导数常考题型汇总（11个）

目录TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"导数专题一、单调性问题 2\o"CurrentDocument"导数专题二、极值问题 38\o"CurrentDocument"导数专题三、最值问题 53\o"CurrentDocument"导数专题四、零点问题 77\o"CurrentDocument"导数专题五、恒成立问题和存在性问题 118\o"CurrentDocument"导数专题六、渐近线和间断点问题 170\o"CurrentDocument"导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题 190\o"CurrentDocument"导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 201\o"CurrentDocument"导数专题九、公切线解决导数中零点问题 214\o"CurrentDocument"导数专题十、极值点偏移问题 219\o"CurrentDocument"导数专题十一、构造函数解决导数问题 227导数专题一、单调性问题【知识结构】一、分类讨论求函数单调性、单数一函参知求围已调范一、分类讨论求函数单调性、单数一函参知求围已调范三、已知函

数不单调求

参数范围数存在单调区间求参数±l>MTffl数在具有相同的单调性【知识点】一、导函数代数意义：利用导函数的正负来判断原函数单调性；二、分类讨论求函数单调性：含参函数的单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类讨论，讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系.三、分类讨论的思路步骤：第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点：第二步、以导函数的零点存在性进行讨论；当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小关系及与区间的位置关系(分类讨论)；第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号(画导图、标正负、截定义域)；第四步、(列表)根据第五步的草图列出了'(X),/(X)随X变化的情况表，并写出函数的单调区间：第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端点函数值比较得到函数的最值.四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点：.最高次项系数是否为0；.导函数是否有极值点；.两根的大小关系；.根与定义域端点讨论等。五、求解函数单调性问题的思路：(1)已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为/'(x)N0或/'(x)W0恒成立；(2)已知区间上不单调，转化为导函数在区间上存在变号零点，通常利用分离变量法求解参变量的范围；(3)已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法(1)参变分离；(2)导函数的根与区间端点直接比较：(3)导函数主要部分为一元二次时，转化为二次函数根的分布问题.这里讨论的以一元二次为主。七、求解函数单调性问题方法提炼：(1)将函数/(x)单调增(减)转化为导函数/'(x)2(4)0恒成立；(2)//(x)=g(x)/z(x),由g(x)>0(或g(x)<0)可将/'(x)2(4)0恒成立转化为A(x)>(<)0(或Mx)4(N)0)恒成立;(3)由“分离参数法”或“分类讨论”，解得参数取值范围。【考点分类】考点一、分类讨论求解函数单调性；【例1-1】(2015-2016朝阳一模理18)己知函数/(x)=x+alnx,aeR.(1)求函数/(x)的单调区间；(II)当xc［l,2］时，都有/(x)>0成立，求a的取值范围；(Ill)试问过点P(l，3)可作多少条直线与曲线y=/(x)相切？并说明理由.【答案】(I)函数/(x)的定义域为卜k>0}./'(》)=1+?=岁.(1)当aNO时，/'(x)>0恒成立，函数/(x)在(0,+8)上单调递增；(2)当a<0时，令/"'(x)=0,得x=-a.当0<x<-a时，f'(x)<0,函数/(x)为减函数：当x〉-a时，f'(x)>0,函数/(x)为增函数.综上所述，当aN0时，函数/(x)的单调递增区间为(0,+8).当a<0时，函数/(x)的单调递减区间为(0,-a),单调递增区间为(—a,+oo).(II)由(I)可知，⑴当一aWl时，即时，函数/(x)在区间［1,2］上为增函数,所以在区间［1,2］上，/(x)min=/(l)=l,显然函数/(x)在区间［1,2］上恒大于零：(2)当l<-a<2时，即-2<a<-l时，函数/(x)在［1,-a)上为减函数，在(一a,2］上为增函数，所以/(x)而口=/(-«)=~a+aln(-a).依题意有/(x)min=-a+aln(-a)>0,解得a>-e,所以一2<a<-l.(3)当—a22时，即aW-2时，/(x)在区间［1,2］上为减函数，所以/。焉=/(2)=2+aIn2.2 7依题意有/(x)min=2+。卜2>0,解得。>一丁二，所以一丁二<44一2.In2In2

2综上所述，当。>一蔽时，函数/(x)在区间1,2]上恒大于零.(111)设切点为(xo/o+alnx。)，则切线斜率左=1+-，切线方程为y-(x()+olnx())=(l+巴)(x-x()).见因为切线过点P(l,3),则3—(Xo+Mnx°)=(l+g)(l—Xo).%即a(lnx04 1)—2=0. ①%令g(x)=a(lnx+,-l)-2(x>0),贝ijgr(x)=a(---y)=

X XX(1)当a<0时,在区间(0,1)上，g'(x)>o,g(x)单调递增；在区间(1,+oo)上，g'(x)<0,g(x)单调递减，所以函数g(x)的最大值为g(l)=-2<0.故方程g(x)=0无解，即不存在/满足①式.因此当“<0时，切线的条数为0.(2)当。>0时，在区间(0,1)上，g'(x)<0,g(x)单调递减，在区间(1,+O上，g'(x)>0,g(x)单调递增，所以函数g(x)的最小值为g⑴=-2<0.TOC\o"1-5"\h\z1+- 2 -I- -1—取玉=ea>e,则g(xj=q(1+—+e0-l)-2=aea>0.a故g(x)在(L+8)上存在唯一零点.-i-1 2 i+2 i+-取％2=e°<_,则g(X2)=Q(7——+ea-1)-2=aea-2a-4e a2a(x-1)「号2、=a[e。-2(1+-)].a设Z=1+—">1),w(/)=ea(x-1)「号2、=a[e。-2(1+-)].a当r>l时，〃'(/)=e'-2>e-2>0恒成立.所以“。在(l,+o。)单调递增，”(/)>〃(l)=e-2>0恒成立.所以g(z)>0.故g(x)在(0,1)上存在唯一零点.因此当a>0时，过点尸(1,3)存在两条切线.(3)当a=0时，/(x)=x,显然不存在过点P(l，3)的切线.综上所述，当a>0时，过点尸(1,3)存在两条切线；当aWO时，不存在过点尸(1,3)的切线.1 Y-1【例1-2】(2015-2016海淀一模理18)已知函数/(x)=lnx+——1,g(x)=--x Inx(I)求函数/(x)的最小值；(II)求函数g(x)的单调区间；(III)求证：直线y=x不是曲线y=g(x)的切线.【答案】(I)函数/(X)的定义域为(0,+8),当X变化时，/'(X),/(X)的变化情况如下表:X(0,1)1(1,+8)f'M—0+/(x)递减极小值递增函数/(X)在(0,-KO)上的极小值为/(a)=lnl+1-l=0,所以/(x)的最小值为0(H)解：函数g(x)的定义域为(0,1)UQ,+8),Inx-(x-l)—Inxd 1 0、g，(x)= ——=Qhrx ln-xln2x由(I)得，/(x)>0,所以g1x)NO

