函数的单调性 课件-高一上学期数学人教A版必修1

1.3.1函数的单调性1.3函数的基本性质知识探究（一）yxo考察下列两个函数:xyo思考1:这两个函数的图象有何共同特征？ 思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？思考3:如图为函数在定义域I内某个区间D上的图象，对于该区间上任意两个自变量x1和x2，当时，与的大小关系如何？思考4:我们把具有上述特点的函数称为增函数，那么怎样定义“函数在区间D上是增函数”？x01234…f(x)=x014916…☞画出下列函数的图象，观察其变化规律：

2yxo一、函数单调性定义

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数区间D叫做函数f(x)的单增区间.．

1．增函数(1)单调函数的定义思考3:对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，若当

时，都有

,则函数在区间D上是增函数还是减函数？

注意：1.函数的单调性是描绘函数在定义域内的某个区间上的变化趋势，是函数的局部性质；2.对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的常数，无单调性可言，在写单调区间时可以包括端点，也可以不包括端点。3.但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时就必须去掉端点。例1.下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上,它是增函数还是减函数？解:函数y=f(x)的单调区间有其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数， 在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].

二.典例精1.若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则F(X)=f(x)+g(x)为增函数。2.若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则F(X)=f(x)+g(x)为减函数。3.若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则F(X)=f(x)-g(x)为增函数。4.若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则F(X)=f(x)-g(x)为减函数。证明：（取值）（作差）（下结论）（定号）（变形）证明函数f(x)在区间D上的单调性的步骤：1.取值:任取x1，x2∈D，且x1<x2；2.作差:f(x1)－f(x2)；3.变形:通常是因式分解和配方;4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负;5.下结论:指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性.取值→作差→变形→定号→下结论

例3

试确定函数在区间上的单调性.

题型一：证明单调性求复合函数y＝f[g(x)]的单调区间的步骤(1)确定定义域．(2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(u)，u＝g(x)．(3)分别确定这两个函数的单调区间．(4)若这两个函数同增或同减则y＝f[g(x)]为增函数；若一增一减，则y＝f[g(x)]为减函数，即“同增异减”．题型二：求复合函数单调区间题型二：求复合函数单调区间“同增异减”练一练复合函数：“同增异减”B例3讨论函数在(-2,2)内的单调性.题型三含参函数的单调性：要对参数进行分类讨论对勾函数：利用函数单调性求参数

变式1：若二次函数在区间(-∞,1]上单调递增，求a的取值范围。变式2：若二次函数的递增区间是（-∞,1]，则a的取值情况是利用函数单调性求参数

求抽象函数的函数值：赋值法抽象函数的单调性

是定义在（-1，1）上的单调增函数，解不等式

练习：已知函数f(x)在R上是减函数，且

f(2a-1)-f(1-a)>0，求实数a的范围。例4函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.求抽象函数单调性【解】

(1)证明：设x1，x2∈R，且x1<x2，则x2－x1>0，∴f(x2－x1)>1.f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0.∴f(x2)>f(x1)．即f(x)是R上的增函数．例4函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f