形式书写法下有下列运算规律1)

若

线性无关，则

注：6.4基变换与坐标变换在形式书写法下有下列运算规律1)若线性无关，则注62)

；为V中的两组向量，矩阵

，则

；

；

；若

线性无关，则6.4基变换与坐标变换2)；为V中的两组向量，矩阵71、定义设V为数域P上n维线性空间，；

为V中的两组基，若①即，

二、基变换6.4基变换与坐标变换1、定义设V为数域P上n维线性空间，；为V中的两8则称矩阵

为由基到基的过渡矩阵；称

①

或

②

为由基到基的基变换公式．

②6.4基变换与坐标变换则称矩阵为由基到基的过渡矩阵；称9

2、有关性质

1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．证明：若为V的两组基,且由基的过渡矩阵为A，即又由基也有一个过渡矩阵,设为B，即③④比较③、④两个等式，有6.4基变换与坐标变换2、有关性质1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩10都是线性无关的,即，A是可逆矩阵,且A－1＝B.反过来，设为P上任一可逆矩阵，任取V的一组基于是有，6.4基变换与坐标变换都是线性无关的,即，A是可逆矩阵,且A－1＝B.反过来，设11由A可逆，有即，也可由线性表出.故线性无关，从而也为V的一组基.

并且A就是的过渡矩阵.2）若由基过渡矩阵为A,则由基过渡矩阵为A-1.6.4基变换与坐标变换由A可逆，有即，也可由线性表出.故123）若由基过渡矩阵为A,由基过渡矩阵为B，则由基过渡矩阵为AB.事实上,若则有，6.4基变换与坐标变换3）若由基过渡矩阵为A,由基13三、坐标变换⑤1、定义：V为数域P上n维线性空间

为V中的两组基，且设且ξ在基与基

下的坐标分别为与，

6.4基变换与坐标变换三、坐标变换⑤1、定义：V为数域P上n维线性空间为V中的14即，与

则或

⑦

称⑥或⑦为向量ξ在基变换⑤下的坐标变换公式．

⑥6.4基变换与坐标变换即，与则或⑦称⑥或⑦为向量ξ在基变换⑤下的坐标15例1在Pn中，求由基

到基

过渡矩阵．其中

解：∵

的过渡矩阵及由基

到基

的并求向量在基下的坐标.

6.4基变换与坐标变换例1在Pn中，求由基到基过渡矩阵．其中解：∵的过渡16而，∴

6.4基变换与坐标变换而，∴6.4基变换与坐标变换17到基

由基的过渡矩阵为

故，由基

到基

的过渡矩阵为6.4基变换与坐标变换到基由基的过渡矩阵为故，由基到基的过渡矩阵为6.418在基下的坐标就是设在基下的坐标为，则所以在基下的坐标为6.4基变换与坐标变换在基下的坐标就是设在基下的坐标为19例2在P4中，求由基

到基

的过渡矩阵，其中

6.4基变换与坐标变换例2在P4中，求由基到基的过渡矩阵，其中6.4基变20解：设

则有

或

，

6.4基变换与坐标变换解：设则有或，6.4基变换与坐标变换21从而有

6.4基变换与坐标变换从而有6.4基变换与坐标变换22∴由基

到基

的过渡矩阵为6.4基变换与坐标变换∴由基到基的过渡矩阵为6.4基变换与坐标变换23练习：已知的两组基：求由基的过渡矩阵，并求矩阵在基下的矩阵.6.4基变换与坐标变换练习：已知的两组基：求由基24解：设A在基下的坐标为6.4基变换与坐标变换解：设A在基下的坐标为6.4基变换与坐标变换25则即A在基下的坐标为6.4基变换与坐标变换则即A在基下的坐标为6.4基变换与坐标变换26§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和小结与习题第六章线性空间§2线性空间的定义§3维数·基与坐标§4基27一、向量的形式书写法二、基变换§6.4基变换与坐标变换三、坐标变换6.4基变换与坐标变换一、向量的形式书写法二、基变换§6.4基变换与坐标变换28引入

我们知道，在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都可取作线性空间V的一组基．V中任一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在不同基下的坐标一般是不同的．因此在处理一些问题是时，如何选择适当的基使我们所讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题．为此我们首先要知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系，即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的.6.4基变换与坐标变换引入我们知道，在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向29一、向量的形式书写法

1、V为数域

P上的

n

维线性空间，为V

中的一组向量，

，若

则记作6.4基变换与坐标变换一、向量的形式书写法1、V为数域P上的n维线性空间，30则记作

2、V为数域

P

上

n

维线性空间，

；为V中的两组向量，若6.4基变换与坐标变换则记作2、V为数域P上n维线性空间，31在形式书写法下有下列运算规律1)

若

线性无关，则

注：6.4基变换与坐标变换在形式书写法下有下列运算规律1)若线性无关，则注322)

；为V中的两组向量，矩阵

，则

；

；

；若

线性无关，则6.4基变换与坐标变换2)；为V中的两组向量，矩阵331、定义设V为数域P上n维线性空间，；

为V中的两组基，若①即，

二、基变换6.4基变换与坐标变换1、定义设V为数域P上n维线性空间，；为V中的两34则称矩阵

为由基到基的过渡矩阵；称

①

或

②

为由基到基的基变换公式．

②6.4基变换与坐标变换则称矩阵为由基到基的过渡矩阵；称35

2、有关性质

1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．证明：若为V的两组基,且由基的过渡矩阵为A，即又由基也有一个过渡矩阵,设为B，即③④比较③、④两个等式，有6.4基变换与坐标变换2、有关性质1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩36都是线性无关的,即，A是可逆矩阵,且A－1＝B.反过来，设为P上任一可逆矩阵，任取V的一组基于是有，6.4基变换与坐标变换都是线性无关的,即，A是可逆矩阵,且A－1＝B.反过来，设37由A可逆，有即，也可由线性表出.故线性无关，从而也为V的一组基.

并且A就是的过渡矩阵.2）若由基过渡矩阵为A,则由基过渡矩阵为A-1.6.4基变换与坐标变换由A可逆，有即，也可由线性表出.故383）若由基过渡矩阵为A,由基过渡矩阵为B，则由基过渡矩阵为AB.事实上,若则有，6.4基变换与坐标变换3）若由基过渡矩阵为A,由基39三、坐标变换⑤1、定义：V为数域P上n维线性空间

为V中的两组基，且设且ξ在基与基

下的坐标分别为与，

6.4基变换与坐标变换三、坐标变换⑤1、定义：V为数域P上n维线性空间为V中的40即，与

则或

⑦

称⑥或⑦为向量ξ在基变换⑤下的坐标变换公式．

⑥6.4基变换与坐标变换即，与则或⑦称⑥或⑦为向量ξ在基变换⑤下的坐标41例1在Pn中，求由基

到基

过渡矩阵．其中

解：∵

的过渡矩阵及由基

到基

的并求向量在基下的坐标.

6.4基变换与坐标变换例1在Pn中，求由基到基过渡矩阵．其中解：∵的过渡42而，∴

6.4基变换与坐标变换而，∴6.4基变换与坐标变换43到基

由基的过渡矩阵为

故，由基

到基

的过渡矩阵为6.4基变换与坐标变换到基由基的过渡矩阵为故，由基到基的过渡矩阵为6.444在基下的坐标就是