所以g(x)的单调增区间是(0,1),(1,+8),无单调减区间.(IU)证明：假设直线歹=x是曲线g(x)的切线.设切点为Go,%)，则g'(x())=l，即--^2—=1Inx0x0-1 x0-1又先=同'％=°'则域=/.x-1 1所以lnXo=-2—=1——，得g'(Xo)=O,与g'(x())=l矛盾所以假设不成立，直线歹=》不是曲线目。)的切线【练1-1](2015-2016西城一模理18)已知函数/(x)=xe'—ae*T,且/<l)=e.(I)求。的值及/(x)的单调区间；(II)若关于x的方程/(1)=丘2一2(后>2)存在两个不相等的正实数根外,与，证明:|X1-x,|>In—.【答案】(【)对/(x)求导，得/'(x)=(l+x)e、-aei,所以/'(D=2e-a=e,解得a=e.故/(x)=xe、-e*,/'(x)=xe、.令/'(x)=0,得x=0.当x变化时，/'(x)与/(X)的变化情况如下表所示:X(fX(f0)f'(x)—〃x)0(0,+oo)0十/所以函数/(X)的单调减区间为(-8,0),单调增区间为(0,+^).(H)解:方程/(幻=小一2,即为(x-l)e、*+2=0,设函数g(x)=(x-l)e*-h2+2.求导，得g'(x)=xex-2kx=x(ex-2k).由g'(x)=0,解得x=0,或x=ln(2k).所以当xe(0,+8)变化时，g'(x)与g(x)的变化情况如下表所示:

X(0,皿2外)ln(2〃)(ln(2t),+ao)g'(x)—0+g(x)/所以函数g(x)在(0」n(2%))单调递减，在(皿2外,+8)上单调递增.由％>2,得ln(2%)>ln4>l.又因为g(D=—k+2<。，所以g(ln(24))v0.不妨设玉』(其中为，(工)=去2-2的两个正实数根)，因为函数g(x)在(0,ln2A)单调递减，且g(0)=l>0,g(l)=-*+2<0,所以O<X<1.同理根据函数g(x)在(In2〃,内)上单调递增，且g(ln(2Q)<0,可得>ln(2左)>ln4,4所以|石-W1="2-%>In4-1=In—,e4即|x}-x21>In-.e【练1-2］(2011-2012石景山一模文18)已知函数/(x)=x2+2alnx.(I)若函数/(x)的图象在(2,7(2))处的切线斜率为1,求实数。的值;(II)求函数/(x)的单调区间；2(III)若函数g(x)=-+/(x)在［1,2］上是减函数，求实数a的取值范围.X…小/t、、c2a2x"+2a 1分 3分【答案】(I)/V)=2x 1分 3分X X由已知/'(2)=1,解得〃=一3.(II)函数/(x)的定义域为(0,+8).(1)当a20时，/'(x)>0,/(x)的单调递增区间为(0,+8)；……5分(2)当"0时/(x)=2(x+G)(x/).X当X变化时，/'(x),/(x)的变化情况如下：

X(o,V—J-a(V^a,+oo)f\x)-0+/(X)极小值X由上表可知，函数/co的单调递减区间是(o,G)；单调递增区间是(、/^,+8). ... 8分2(H)由g(x)=—+M+2qInx得g\x)X2 .2a=——-+2x+—,....X X 9分由已知函数g(x)为［1,2］上的单调减函数，则g'(x)WO在［1,2］上恒成立，TOC\o"1-5"\h\z2 2a即—7+2xH W0在［1,2］上怛成立.XT X即aW’-f在［1,2］上恒成立. 11分令h(x)=—x2,在［1,2］上〃'(%)=—y-2x=-(-y+2x)<0,x x x， ■ ， 7所以/z(x)在［1,2］为减函数.h(x)min=A⑵=~, 14分【练1・3](2052016朝阳期末文19)已知函数/(x)=(24一l)lnx+±+2x,keR.x(I)当％=1时，求曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程；(II)当％=e时，试判断函数〃x)是否存在零点，并说明理由；(III)求函数/(x)的单调区间.【答案】函数/(x)的定义域：xe(0,+oo).2/+Qk-l)x—左_(x+%)(2x2/+Qk-l)x—左_(x+%)(2x—1)x2f(x)= t+2=XX(I)当％=1时，f(x)=Inx+—+2x.f'(x)=(±+D(.二D.x有/(I)=Ini+1+2=3,即切点(1,3),A-=.r(i)=(1+iy-1)=2.所以曲线y=/(x)在点(1,7(1))处切线方程是y-3=2(x-1),即y=2x+1.(Il)若k=e,f(x)=(2e-1)Inx+—+2x.xr(x)=(±)：xT).X令/'(x)=。，得X]=-e(舍)，、2=g・X呜）£2A、/'(x)—0+/(x)极小值/1 1e1则1nhi=/(5)=(2e-l)ln5+T+2・5=2(l-ln2)e+hi2+l＞。2所以函数/(x)不存在零点.(III)r(x)=(f2Dx当一左VO,即左NO时，X（。，3）121(5，+°°)/'（X）—0+/（X）X极小值/

当一〃>!2X（o，g）2gw-k（一左,+8）即左＜二2/'（X）+0—0+时，/1）/（X）/极大值极小值/的单调增区间是（°，二），（一忙+30）；当0＜一左＜,，即一,＜%＜0时,

2 2X（0，；）A、5'4"00/'（X）++f(x)//X(0,-外-k（-《）121f'M+0——0+/(X)/极大值极小值/当_4=,，即时,2 2综上420时，/（%）的单调增区间是（g,+8）;减区间是（0,；）.当一;〈A<0时，/(X)的单调增区间是(0,-左),(；,+8)；减区间是(一人,；).当左=一;时，/(X)的单调增区间是(0,+00);当％<—5时，/(X)的单调增区间是(o,5),(-4,+8)；减区间是(5，—%).【练19](2015-2016丰台期末文20)设函数f(x)=x3+ax2+bx的图象与直线y=-3x+8相切于点尸(2,2).(I)求函数/(x)的解析式；(II)求函数/(x)的单调区间；1 ITt1(III)设函数g(x)=§d -x2 ——(/H>1),对于XXx,e[0,4],3x2e[0,4],使得/(X。=g(x?),求实数加的取值范围.【答案】(I)・・・函数/。)=X3+如：2+以的图象与直线^=-3》+8相切于点尸(2,2),(2)=—3,〃2)=2.f\x)=3x2+2ax+b>8+4。+26=2・〈3x2~+2ax2+b=—3a=-6解得V,c-b=9・/(x)=x3-6x2+9x.(ID/V)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),令/'(x)>0，得xvl或x>3；令/'’(x)<0,得l<x<3.・・/(x)的单调递增区间为(—8,1),(3,+00)；单调递减区间为(1,3).…8分(III)记/(%)在[0,4]上的值域为A9g(x)在[0,4]上的值域为B,・・,对于\/再6［0,4］,3x2g［0,4］,使得/(xJ=g(X2)，:・A三B.由(II)得：/(x)在［0,1］上单调递增，在(1,3)上单调递减，在［3,4］上单调递增，/(0)=0,/(1)=4,/⑶=0,/(4)=4，,4=［0,4］./、 1i机+12 Li、.•g(X)=§X ——X+AHX-加〉1),g(X)=x2-(m+l)x4-w=(x-l)(x-m).i当1<“<4时，g(x)在［0,1］上单调递增，在上单调递减，在［矶4］上单调递增,二g(x)的最小值为g(0)或g(m)，g(x)的最大值为g⑴或g(4).g(l)N4或g(4R4,.・.g(l)=；加一；24或g(4)=-Am+13>4,9即加29或加W—.4又：1<加<4,9/.1<m<—.42当加24时,g(x)在［0,1］上单调递增，［1,4］上单调递减，.••g(x)的最小值为g(0)或g(4),g(x)的最大值为g(l).Vg(0)=--<0,且—w-->4,即〃729.2 29综上所述：1〈加〈一或加29.4【练1-5］(2015-2016朝阳二模文20)已知函数/'(x)="一,-伍+1)Inx,aeRX(I)求函数/(X)的单调区间：(11)当a21时，若/(x)>l在区间［Le］上恒成立，求a的取值范围.e【答案】(I)函数/(x)的定义域为{x|x>0},/'(x)=⑪-l)x+1=(ax--1)(1)当aWO时，ax-1<0,令/'(x)〉0,解得0<x<l,则函数/(x)的单调递增区间为(0,1)令/'(x)<0,解得x>l,函数/(x)单调递减区间为(1,+8).所以函数/(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+8).(2)当0<a<l时，->1,a令/'(x)〉0,解得0<x<l或x>L,则函数/(x)的单调递增区间为(0,1)；a令/‘(x)<o,解得函数/(X)单调递减区间为a,L).a a所以函数/(x)的单调递增区间为(0,1),(-,+00),单调递减区间为(1,L).a a(3)当a=l时，/'(x)=’丁NO恒成立,所以函数/(X)的单调递增区间为(0,+8).(4)当。>1时，0<-<1,aTOC\o"1-5"\h\z令/'(x)>0,解得0<x<L或x>l,则函数/(x)的单调递增区间为(0,1),(l,+oo)；a a令/'(x)<0,解得则函数/(x)的单调递减区间为(工,1).\o"CurrentDocument"a a所以函数/(x)的单调递增区间为(0,L),a,+oo),单调递减区间为(L,1)(II)依题意,a a在区间»,e］上/(x)mm>LeUX^—(Q+1)X+1(QX—1)(X—1)J\x)= 2 = 2 ，a>\.X X令/，(x)=0得，》=1或》='.a若。Ne,则由/'(x)>0得，l<x<e,函数/(x)在(l,e)上单调递增.由/'(x)<0得，函数/(x)在(±1)上单调递减.e e所以满足条件；若1<〃<e,则由/'(X)>0得，或lvx<e；ea由rcovo得，-<x<l.a函数f(x)在(l,e),(l-)上单调递增，在(’J)上单调递减.ea a/(x)mm=min{/d)J⑴}，c1 fe2依题意,即所以2<a<e；J⑴>1 [a>2若a=l,则/'(x)N0.所以/(x)在区间[2,e]上单调递增，/(x)min=/(-)>1.不满足条件；e e综上，a>2.【练1-6](2015-2016房山二模文19)已知函数/(x)=x+](I)求函数/(x)的单调区间；(II)若直线y=Ax与曲线y=/(x)没有公共点，求实数%的取值范围。【答案】(I)/(x)=x+5"，定义域为H

