微分方程基础知识的复习

微分方程基础知识的复习一.微分方程中的基本概念二.线性方程的解的结构

三.一阶线性常微分方程总是可以求出一般解四.二阶常系数线性齐次常微分方程总是可以求出一般解

第1页，共19页。一.微分方程中的基本概念1. 微分方程及其阶2. 常微分方程与偏 微分方程3. 线性微分方程与 非线性微分方程4.齐次微分方程与非齐次微分方程5.常系数微分方程与变系数微分方程6.微分方程的解与通解第2页，共19页。二.线性方程的解的结构设有二阶线性齐次常微分方程

（5）定理1，定理2，

定理3，

定理4，

第3页，共19页。三.一阶线性常微分方程总是可

以求出一般解

第4页，共19页。四.二阶常系数线性齐次常微分

方程总是可以求出一般解第5页，共19页。第6页，共19页。例第7页，共19页。END第8页，共19页。1.微分方程及其阶微分方程是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程。微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数。第9页，共19页。2.常微分方程与偏微分方程常：未知函数的自变量只有一个的方程，如:

偏：未知函数的自变量有两个或两个以上的方程，物理上常称为数学物理方程如:

第10页，共19页。3.线性微分方程与非线性

微分方程线性：未知函数及其各阶导数在方程中都是一次，如:

（1），（2）非线性：含有未知函数或其各阶导数的二次以上的项，或彼此交叉乘积的项，如:

（3）第11页，共19页。4.齐次微分方程与非齐次

微分方程齐次：方程中不含自由项（不含未知函数及其导数的项），如:

（1），（3）非齐次：方程中含有自由项，如:

（2），第12页，共19页。5.常系数微分方程与变系数

微分方程常系数：未知函数及其各阶导数的系数为常数（与自变量无关），如:

（4）变系数：未知函数及其各阶导数项的系数与自变量有关，如:（1），（3）第13页，共19页。6.微分方程的解与通解能够找出一个函数，把这个函数代入微分方程能使该微分方程成为恒等式，这个函数称为微分方程的解。如果微分方程的解中含有任意常数，而且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这个解就称为微分方程的通解（或一般解）。第14页，共19页。定理1

如果函数y1与y2是方程（5）的两个解，则

也是方程（5）的解。第15页，共19页。定理2

如果函数y1与y2是方程（5）的两个线性无关解，则

是方程（5）的通解。第16页，共19页。定理3

设是y*二阶非齐次线性方程

（6）的一个特解，Y是与（6）对应的齐次方程（5）的通解，则

是二阶非齐次线性微分方程（6）的通解。第17页，共19页。定理4

如果已知齐次方程（5）的通解为

可以用常数变易法求得非齐次线性微分方程（6）的通解。第18页，共19页。内容梗概微分方程基础知识的复习。二.线性方程的解的结构。二.线性方程的解的结构。四.二阶常系数线性齐次常微分方程总。2. 常微分方程与偏 微分方程。3. 线性微分方程与 非线性微分方程。4.齐次微分方程与非齐次微分方程。5.常系数微分方程与变系数微分方程。微分方程是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程。微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数。2.常微分方程与偏微分方程。常：未知函数的自变量只有一个的方程，。偏：未知函数的自变量有两个或两个以上的方程，物理上常称为数学物理方程。非线性：含有未知函数或其各阶导数的二次以上的项，或彼此交叉乘积的项，。齐次：方程中不含自由项（不含未知函数及其导数的项），。如:（1），（3）。如:（2），。常系数：未知函数及其各阶导数的系数为常数（与自变量无关），。变系数：未知函数及