微积分二教学-商务数学线代

一 行列首先来看行列式概念的形问题的提出 求解二、三元线性方程引二阶、三阶行列一 二阶与三阶行列二阶行列二元线性方程组a

由消元法，a×(1),a

aa

a

a

(4)-(3)

a12a21

同理，

ïïaax

a12a22x2a x

ab

(6)-(7)

a12a21

于是

a21

时，方程组有唯一

a12a21

a12a21

b a abbx x 1212

b a abbx x 1212

为便 ，引进记

DD

称记

为二阶行列

aij

称为元i为行标，表明元素位于第ij为列标，表明元素位于第j注：(1)二阶行列

算出来是一个数 方法：对 主对角线上两 积－副对角线上两 xb

a

1

11

D

b

1 a

a

D

综上

D1D1

2D 2 D2则 x1D2x2称D为方程组的系数行列式例1：解方程

3x12x22x1x2解：

D

3

(4)72D

2

2D22

121

324

所以

D

14 7

x2D2

217三阶行列

ax 类似地，为讨论三元线性方程组a21x1引进

D

称之为三阶行列

aij

1,2,3;

称为元i为行标j为列标注：(1)三阶行列式算出来也是一个数(2)计算方法：对 例 2(4)30(1)(1)111(4)(1)

013

2(1)248416

a

a

22

21a aa

aa

32

注

该定义称之为对角线法则行列式按行（列）展对于三阶行列式，容易验证

a23

a21

a23

a21

a23a11a32

a33

12a31a

a33

13a31a

a33可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算一 式与代 在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素aij 作Mij；记Aij=(-1)i+jMij，Aij叫做元素aij的代数式

a1

ai1,

ai1,

ai1,

D

ai,

ai

ai,

ai1,

ai1,

ai1,

an,

an,

an,

ai1, ai1,Mij

ai1,

ai1,ai1,

an,

an,

A(1)ij

(1)i

ai1,

ai1,

ai1,

ai1,

an,

an,

a21a31a21a31a41a22a32a42a23a33a43a24a34a44M23

123

M23D

M12

M44

144

注：行列式的每个元素都分别对应着一 式和一代 式 矩一一 矩阵概二二 矩阵的基本运矩阵的定特殊矩阵的定特殊矩矩阵的应用实矩阵的定由mn个数

(i

1,2,,m;

1,2,,排成的m行n列的数简称mn矩阵

称为m行n列矩阵记作A

a1na2n

简记AA

am

am

mn

复矩阵：元素是复例如：

5

是一33

2

实矩阵13 2i 2222

2是一2

3

复矩阵1

24

是一个1

矩阵 是一

3

矩阵

是一

11

矩阵问题： A 4 一些特殊的矩

(对Amn型矩阵零矩阵(Zero元素全为零的矩阵称为零矩阵

omno.注意：不同阶数的零矩阵是不相例如：

0 0 0 0

行矩阵(Row

只有一行的矩

Aa1,a2,,an称为行矩阵

a1 1列矩阵(Column

只有一列的矩

Ba2,a称为列矩阵(或列向量 a n方阵(Square

行数与列数都等于n的矩阵

称2i

n阶方阵.也可记

例如

2222

2 是一3方阵2对角阵(Diagonal方阵，主对角元素不全为零，非主对角元素都为零diag(a,a

a)