f(x)=1- =—7—>令/'(x)=0,得x=0X(fO)0(0,+oo)/(X)—0+/(x)极小值T所以/(X)的增区间为(0,+8),减区间为(-8,0)。(II)因为直线歹=去与曲线y=/(x)没有公共点，所以方程/(x)=b无实根，即》+二=依无实根，等价于("l)x〃-l=0无实根e设g(x)=(左,即y=g(x)无零点.g(x)=(Zr-l)-eJ+(^-1)%-^=e*•(左一l>(x+l)当左=1时，g'(x)=0,g(x)=-l,显然无零点，符合题意；当人>1时，令g'(x)=0,得x=-lXS'T)-1(-1,+co)g(x)—0+g(x)极小值/g(-l)min=一(左一1)/一1<0,显然不符合题意;当左<1时，令g(x)=0,得x=-lX-1(-1,+co)g(x)十0—g(x)/极大值由g(-1)1rax=-(%-l)eT—l<0,得k>l-e,所以l-e(左<1时，符合题意综上所述：k+x【练1・7](20152)16朝阳一模文19)已知函数/(幻= ex(keR).k-x(I)若左=1,求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；(II)求函数/(x)的单调区间；(HD设左W0,若函数/(x)在区间(G,2&)上存在极值点，求左的取值范围.【答案】(I)若左=1，函数/(x)的定义域为{x|xh1},/'管尸.则曲线y=/(x)在点(0,/(0))处切线的斜率为/'(0)=3.而/(0)=1,则曲线y=/(x)在点(0,/(0))处切线的方程为y=3x+l(II)函数/(x)的定义域为/口尸立2£+上丁)(k—x)~(1)当人>0时，由xh左，且此时+2%>左,可得-J%?+2〃<%<J%?+2%.令/'(x)<。，解得x<-Jk。+2k或x>J"?+2左,函数/(x)为减函数；令/'(x)>0,解得7k2+2k<x<«2+2k,但所以当7k2+2k<x<k,k<x<，尸+2%时,函数/(x)也为增函数.所以函数/(x)的单调减区间为(-8,7k、2k),(42+2),+oo),单调增区间为(-J为+2左,k),(%,Jr+2左).(2)当〃=0时，函数/(x)的单调减区间为(-oo,0),(0,+oo).当〃=一2时，函数/(x)的单调减区间为(-8,-2),(-2,+oo).当一2〈人<0时，由2左+二<0,所以函数/(x)的单调减区间为(-8,无)，(%,+8).即当—2W左40时，函数/(x)的单调减区间为(-8,%),(左,+oo).(3)当人<-2时，此时-J左2+2%>%.令/''(x)<0,解得+2>或x>J6+2],但X。左，所以当x<左,k<x<-yjk2+2k,x>J"+2、时,函数/(x)为减函数；令/7x)＞0,解得-J-+2k＜x＜』r+21,函数/(x)为增函数.所以函数/(x)的单调减区间为(-a),女),(%,-42+2%),(JF6,+8),函数/(x)的单调增区间为(-1公+2人1公+24). 9分(III)(1)当-2WAW0时，由(H)问可知，函数/(x)在(、回,2&)上为减函数,所以不存在极值点；(2)当左＜一2时，由(H)可知，/(x)在(-JF=,JF=)上为增函数，在(42+2%,+00)上为减函数.若函数/(x)在区间(A2V2)上存在极值点，则G＜“2+2/＜20,解得T＜《＜-3或1＜%＜2,所以一4＜女＜一3.综上所述，当-4〈人＜-3时，函数/(x)在区间(内,2夜)上存在极值点.【练1-8](2015-2016东城期末理19)已知函数/(x)=5--a(x-lnx).x(I)当4=1时，试求/(X)在(1,7。))处的切线方程；(II)当a40时，试求/(x)的单调区间；(HI)若/(x)在(0,1)内有极值，试求a的取值范围.【答案】(I)当a=l时，/(x)=^-^-l+-,/(1)=0,/(l)=e-l.X X方程为y=e-l.(II)f'(x)=e*(x”—a(l-1)=e'(xl),ax(xT),X X X(eA-ax)(x-l)

