2010《现代控制理论基础》考试题B卷及答案

一．（本题满分10分）请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状L2

的电流强度。【解答】根据基尔霍夫定律得：LxRxx u11 1 3LxRx x2 2 2 3Cxx x3 2 1xRx1x1u1 L 1 L 3 L 1 1 1 R 1x x x改写为2

L 2 L 2 2

，输出方程为yx2 1 1x x x3 C 1 C 2写成矩阵形式为PAGEPAGE23/8 R

1

1 L

L x

1x

L1

1 1 122x 0 L L x0u22x

2 2

0 3 1

3

C 0

x 1y

0 1

x2x3（10分）单输入单输出离散时间系统的差分方程为y(k2)5y(k1)3y(k)r(k1)2r(k)回答下列问题：求系统的脉冲传递函数；分析系统的稳定性；3（x31

(k)y(k)，x2

(k)x1

(k1)r(k（4）分析系统的状态能观性。【解答】z变换有：z25z3

(z)

z

R(z)系统的脉冲传递函数：Y(z) z2R(z) z25z3系统的特征方程为z1

4.3，z2

0.7，z1

D(z)z25z301，所以离散系统不稳定。x1

(k)y(k)，x2

(k)x1

(k1)r(k，可以得到由已知得

x(k1)x2

(k2)r(k1)y(k2)r(k1)y(k2)r(k1)2r(k)5y(k1)3y(k)2r(k)5x

(k1)

(k)2r(k

)5x2

(k)

r(k

)3x1

)3x1

(k

5x2

(k

1 13r(k)于是有：x(k1)3x2

(k)5x2

(k)3r(k)又因为x(k1)x1

(k)r(k)所以状态空间表达式为x

(k1) 0 1

(k) 1

r(k)x(k1) 3 5x(k) 3 2 2y(k)0

(k)2 1 2系统矩阵为

x(k)G0 1，输出矩阵为c0，cG00 13 5 3 5 能观性矩阵为Qc 1 0，

2，系统完全能观。o cG 0 1 o （10分回答下列问题：简述线性系统的对偶原理；简述线性定常系统的状态稳定性与输出稳定性的相互关系；r输入r输出r2阶线性解耦系统等效于多少个独立的单输入单输出系统？【解答】121212的能控性。则状态未必稳定。当且仅当线性定常系统的传递函数没有零极点对消现象时，其状态稳定性和输出稳定性才是等价的。r输入r输出r2阶线性解耦系统等效于r个独立的单输入单输出系统。（10分）

xxx

cosx设有一个2阶非线性系统，其状态方程为1 1 2

2，判断该系统在坐标原点处的稳定性，并证明你的判断。【解】此系统在坐标原点处不稳定。【证明】

x x2 2取李雅普诺夫函数V(x)x2x2，显然是正定函数，此外，沿着状态轨线的导数为：1 2V(x)2xx2xx 2xxxcosx2x22x22xxcosx 2x211 22 1 1 2

2 1 12 2 21 12x2xxcosx 2x22x2x

cos

x2cos2x2x2 x2cos2x1 12

2 1 1

2 4

2 2 2 2 2 1 2 1 2x xcosx2 cos2xx21 2

2

22显然是正定的，所以该系统在坐标原点处不稳定。（10分）设某控制系统的模拟结构图如下，试判断系统的能控性、能观性和稳定性。【解答】根据模拟结构图可得状态空间表达式x2x3xu1 1 2写成矩阵形式为

x xu2 11yx1x2 3

11

1 ux

1 0

1 2 2y0x 1x22 3A1 0，b

1

c0。 系统的特征方程为显然系统渐近稳定。

detIA

2 1

2230Q Ab

1 5系统的能控性矩阵为

满秩，所以系统状态完全能控。

c 1 cc 1 0系统的能观性矩阵为Q ，显然

满秩，所以系统状态完全能观。o cA 2 3 o（10分）某系统的状态空间表达式为

0 0 x1 6x0u y1x设计一个全维状态观测器，使观测器的两个极点均为10。【解答】设全维观测器方程为0 0 lx

l

1

0 1

1y221 6 l22

0 l0 l

lx1 61

x0u

1yl2

l222观测器特征多项式为22 0

l l detI

1

1 2

6

l 1 6l 1 6l 2 1

0

2201006l 20 2l解得1

14

l1001，全维状态观测器方程为0 100 x1 20

x0u14y 七.（本题满分10分）证明对于状态空间表达式的线性变换，其特征方程保持不变。【证明】设原线性系统为其特征方程为detA 0

AxBuCxDuxTz，变换后的线性系统为该系统的特征方程为

T1ATzT1BuyCTzDudetT1AT 0写成detT1AT 0detT1AT 0detT1detAdetT detT1detTdetA detTdetA 0detIdetA 0detA 0显然，其特征方程保持不变。 证毕八.（本题满分10分）开环系统的结构如图所示：s试用状态反馈的方法，使闭环系统单位阶跃响应的过渡过程时间ts

5.65秒（0.02，超调量为的数学表达式。

4.32%，其中一个闭环特征值为。求状态反馈控制律P【解答】将上述方块图该画成模拟结构图，如下：xx1 2x 5x 5x2 2 3写成状态空间表达式为x x，即yx1 0 1 0 0x0 5 5x0u 0 0 y1 0 0x

2闭环系统单位阶跃响应的过渡过程时间ts4

5.65秒（0.02，可得：t s

5.65，112

0.707，n超调量为P

e 4.32%，解得 0.707，所以n

1。期望闭环特征多项式为5

s2s2

s5s2

2s1n n

2xf*(s)s352x

s215 s5设状态反馈控制律为uk k1 2 3

2，代入可得闭环系统的状态方程20 1 0 5x0 5 x5闭环特征多项式为

2k 2k1

2k3s 0 0 0 1 0 f(s)detA

s 00 5 det0

0 0 s 2k 2k 2k s 1 0

1 2 3 det 0 s5

s3

s2

10k