数量矩阵(Scalar

an方阵，主对角元素全为非零常数k，其余元素全为零kEn

knn单位矩阵(Identity方阵，主对角元素全为1

En 或

n n

1nn行列式与矩阵的一个是行列式与矩阵的一个行列数相n记为:矩阵的应用实例1.线性方程组的系数矩阵和增二元一次方程

a

的系数矩阵和增广矩阵 a12

b 22 2m元一次方程组（n个m元一次方程a

2m

an2

a1mana2manmaa2mb2 an2abn和

ax

x

b方程

2m

an2

anmxmbn

B

b2

增广矩 b n系数矩例2：线性变换的系数n个变量x1x2xn与m个变量y1

y2,

之间的关系

a12x2

a1nxnya ya

a22x2

a2nxn

am1

am2

amnxn表示从变

x1,x2

到变量y1

y2,ym的线性变换

为常数

A(aij)mn称为系数矩

a11a21

a12a22

a1nxna2nxn

am1

am2

amnxnA

a1n a2n

系数矩am

am

amn例3.某地区有I、II、III、IV4家商店,销售甲、乙、丙3种商品。上半年销量（件甲乙丙I000下半年销量（件甲乙丙I000可以用矩阵来表示以上销量表分别用矩阵A和B10 30 20 40 10A B 20 0 0 0 矩阵相加减数乘矩矩阵相加减数乘矩矩阵的乘矩阵的转方阵的行列矩阵相等同型矩阵：两个矩阵相

设矩阵Amn与Bmn是同型矩阵，且对应元素相等，即

(i,

称矩阵A与B相等，记作AB.

8 z

4

4矩阵的加减加法设有两个mn矩阵A

B

那末A与B的和记作A

B，规定AB

a2

b1nb2n am

am

bmn注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算例如

12 6 13 1

66例3-2.某地区有I、II、III、IV4家商店,销售甲、乙、丙3种商品。上半年销量（件甲乙丙I000下半年销量（件甲乙丙I000求各店各种商品全年的销量解：设全年的销量矩阵为C，10 30 20 40 10C

20 0 0 0 10

20 3020

500 40 4010 50 20 50 200 2040 0 00 0 负矩阵A

a1n a2n

a am

m amn

的负矩阵减法

AB

A(B)矩阵加法满足的运算规律1交换律：ABB2结合律：A

BC

A

C

A0

A,其中A与O是同型矩阵

A

AO.数与矩阵相数乘

数与矩阵A的乘积记作A或A,规定A

A

1n. 2n. m

m mn注意：矩阵数乘与行列式数乘的区别32 64122252 42545数乘矩阵满足的运算规律（A、B

m

矩阵，,为数123A

B

A

矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运矩阵与矩阵定义

A

是一

ms矩阵B

是一s

矩阵，那末规定

A与矩

B的乘是

mn矩阵C

，其

i2b2

k

i

j1,2,,并把此乘积记

C例

4

4

32?C ? 22

22

22例

2 0303412131 A

0

B 求

14 4解 A

B

C

C 2 102注意:只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如

8

3199

不存12

3

13

1 例2算下列矩阵的2

2 3 2

1

22 4

解:2 3

1

32

4.6 2 aa

=(

a22b2

b2b3 例3-3.某地区有I、II、III、IV4家商店,销售甲、乙、丙3种商品，求3种商品售价和进价矩阵，要求这个矩阵可以与4商店的销量矩阵相乘。甲乙丙售价（万元进价（万元9分析：这个表格可以写成如下两个矩阵 9

和

1512

因为销量矩阵是4行3的，能与之左乘的矩 9

必须有4列，能与的矩阵必须有3 应该选择3×2的矩阵例3-3.某地区有I、II、III、IV4家商店,销售甲、乙、丙3种商品。求各店3种商品的全年收益和成本矩阵求各店全年总收益和总成本解

销量矩 价格矩 收益与成本矩 50

1260 50

1290

20

1650 03022

1500 50 2例4：计算下列矩阵的 矩阵乘法满足的运算规律1结合律

ABC

ABC2分配

C

AB

AC

CA

BA

3AB

（其

为数4

EA即：AB注意：矩阵乘即：ABA

1 B 1

1 1

0

BA

2

AB

0

2 也有相等的情况，比如A

0,

B

1, 2

1则

2 2BA 2 AB

ABACA0B例如

A

1B

1C

2,

1 022 AB022

000

AC00

000

AB但是BAB0不能推出A0或B矩阵的转把矩

A的行换成同序数的列得到新矩阵，叫

A的转置矩阵，记作 例 AB

5

2,,8BT

18.