=---当a40时，对于Vxw(0,+8),e*-ax>0恒成立，所以/(x)>0=>X>1； /(x)<0=0<x<10.所以单调增区间为(1,+8),单调减区间为(0,1).(III)若/(X)在(0,1)内有极值，则/'(X)在xe(0,l)内有解...、(el—ux)(x—1)-x„e'令= ? -=0ne-ax=0=>a=—.x x设g(x)=Jxw(0,l),X所以g(x)=-(^1).当xe(0,1)时，g'(x)<0恒成立，X所以g(x)单调递减.又因为g(l)=e,又当x->0时，g(x)->+oo,即g(x)在xe(0,1)上的值域为(e,+oo),所以当a>e时，/'(x)=上“？曰)二0有解X设“(X)=e*-or,则H'(x)=ex-a<0xg(0,1),所以H(x)在xw(0,l)单调递减.因为〃(0)=l>0,〃(l)=e-a<0,所以"(x)=e*-or在xe(0,1)有唯一解x0.所以有：X(。⑷%("H(x)+0一/(x)—0+f(x)递减极小值递增所以当a>e时，/(x)在(0,1)内有极值且唯一.当aWe时，当xe(0,1)时，/(X)20恒成立，/(x)单调递增，不成立.综上，。的取值范围为(e,+00).a—2【练1-9](2015-2016大兴期末理18)已知函数/'(x)=ax+ +2-2a(a>0).x(I)当。=1时，求函数/(x)在点(2,7(2))处的切线方程;(11)求函数/(x)的单调区间;(H1)若/(x)》21nx在[1,+oo)上恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)当a=l时，f(x)=x--,八x)=l+1X X3 5/(2)=pr(2)=-5所以，函数f(x)在点(2,/(2))处的切线方程为y--=^(x-2)即：5x-4y-4=0(II)函数的定义域为：{x|xwO}//、a—2ax2+(2—a)八f(x)=a———= W~~"(«>0)x x当0<aW2时，/(x)20恒成立，所以，/(x)在(-00,0)和(0,+8)上单调递增当。>2时，令/(x)=0,即：ax2+2-a=0,/(x)>0,x>工2或^<再；/(x)<0,Xj<x<0或0<x<x2919/243所以，/（x）单调递增区间为（-00 T）和（仁2,+O0）,单调减区间为（-、巴±0）和（0，、住工）.—2(III)因为/(x)221nx在［1,+8)上恒成立，有OX+——+2-2a-21nx>0(a>0)x在［L+00)上恒成立。a—2.月r以，令g(x)=or+ +2—221nx,, xe，/、tz-22qx^—2x—+2(x—DEtzv+((?—2)1贝ljg(x)=4——力 = ; =-——Jy2——-.XX X X令g'(x)=0,贝ljX1=l,x2=a若-幺2=1,即。=1时，g'(x)>0,函数g(x)在［l,+oo)上单调递增，又g(l)=0a所以，/(对22山》在［1,+<»)上恒成立；若-纥2>1,即时，当》€(0,1),(-纥2,+00)时，g'(x)>o,g(x)单调递增；a a4—2 । ,当X£(l, )时，g(x)<0,g(x)单调递减aZ7—2所以，g(x)在［1,+8)上的最小值为g(一~),a4—2因为g(l)=0,所以g(—^^—)<0不合题意.a v1,即〃>1时，当xw(0,-^ ),(1,+8)时，g(x)>0,g(x)单调递增，a a4—2 ।当xw( ,1)时，g(x)<0,g(x)单调递减，a所以，g(X)在［1,+8)上的最小值为g(l)又因为g⑴=0,所以/(x)N21nx恒成立综上知，。的取值范围是［1,+8).考点二、已知函数单调求参数范围；【例2-1】(2015-2016石景山期末文20)已知函数(I)若/(x)在x=I处取得极小值，求机的值：(11)若/(X)在区间(2,+8)为增函数，求机的取值范围：(III)在(H)的条件下,函数〃(x)=/(x)-g(x)有三个零点，求加的取值范围.【答案】(I)f'(x)=x2-(w+l)x由/(x)在x=1处取得极大值，得/,(l)=l-(w+l)=0,所以加=0(经检验适合题意)(IDf\x)=V-(m+l)x,因为/(x)在区间(2,内)为增函数，所以x2一(加+1)X=、(%一加一1)20在区间(2,+8)恒成立，所以x(x-掰-1)20恒成立,即〃?Vx-1恒成立,由于x>2,得mWl.所以〃2的取值范围是〃2W1.加+12 1 x~+nvc—加+12 1 x~+nvc—2 3故—(zw+l)x+/n=(x-1)(》一加)=0,得》=〃？或x=l当胴=1时，h\x)=(x-l)2>0,h(x)在R上是增函数，显然不合题意.当胆<1时，/(x),/'(x)随x的变化情况如下表:X(一8,加)m(加,1)1(1,+00)力(X)+0—0+“(X)/极大值1 3 1 2 1—m+—m'——6 2 3E,，4)2—1极小值 2/13 121n——m+—m――>0要使/(x)-g(x)有三个零点，故需I6 2 3,旦0I2nn((m-l)(m2-2m-2)<0 ,三即｛ ,解得〃zvl—>/3m<1所以加的取值范围是加<i-Vi.7x【例2-2】(2015-2016朝阳期中文19)已知函数/(x)=alnx+3•一(a+l)x,aeR.(I)若函数/(x)在区间。,3)上单调递减，求。的取值范围；(II)当。=-1时，证明/(x)zg.【答案】(1)函数的定义域为(0,+8).mr，,、a x2—(a+l)x+a(x—l)(x—a)TOC\o"1-5"\h\z因为/'(x)=_+x_(a+l)= = .\o"CurrentDocument"X X X又因为函数/(X)在(1,3)单调减，所以不等式(x-l)(x-a)40在(1,3)上成立.设g(x)=(x-l)(x-a),则g(3)40,即9-3(a+l)+a«0即可，解得aN3.所以。的取值范围是［3,+8).(II)当。=-1时，/(x)=—Inx+ ,f1(X+1)(X—1)令/'(不)=0，得x=l或工=一1(舍).当X变化时，/(x),/'(x)变化情况如下表:X(0,1)1(l,+oo)f'M—0+/(x)极小值T所以X=1时，函数/(X)的最小值为/(l)=p/(x)W

