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文档简介
一.(本题满分10分)请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状L2
的电流强度。【解答】根据基尔霍夫定律得:LxRxx u11 1 3LxRx x2 2 2 3Cxx x3 2 1xRx1x1u1 L 1 L 3 L 1 1 1 R 1x x x改写为2
L 2 L 2 2
,输出方程为yx2 1 1x x x3 C 1 C 2写成矩阵形式为PAGEPAGE23/8 R
1
1 L
L x
1x
L1
1 1 122x 0 L L x0u22x
2 2
0 3 1
3
C 0
x 1y
0 1
x2x3(10分)单输入单输出离散时间系统的差分方程为y(k2)5y(k1)3y(k)r(k1)2r(k)回答下列问题:求系统的脉冲传递函数;分析系统的稳定性;3(x31
(k)y(k),x2
(k)x1
(k1)r(k(4)分析系统的状态能观性。【解答】z变换有:z25z3
(z)
z
R(z)系统的脉冲传递函数:Y(z) z2R(z) z25z3系统的特征方程为z1
4.3,z2
0.7,z1
D(z)z25z301,所以离散系统不稳定。x1
(k)y(k),x2
(k)x1
(k1)r(k,可以得到由已知得
x(k1)x2
(k2)r(k1)y(k2)r(k1)y(k2)r(k1)2r(k)5y(k1)3y(k)2r(k)5x
(k1)
(k)2r(k
)5x2
(k)
r(k
)3x1
)3x1
(k
5x2
(k
1 13r(k)于是有:x(k1)3x2
(k)5x2
(k)3r(k)又因为x(k1)x1
(k)r(k)所以状态空间表达式为x
(k1) 0 1
(k) 1
r(k)x(k1) 3 5x(k) 3 2 2y(k)0
(k)2 1 2系统矩阵为
x(k)G0 1,输出矩阵为c0,cG00 13 5 3 5 能观性矩阵为Qc 1 0,
2,系统完全能观。o cG 0 1 o (10分回答下列问题:简述线性系统的对偶原理;简述线性定常系统的状态稳定性与输出稳定性的相互关系;r输入r输出r2阶线性解耦系统等效于多少个独立的单输入单输出系统?【解答】121212的能控性。则状态未必稳定。当且仅当线性定常系统的传递函数没有零极点对消现象时,其状态稳定性和输出稳定性才是等价的。r输入r输出r2阶线性解耦系统等效于r个独立的单输入单输出系统。(10分)
xxx
cosx设有一个2阶非线性系统,其状态方程为1 1 2
2,判断该系统在坐标原点处的稳定性,并证明你的判断。【解】此系统在坐标原点处不稳定。【证明】
x x2 2取李雅普诺夫函数V(x)x2x2,显然是正定函数,此外,沿着状态轨线的导数为:1 2V(x)2xx2xx 2xxxcosx2x22x22xxcosx 2x211 22 1 1 2
2 1 12 2 21 12x2xxcosx 2x22x2x
cos
x2cos2x2x2 x2cos2x1 12
2 1 1
2 4
2 2 2 2 2 1 2 1 2x xcosx2 cos2xx21 2
2
22显然是正定的,所以该系统在坐标原点处不稳定。(10分)设某控制系统的模拟结构图如下,试判断系统的能控性、能观性和稳定性。【解答】根据模拟结构图可得状态空间表达式x2x3xu1 1 2写成矩阵形式为
x xu2 11yx1x2 3
11
1 ux
1 0
1 2 2y0x 1x22 3A1 0,b
1
c0。 系统的特征方程为显然系统渐近稳定。
detIA
2 1
2230Q Ab
1 5系统的能控性矩阵为
满秩,所以系统状态完全能控。
c 1 cc 1 0系统的能观性矩阵为Q ,显然
满秩,所以系统状态完全能观。o cA 2 3 o(10分)某系统的状态空间表达式为
0 0 x1 6x0u y1x设计一个全维状态观测器,使观测器的两个极点均为10。【解答】设全维观测器方程为0 0 lx
l
1
0 1
1y221 6 l22
0 l0 l
lx1 61
x0u
1yl2
l222观测器特征多项式为22 0
l l detI
1
1 2
6
l 1 6l 1 6l 2 1
0
2201006l 20 2l解得1
14
l1001,全维状态观测器方程为0 100 x1 20
x0u14y 七.(本题满分10分)证明对于状态空间表达式的线性变换,其特征方程保持不变。【证明】设原线性系统为其特征方程为detA 0
AxBuCxDuxTz,变换后的线性系统为该系统的特征方程为
T1ATzT1BuyCTzDudetT1AT 0写成detT1AT 0detT1AT 0detT1detAdetT detT1detTdetA detTdetA 0detIdetA 0detA 0显然,其特征方程保持不变。 证毕八.(本题满分10分)开环系统的结构如图所示:s试用状态反馈的方法,使闭环系统单位阶跃响应的过渡过程时间ts
5.65秒(0.02,超调量为的数学表达式。
4.32%,其中一个闭环特征值为。求状态反馈控制律P【解答】将上述方块图该画成模拟结构图,如下:xx1 2x 5x 5x2 2 3写成状态空间表达式为x x,即yx1 0 1 0 0x0 5 5x0u 0 0 y1 0 0x
2闭环系统单位阶跃响应的过渡过程时间ts4
5.65秒(0.02,可得:t s
5.65,112
0.707,n超调量为P
e 4.32%,解得 0.707,所以n
1。期望闭环特征多项式为5
s2s2
s5s2
2s1n n
2xf*(s)s352x
s215 s5设状态反馈控制律为uk k1 2 3
2,代入可得闭环系统的状态方程20 1 0 5x0 5 x5闭环特征多项式为
2k 2k1
2k3s 0 0 0 1 0 f(s)detA
s 00 5 det0
0 0 s 2k 2k 2k s 1 0
1 2 3 det 0 s5
s3
s2
10k
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