22

45;88 6转置矩阵满足的运算规律1AT

32A

BT

4

BTAT例4：已 A

ABT解法解法

17 ABT

3131解法解法

BT

2 0

1 232

1713.

1

10方阵的行列定义：由n阶方

A的元素所构成的行列式叫做方阵

的行列式，记作Adet例:A 3 8

A6

38运算规律1

A;

2

ABA注：

AB

BA,

AB

BA定义：行列式 的各个元素的代

构成的如下矩

An1An2 Ann称为矩

A的伴随矩阵逆矩阵的定义逆矩阵的定义、唯一矩阵可逆的判别定理及求可逆矩阵的性逆矩阵的定义、唯一概念的引入:在数的运算中

a0

a11a

a的倒数

（或称

的逆在矩阵的运算中单位

E相当于数的乘法运算中的那么，对于矩阵

，如果存在一个矩

使 AA1A1AE,则矩

称为A的可逆矩阵定义

A为n阶方阵，若存在n阶方B，使得ABBA则称矩

A是可逆的，方阵

A的逆矩阵记作A1例

1A

1,,

1B

12,,1 1

1

12ABBAE 11 12 0,

1 121

0 11 12

1

1 121 1

1

B是A的一个逆矩阵唯一性：唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的证明

设B、C都是A的逆矩阵，则AB

BA

CA从而B

EB

C(AB)CE逆矩阵的求法一：待定系例

A 1,

求A的逆矩阵 0 b解

B

是Ad

的逆矩阵AB

1 b

01 1 0

d 12a 2bd

0

12a

a2b

b

又因AB 1

1

1

1 0, ,

0

2

2 0

1所 A1

1.. 2矩阵可逆的判别定理及求n阶方阵n阶方阵A可逆当且仅当A

且A1

1AA

其中A为矩阵A的伴随矩逆矩阵的求法二：伴随矩阵

A1

A，其中A

An1An2 Ann其中A为A的伴随矩阵Aij为行列式A中元素aij的代

特别地，对二A

b当Aadbc0时，有

dA1

1A

b

例2：求方阵A33

3 13 3

的逆矩阵A3

1

66

2418124

2A1存在2A11

13

3

13

2

同理可

A31

4 A

5, 2故

1

4

2 A

2

5

3

2.2221 2221

1224133例3下列矩阵A,矩阵.

B是否可逆?若可逆,求出其逆 3

1A

5 2, 3

3 解 A

2

4

4

所以A可逆01 A11

3

A 1 1

32,33

1

23

同理可求 1

A21

AAA11A12A13

故B不可例4

A33

3 1,B3 3

,C1 ,C 33 3

30,11求矩阵X

C1解A3

1

2

B5

113A1,B1都存在 3 先求A 1

B 1,

的逆矩阵

A* 5

B* , 2

B1且

1 1AXB

A1A1

E

A1CB 22 1

2

02 02

例解矩 232解

51给方程两端左11

4 X

5

1

2 22

1给方程两端右

0211 211 X0 0

1 0,

A11 A21 A31 1

1

0

1, 1

2

3

5 X 4 1 6.

2

9 32 11给方程两端左

0 右乘矩阵33

11 01 11 1 1 0 1

A11A12A13 1

0 1

21 12 21 小结逆矩阵的概念及运算性质逆矩

存在

A逆矩阵的计算方1 2利用公式 A

x1,x2,...,

n

2n

an2

ann

a21

a22

a1nxna2nxn

an2

annxn

x1 D

x2 DDD

DDD

a1j1 a2j

a2j

a2n ...

anj

anj

(j1,2,...,n)Cramer法引入行列式概念时，求解二、三元线性方程组，当系行列

D

时，方程组有唯

(i

含有n个未知数，n程组类似，它的解也可以用n阶行列式表示Cramer法则：如果线性方程a11

a12a22

a1nxna2n

的系数行列式不等于零