所以2成立.【练2-1］(2015-2016海淀期中文18)已知函数/(x)=+x?+ax+1.(I)若曲线y=/(x)在点(0,1)处切线的斜率为-3,求函数/(x)的单调区间:(II)若函数/(x)在区间［-2,刈上单调递增，求a的取值范围.【答案】(I)因为/(0)=1,所以曲线y=/(x)经过点(0,1),又f\x)=x2+2x+a,所以/(0)=a=-3,所以/'(x)=x2+2x-3.当x变化时，/'(x),/(x)的变化情况如下表X(-00,-3)-3(-3,1)1(L+oo)/V)+0—0+/(X)T极大值极小值T所以函数/(x)的单调递增区间为(一8,-3),(l,+oo),单调递减区间为(-3,1) .因为函数/(x)在区间［-2,0上单调递增，所以r(x)20对xe［—2,a］成立，只要r(x)=/+2X+。在［-2,a］上的最小值大于等于0即可.因为函数/。0=/+2》+。20的对称轴为》=一1,当一2<aW-1时，/'(%)在［-2,a］上的最小值为了'(a)，解/'(。)=«2+3。20,得a20或a4一3,所以此种情形不成立当一1<。时，/'(X)在［-2,刈上的最小值为了'(—1),解/，(一l)=l-2+aN0得a?l,所以aNl,综上，实数°的取值范围是a21.【练2-2](2015-2016丰台一模文19)已知函数/(X)=£/一工一比工(1)求曲线C：y=/(x)在X=1处的切线/的方程；(2)若函数/(X)在定义域内是单调函数，求加的取值范围；(3)当时，(1)中的直线/与曲线C：歹=/(x)有且只有一个公共点，求加的取值范围。【答案】⑴由已知得，切点坐标为[段一1), = =所以切线方程为(“一2八一尸(5—1)=0(2)由已知得，函数的定义域为(0,+8)f\x)=mx-\--,又因为函数在定义域中是单调函数，所以有/'(x)>0恒成立或者Xra)<o恒成立1、当/'(x)>0恒成立时，即如一1一！>0恒成立,TOC\o"1-5"\h\zX+1 X+1加〉一丁恒成立，即加大于一一的最大值X X"V*J-1 -y—0令g(x)=-J-'X€(0,+oo),有g(x)=-7—<0X X所以g(x)在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在m满足条件。2、当/'(x)<0恒成立时，即机工一1-,<0恒成立，Xy+1 x4-1加<J恒成立，即加小于「-的最小值X 厂由上种情况可知，g(x)单调递减，但恒有g(x)>0,因此加的取值范围为(to,0](3)当〃?>一1时，(1)中的直线/与曲线C：y=/(x)有且只有一个公共点万一1)=5》2-》一111》只有一个根，令〃(x)=gx?+(1-m)x-lnx+(l-£•),xe(0,+oo),有〃(x)只有一个零点„ 、1(wx+l)(x-l)h(x)=mx+(\-m)——= ,xx1、当m=0时，/?^)=1--=—,人(x)在(0,1)单调递减，在(1,+8)单调递增，在人⑴XX取得最小值2,大于0因此/z(x)恒大于0,所以％=0舍去2、当me(-1,0)时，解得芭=1,x2= e(L+oo)X(01)1mf'M-0十0-f(x)减极小值增极大值减易知力(1)=2-加>0，而当xf+8时，7z(x)<0,所以/z(x)在(1),+8只存在一个零点。3、当znG(0,+oo)时，解得玉=1,x2=--e(-oo,0)mX(0,1)1(L+00)/'(X)-0+f(x)减极小值增当x-0时，h(x)>0,所以若〃(x)只有一个零点，必须有人(1)=0即2—"7=0,m=2综上所述，加的取值范围为"2=2和(一1,0)【练2-3］(2015-2016朝阳期末理18)已知函数/(x)=ox+lnx,其中a€R.(I)若/(x)在区间［1,2］上为增函数，求a的取值范围；(II)当。=-e时，(i)证明：/(x)+2<0；(ii)试判断方程|/(x)|=匣+g是否有实数解，并说明理由.【答案】函数/(x)定义域xe(0,+8),f\x)=a+-.X(I)因为在区间[1,2]上为增函数，所以/'(x)NO在xw[l,2]上恒成立，TOC\o"1-5"\h\z即f\x)=a+—>0,a>——在xw[l,2]上恒成立，X X则a>——.2—ex?+1(II)当。二一e时,/(x)=-ex+lnx,/r(x)= .x(i)令f\x)=0,得x='.c令/'(x)>0,得Xe(0」)，所以函数/'(x)在(0,)单调递增.e e令/'(x)<0,得X£(1,王»)»所以函数/(x)在(L4-00)单调递减.e e所以，/(幻皿=/(1)=、、1/=一2・eee所以/(x)+240成立.(ii)由(i)知，/(x)a=-2,所以|/(x)|N2.设g(x)=LZ+],xe(0,+«>).所以g'(x)=^~学.X2 x令g'(X)=0,得工=6.令g'(x)>0,得xw(0,e),所以函数g(x)在(o,e)单调递增，令g'(x)<0,得xe(e,+8),所以函数g(x)在(e,+8)单调递减;所以,gW™x=？(e)=—+^=-+1<21即g(x)<2.e2e2所以l/(x)l>g(x)，BP|/(x)|>—+^.x2所以，方程|/。)|=也+1没有实数解.x2【练2-4](2015-2016海淀期中理18)已知函数/(x)= +x?+办+1,曲线y=/(x)在点(0,1)处的切线为/.(I)若直线/的斜率为-3,求函数/(x)的单调区间；(II)若函数/(x)是区间［-2,句上的单调函数，求4的取值范围.【答案】(I)/'(x)=x2+2x+a(xG/?)因为直线/的斜率为-3所以/'(0)=a=-3所以/'(x)=x2+2x-3所以/'(x)=(x+3)(x-l)令尸(x)=0解得=-3x2=l所以当xe(—8,—3)和xe(l,+oo)时，/'(x)>0当xw(-3,l)时，/,(x)<0所以/(x)的单调增区间为(-8,-3)和(1,+8),单调减区间为(一3,1)(II)要使/(x)在［-2,可上单调只需/(x)40或/(x)NO在［-2,可恒成立a>-2 a>-2(1)/(x)40在［-2,同恒成立等价于</(一2)40,即卜40/,(a)<0 ［a2+3a<0解得一2<aW0(2)/(x)20在［-2,a］恒成立，当一2<。4—1时，/'(a)>0,即/+3。20,解得。4一3(舍)或aNO(舍)当。>一1时，/'(-1)>0,即1-2+。20,解得综上所述(一2,0］11［1,+8)考点三、已知函数不单调求参数范围；【例3-1]已知函数/(x)=-x3-ax2+(a2-1)x4-6(a,b£R).当。。0时，若/(x)在区间上不单调，求。的取值范围.【答案】解法一：/(X)=-—2qx+(q2-1)=[x-(a-l)Ix-(fl4-l)]令/'(x)=。,解得项=a—=。+1,Xj<x2X(-00,4-1)a-\(a-1,a+1)a+1(a+1,+oo)g(x)+0—0+f'(x)+0—0+f(x)/极大值极小值/因为/(x)在区间(-1,1)上不单调，所以/(工)区间(-1,1)上存在极值点，所以一1<%]<1,或一1<工2<1即—1<。—1<1,或—所以0<a<2或一2<。<0••.ae(-2,0)U(0,+2).解法二：；/(x)=x2-lax+(a2-1)=[x-(a-l)[x-(a+1)]因为函数/(x)在区间不单调，所以函数/'(X)在上存在零点.令/'(x)=。，解得* =。+1，区间长为2，，在区间(一1,1)上不可能有2个零点.所以/'(T)/'(D<0即：a2(a+2)(a-2)<0Va2>0,(a+2)(dz-2)<0,-2<n<2

/.ae(-2,0)U(0,+2).【例3-2】已知函数g(x)=alnx-x2+ax(a>0),若y=g(x)在区间(0,2)上不单调，求a的取值范围【答案】2求g,(X)=2x+a<+a,所以根据题意知g，(x)在(0,2)上的符号有正有负，结合二次函数图象X即可求得a的取值范围.2解：g'(x)^-2x+a=-2x+ax+ax xVg(x)在(0,2)上不单调；若设f(x)=-2x2+ax+a,若设f(x)=-2x2+ax+a,则f(x)Af(0)f(2)=a(-8+3a)<0,解得0<4<亨；•••a的取值范围为(0,1).在(0,2)上有正有一负;%0)=。<0{2)=-8+3。<0或，0<-<2

4-8考点四、已知函数存在单调区间求参数范围；【例4-1】设函数/(x)=lnx+(x-a)2,"R.若函数/(x)在［；,2］上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围.【答案】解法一：f\x)=-+2(x-a)=2^2-+1X X设g(x)=2x2-2ax+1,依题意，在区间［；,2］上存在子区间使得不等式g(x)>0成立.注意到抛物线g(x)=2x2-2ax+l开口向上，所以只要g(2)>0,或g(g)>0即可由g(2)>0,即8—4〃+1>0,1 1 3由g(5)>o,即/一q+i>o,得Q<］,9所以49所以实数Q的取值范围是(-8,-).解法二：f\x)=-+2(x-a)=2x~-2ax+l,X X依题意得，在区间g,2］上存在子区间使不等式2》2一2以+1>0成立.又因为x>0,所以2a<(2x+‘).X设g(x)=2x+1，所以2a小于函数g(x)在区间日，2］的最大值.x 2又因为g'(X)=2--y,TOC\o"1-5"\h\zi J2由g'(x)=2--^>0解得x>:x 2由g'(x)=2--1<0解得0<x<坐.x 2所以函数g(x)在区间(乎，2)上递增，在区间(g,孝)上递减.所以函数g(x)在x=；,或x=2处取得最大值.9 1 9 9又g(2)=e,g(])=3,所以2a<],a<-所以实数a的取值范围是(一8,-).4【例4-2】(2010-20H朝阳二模理18)设函数/(x)=lnx+(x-a)2,aeR.(I)若。=0,求函数/(X)在b，e】上的最小值；〃、2］(II)若函数J。)在2上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围；【答案】<I)f(x)的定义域为<0,+00).因为/'(x)=L+2x>0,所以f(x)在［1,ej上是增函数，由此X能求出f(x)在［1,e］上的最小值.TOC\o"1-5"\h\z(H)法：/(x)=l+2(x-a)=2v；~2aT+1,设g(x)=2x?-2ax+l,则在M间［［2］上存在上区X X 2间使得不等式g(x)>0成立.由抛物线g(x)=2x?-2ax+l开U向h.所以只要g(2)>0,或g(1)>0即可.由此能求出实数a的取俶范闱.法：：/(x)=L+2(x-a)=N!3Ltl,则在区间金，2］上存在子区间使不等式2x2-2ax+l>0成x x 2因为x>0,所以2a<(2x+‘).设g<x)=2x+-,所以2a小广函数g(x)在区间4，2］的最大值.由x x 2此能求出实数a的取值范围.(UI)因为/Xx)=E^iiL,令h(x)=2x?-2ax+I.由aSO,a>0及判别式△的符号分别进行讨X论，求解函数f(X)的极值点.解：(I)f(x)的定义域为(0,+00)....(1分)因为外大)=雪2》>0,X所以f(x)在［1,e］上是增函数，当x=l时，f(x)取得最小值f(1)=1.所以f(x)在［1,e］上的最小值为1.…(3分)(H)解法一：/(x)=-+2(x-a)=2v~2^vlX X设g(x)=2x2-2ax+l,...(4分)依题意，在区间［；，2］匕存在门Xf可使得不等式g(x)>0成比.…(5分)注意到抛物线g(x)=2x2・2ax+l开口向上,所以只要g(2)>0,或g(；)>0即可.…(6分)9由g(2)>0,即8・4a+l>0,得。<甲1 1 3由g号)>0,即，一一+1>0,得aV：,9所以aV1，4o所以实数a的取值范闱是(一8,y)....(8分)解法二，/(r)='+2(x-a)=2x2-2ax+l,…《分)x X依题意得，2］上存在/区间使不等式2x2-2ax+l>0成;，：.又因为x>0,所以2a<(2x+!).…(5分)X设g(x)=2x+L所以2a小于函数g(x)在区间d，2］的最大值.TOC\o"1-5"\h\zx 2又因为g'(x)=2一;，由g'(x)=2-；>0,解得x>£；xz 2山g，(x)=2-；<0,解得0<x(坐.x2 2所以函数g(X)在区间(孝.2)1:递增，在区间(白 当)h递减.所以函数g(x)(f.x=y,或x=2处取得最大值.Q1 一 QQ又g(2)=(，g(g)=3,所以2aV、a<Z2 2. 2. 4所以实数a的取值范用是(-8,当.…(8分)(m)因为#(x)=2x--2ax+l,令h(x)=2x2-2ax+lx①显然，当”0时，在〈0，+oo)上h(x)>0恒成立，这时f(x)>0,此时，函数f(x)没有极值点； …(9分)②当a>0时，(i)当△'(),即0〈r旧时，在(0,+oo)上h(x)20恒成立，这时r(x)>0,此时，函数f(x)没有极值点；…(10分)(ii)当△>(),即■时，易知，当W-2<yVW-2时.TOC\o"1-5"\h\z2 2h(x)<0,这时f*(x)<0；当0VxV。、a-2或「>〃、° 时,2 2h(x)>0,这时F(x)>0；所以，当a>「时，x="1『-2是函数f(x)的极大值点；a+是函数f(X)的极小值点.…(12分)综匕当aW0时，函数f(x)没有极值点；当时，x=’是函数f(x)的极大值点；x 2是函数f(x)的极小值点.…(13分)【练4-1】已知函数/(》)=鼻+——x,meR.函数/(x)在(2,+8)上存在单调递增区间，求机的取值范围.【答案f\x)=mx2+2x-11°当加=0时，/*(%)=2x-l令/'(x)=2x-l=0,解得x=5X21(/,+8)/'(X)一0+/(X)极小值则/(x)在(2,+8)上单调递增区间，满足题意.2°当mH0时A=4+47»°当AKO,即mW-l时，/,(x)<0,/(x)在R上单调递减(舍)°当A〉。，即加>一1,且mwO时4-f'(x)=mx2+2x-1=0,解得：X]=T-Jm+1, _-1+Vm-H22T当加>0时,X]<x2X（-8,内）a,乙）X?(x2,+<»)/'（X）+0—0+/（X）/极大值极小值/则/（X）在（2,+8）上单调递增区间，满足题意2.2.2°当一1<〃?<0时，x2<xtX（一8,西）x2。2，苞）X](x2,+oo)/'（X）—0+0—/（X）极小值极大值要使/（x）在（2,+8）上存在单调递增区间,

则玉＞2,即一1-加+1＞2,解得一3＜相＜0m 43所以——v加＜04综上所述得：加的取值范围为：(一：，+8)解法二：f\x)-mx1+2x-l/.(x)在(2,+8)上存在单调递增区间等价于在(2,+8)存在区间使1—2x/*(x)=mx2+2x-l>0成立，即存在配使加>—z—成立x1-2r

设力(工)=^^

Xc 1 3当x>2时，0<x<5，——<A(x)<03贝ijm>——4所以，加的取值范围为：(~1,+oo考点五、两个函数在具有相同的单调性求参数范围；【例5-1】(2012-2013西城一模文18)已知函数f(x)=ev+ax,g(x)=ax-lnx，其中a40.(I)求/(x)的极值；(H)若存在区间M,使/(x)和g(x)在区间M上具有相同的单调性，求a的取值范围.TOC\o"1-5"\h\z【答案】(I)/(x)的定义域为R,且f'(x)=ex+a 2分①当a=0时，f(x)=ex,故/(x)在R上单调递增.从而/(x)没有极大值，也没有极小值. 4分②当a<0时，令/'(x)=0,得x=ln(—a)./(x)和/'(x)的情况如下：X(-00,ln(-a))ln(-a)(ln(-a),+oo)/'(幻一0+fW\/TOC\o"1-5"\h\z故/(x)的单调减区间为(―8/n(—a))：单调增区间为(ln(—a),+8).从而/(x)的极小值为f(ln(-a))=-a+aln(-a)；没有极大值 6分/7Y—1(0)解：g(x)的定义域为(0,+8),且g'(x)=a-2 8分XX③当a=0时，/(x)在R上单调递增，g(x)在(0,+8)上单调递减，不合题意. 9分④当。<0时，gr(x)<0,g(x)在(0,+8)上单调递减.当一1Wq<0时，In(-a)K0,此时/(x)在(In(-a),+8)上单调递增，由于g(x)在(0,+8)上单调递减，不合题意 11分当。<一1时，ln(-a)>0,此时/(x)在(一oo,ln(-a))上单调递减，由于/(x)在(0,+8)上单调递减，符合题意.综上，a的取值范围是 13分【例5-2】已知函数/(x)=ax-lnx,g(x)=em+3x,其中aeR.若存在区间A/,使/(x)和g(x)在区间M上具有相同的单调性，求a的取值范围.【答案】/(x)的定义域为(0,+8),/3)=竺」X当aSO,/(x)在(0,+oo)单调递减，当a>0时，/(x)在(0,J)单调递减，(J,+8)单调递增，g(x)的定义域为R，且g/(x)=aeax+3.当a>0时，显然g'(x)〉0,从而g(x)在R上单调递增.此时/(x)在(L,+oo)上单调递增，符合题意.a当a=0时，g(x)在R上单调递增，/(x)在(0,+8)上单调递减，不合题意.当a<0时，令g'(x)=0,得x(,=L]n(一-).aag(x)和g'(x)的情况如下表:X(-0°,Xo)X。(%,+8)g'(x)—0+g(x)/当-3Va<0时，x0<0,此时g(x)在(X。,+8)上单调递增，由于/(x)在(0,+8)上单调递减，不合题意.当。<一3时，x0>0,此时g(x)在)上单调递减，由于/(x)在(0,+8)上单调递减，符合题意.综上，a的取值范围是(-8,-3)11(0,+8).导数专题二、极值问题【知识结构】一、函数的极值定义函数/（X）在点X。附近有定义，如果对X。附近的所有点都有〃X）＜/（Xo）,则称/（X。）是函数的一个极大值，记作如大值=/Xx。）；如果对X。附近的所有点都有“X）＞/（%）,则称/（X。）是函数的一个极小值，记作y极小值可'（X。）.极大值与极小值统称为极值，称X。为极值点.极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点.极值点出现在函数的驻点（导数为0的点）或不可导点处（导函数不存在，也可以取得极值，此时驻点不存在）。可导函数/（X）的极值点必定是它的驻点。但是反过来，函数的驻点却不一定是极值点,例如y=x3,点（0,0）是它的驻点，却不是它的极值点。极值点上/（X）的导数为零或不存在，且函数的单调性必然变化。极值问题主要建立在分类讨论的基础上，二、求函数的极值点和极值注意事项：.求极值或极值点，必须点明是极大还是极小。若没有另一个，耍说明没有。.要知道如何判断是否存在极值或者极值点。.如果己知极值或者极值点，求参数的时候，最后结果需要检验。.极值点是导函数的根，如果有两个根，要在合适的时候想到伟达定理。三、求函数极值的三个基本步骤第一步、求导数/'（X）；第二步、求方程ra）=o的所有实数根：第三步、考察在每个根X。附近，从左到右，导函数/'（X）的符号如何变化.如果/''（X）的符号由正变负，则/（X。）是极大值；如果由负变正，则/（%）是极小值.如果在/'（x）=o的根=%的左右侧，/'(幻的符号不变，则/(%)不是极值.【考点分类】考点一、分类讨论求函数极值(点)；1—X【例1-1](2015-2016海淀一模文19)已知函数/(x)=——.ex(1)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；(II)求函数/(x)的零点和极值；(HI)若对任意x，X2G都有/(占)一/(》2)2-《成立，求实数a的最小值.e"・.上、ru、~€x—ex(\~x)x—2【答案】f\x)= 5——-= J©)2y(1)设切线斜率为攵，所以)1=/，(0)=-2,/(0)=]=1,所以曲线夕=/(x)在点(0,1)e处的切线方程为y-l=-2x,即2x+y-l=0。(H)令/(x)=0,解得x=l。当x<l时，/(%)>0；x>l时，/(%)<0,所以函数/(x)零点有且只有一个，为1.令/，(x)=0,即土匚=0解得x=2。当x<2时，/'U)<0：当x>2时，f\x)>0,ex所以函数/(x)在x=2处取得极小值/(2)=—4,无极大值。小(III)由(II)知，当X<1时，/(x)>。；X>1时，f(x)<0,且/(X)在(-8,2)上单调递减，在(2,+oo)上单调递增，所以/(x)在工=2处取得最小值/(2)=一《。且/(I)=0。e、 ， ° ° 1 八 1Vxpx2e[a,+oo),/(^)-/(^2)>/(2)-/(x)max=--7一/⑶鹏之一-7，所以只需e e/(对240。所以所以a的最小值为1。【例1-2】(2010-2011朝阳二模理18)设函数/(x)=lnx+(x-a)2,a&R.(I)若a=。，求函数/(X)在6e]上的最小值;“、[-，2](II)若函数J")在2上存在单调递增区间，试求实数口的取值范围；（III）求函数/（x）的极值点.【答案】TOC\o"1-5"\h\z解：（1）/（工）的定义域为（0,+8）. 1分因为广（H）=十+2工>0,所以&）在“,<|上是增函数，当*=1时人工）取得最小值CD=1.所以在U,e］上的最小值为1. 3分/>,,、 1 «/ 、2xJ-2ax+1（口）解法一：/（«）=—+2（x-a）= x *设g（H）=2?_2ax+l, 一・4 分依题意，在区间上存在子区间使得不等式晨*）>。成立• 5分注意到抛物线g⑷=2--2©+1开口向上，所以只要g⑵>0,或g《）>°即可 6 分由g（2）>0,即8—>0,得由g（；）>0,即:-。+1>0,得。<夕,所以所以实数a的取值范围是（-8/）. TOC\o"1-5"\h\z解法二J+2（…-”1, 4分X X依题意得,在区间［纭2］上存在子区间使不等式2/-2a»+l>。成立•又因为">0,所以2a<（加+｝）. 5分设g⑷=2x+9,所以2a小于函数g（x）在区间［*,2］的最大值.又因为g'（h）=2-p-,由g'（"）=2-%>0解得多由g'(x)=2-当<0解得0<工<§X Z所以函数g(z)在区间(孝,2)上递增，在区间(亨,亭)上递减.所以函数g(x)在*=会或工=2处取得最大值.又g(2)=%(•1•)=3,所以2a0,a0所以实数a的取值范围是(-8帝. 8分(HI)因为尸(工)=2/一'+1,令Mw)=2?-2ax+l①显然，当aWO时，在(0,+8)上八(工)>0恒成立J，(z)>0,此时，函数f(H)没有极值点； 9分②当a>0时，TOC\o"1-5"\h\z⑴当AWO,即0<aW々■时，在(0,+8)上Mx)》。恒成立，这时/1，(工)、。,此时，函数/(h)没有极值点； 10分(ii)当4>0时，即Q>&时，易知，当匕孕三<工<“彳=2时,Mz)<0,这时/'(工)<0；当0<工<5-^^或时,g)>0,这时广(工)>0；所以，当a>卷时,工=纥岑三是函数/W的极大值点;h=叱等三是函如”)的极小值点. 12分综上，当a矣&时，函数/(%)没有极值点；当a>&时占=°-行方是函数/(工)的极大值点”=山圣三是函数/(，)的极小值点. 13分考点二、已知函数极值(点)情况求参数范围；k4x【例2・1](2052016朝阳一模文19)已知函数/(x)=--«ex(iteR).k-x(1)若％=1,求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；(II)求函数/(x)的单调区间：(III)设ZW0,若函数/(x)在区间(6,20)上存在极值点，求左的取值范围.【答案】(I)若左=1,函数/(x)的定义域为/'(x)=e；(3_£)则曲线y=/(x)在点(0,/(0))处切线的斜率为/'(0)=3.而/(0)=1,则曲线y=/(x)在点(0,/(0))处切线的方程为y=3x+l(n)函数/(x)的定义域为"卜力左｝, 尸(1)当左>0时，由且此时+2(>k,可得一J*+2左<k<收+2k.令/'(x)<0,解得x<-+2。或x> +2左,函数/(x)为减函数：令/'(x)>0,解得-收+2k<x<"2+2k,但xh%,所以当一J左2+2k<x<k,左<x<J尸+2、时,函数/(x)也为增函数.所以函数/(x)的单调减区间为(-8,-yjk2+2k),UH+2k,+s),单调增区间为(-J/+2匕k),gk—k).(2)当左=0时，函数/(x)的单调减区间为(-8,0),(0,+oo).当左=一2时，函数/(x)的单调减区间为(-8,-2),(-2,+oo).当一2<女<0时，由2%+公<0,所以函数/(x)的单调减区间为(-oo,Q,(左,+8).即当—2WZW0时，函数/(x)的单调减区间为(-8,〃)，(%,+oo).(3)当％<-2时，此时-42+22>〃.令/'(x)<0,解得x<-42+2k或x>jF+2%,但xh%,所以当x(人，k<x<->]k2+2k,x>'k'+2k时,函数/(x)为减函数；令/'(x)>0,解得一J-2+2%<x<Jk2+2左,函数/(x)为增函数.所以函数/(X)的单调减区间为(-8,%),(%,-42+2左),(42+2%,+00),函数/(x)的单调增区间为(-"2+2鼠”2+2%) 9分(III)(1)当一2VAW0时，由(H)问可知，函数/(x)在(百,2拉)上为减函数，所以不存在极值点；(2)当后<一2时，由(H)可知，/(x)在(-+2%,“2+24)上为增函数,在(J左2+2(+00)上为减函数.若函数f(x)在区间(6,2a)上存在极值点，则由<yjk2+2k<2V2,解得-4<左<一3或1<%<2,所以T<%<-3.综上所述，当-4<%<-3时，函数/&)在区间(百,2夜)上存在极值点.【例2-2](2015-2016东城期末理19)已知函数f(x)=---a(x-lnx).X(I)当4=1时，试求/*)在(1,/。))处的切线方程；(II)当a40时，试求/(x)的单调区间；(HI)若/(x)在(0,1)内有极值，试求a的取值范围.【答案】(I)当a=l时，//(x)=^=-^-l+-,/(1)=0,/(l)=e-l.TOC\o"1-5"\h\zX X方程为V=e-l.(II)f\x)=e:(xT)—a(i_L)=小1)丁。1),X X X(eA-ax)(x-l)

= ^2 ”当aWO时，对于Vxw(0,+8),e”—ax>0恒成立，所以/(x)>02=>x>l； /(x)<0n0<x<10.所以单调增区间为a+8),单调减区间为(0,1).(Ill)若/(x)在(0」)内有极值，则/(%)在xw(01)内有解.a，，/、(eA—ar)(x—1)Axne'令/(x)= =0ne-ax=0=>q=—.x x设g(x)=jXG(O,1),X所以g,(x)=e'(xl),当(0,1)时，g'(x)<0恒成立,x所以g(x)单调递减.又因为g(l)=e,又当x->0时，g(x)->+00,即g(x)在xe(0,1)上的值域为(e,+oo),所以当a>e时，/''(》)=竺1竺上匚D=o有解.厂设"(X)=e*—ox,则H'(x)=ex-a<0xe(0,1),所以”(x)在xe(0,1)单调递减.因为〃(0)=1>0,//(l)=e-a<0,所以"(x)=e’一ox在xe(0,1)有唯一解x0.所以有：X(O,x(j)Xo("H(x)+0一/(x)—0十/(x)递减极小值递增所以当a>e时，/(x)在(0,1)内有极值且唯一.当aWe时，当xe(0,1)时，/"(x)NO恒成立，/(x)单调递增，不成立.综上，a的取值范围为(e,+00).【练2-1](2015-2016房山二模理18)已知函数/(x)=与-(。工0)(I)当a=l时，求函数/(x)的单调区间：2(H)设g(x)=/(x)——Inx,若g(x)在区间(0,2)上有两个极值点，求实数a的取值范围。【答案】(I)当a=l时，〃x)=W定义域为(tQ,0)u(0,+qo)、x2ex-2xexexx(x-2]f(x)= = ~'令/'(x)=0，得x=2X(F,0)(0,2)2(2,+oo)/(x)+一0+/(X)递增递减极小值递增g(x)=/(x)---lnx ■—--Inx.xe(0,2)xxzX(x-2)(aex-x)S(》)= p 因为xe(O,2)所以令g'(x)=O,只需ae'-x=O设〃(x)=aex—x,若g(x)在区间(0,2)上有两个极值点，则〃(x)=-x在区间(0,2)上有两个零点"(x)=aex—1要使〃(x)=ae'-x在区间(0,2)上有两个零点，力'(x)=0的唯一根必须在区间(0,2)所以令〃'(x)=0，得x=ln—,且Q>00<ln-<2a<A(0)=a-l>0(1A ini1h\In—=aea-In—<0\a) aA(2)=ae 1 1解得：-<a<-e2 e【练2・2】已知函数= 一((加+3卜2+(加+6)%，xeR(加为常数).若函数y=/(x)在区间(1,+8)上有两个极值点，求实数”的取值范围.【答案】/'(x)=x2-(m+3)x+(m+6)A=(w+3)2-6(w+6)>07724-3由题意可知｛ >1 ,解得加>32/,(1)>0所以，实数机的取值范围为(3,+8).【练2-3】已知函数/(x)=^x3+ox2+4x+A,其中R且aHO.若函数/(x)在区间(-U)上有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围.【答案】•••/(X)在(-1,1)上有且仅有一个极值点，/〈X)=x?+2"+4在(-1,1)上有且仅有一个异号零点，由二次函数图象性质可得/'(-1)/'(1)<0，5 5即(5—2q)(5+2q)<0,解得或。<一］,综上，a的取值范围是(-oo,-$U(|,+oo).【练2-4】已知函数〃x)=gx3+ar2+4x+b,其中a,beR且axO.(I)求证：函数〃x)在点(0,7(0))处的切线与/(x)总有两个不同的公共点；(II)若函数〃x)在区间(-LD上有且仅有一个极值点，求实数。的取值范围.【答案】(I)由己知可得小)=父+2办+4・.••/,(0)=4,又〃0)=b「./(X)在x=0处的切线方程为y=4x+〃.令”+0?+4工+6=4工+6,整理得(x+3a)f=0.3..x=0或x=-3a,。。0 /.-3a*0,.•./(X)与切线有两个不同的公共点. -7分(H)•••/(X)在(-1,1)上有且仅有一个极值点，_T(x)=/+2以+4在(-1,1)上有且仅有一个异号零点，由二次函数图象性质可得/'(-i)/'(i)<o-5 5即(5—2a)(5+2a)<0,解得a>,或a<—5,综上，a的取值范围是（yo,-2）U（』,*»）.【练2-5]（2013-2014海淀二模文18）已知函数/（x）=^x3+ax2+4x+b,其中a,beR且aw0.（I）求证：函数/（x）在点（0,7（0））处的切线与/（x）总有两个不同的公共点;（II）若函数/a）在区间（-1,1）上有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围.TOC\o"1-5"\h\z【答案】（I）由已知可得/'（x）=x2+2ax+4. 1分.'./'（0）=4, 2分又/（。）=6.,./（%）在1=0处的切线方程为》=4工+6. 4分令一丁+苏+4x+b=4x+b,整理得（工+3。）工2=0.3x=0或x=-3a, 5分。60 /