专题11 导数之极值点偏移（一）（学生版）

专题11导数之极值点偏移（一）一、考情分析导数的引入,为函数的研究与应用提供了有效的工具,把初等函数的学习提高到一个新的层次,正因如此,近年来,对应用导数研究函数性质的考查,已成为高考和各地模拟考试的热点和重点,有些学生由于对概念的理解不够准确或受到某些知识或方法的负迁移,在由导数的几何意义求极值点偏移的问题程时,从而导致对而不会,会而不全.极值点偏移问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策，而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的.其实，此类问题处理的手段有很多，方法也就有很多，下面我们来逐一探索！[二、考点梳理【极值点偏移基本定义】众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点.如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同.故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：①若，则称为极值点左偏；②若，则称为极值点右偏.【极值点偏移几种常考类型】1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；3.若函数存在两个零点且，令，求证：；4.若函数中存在且满足，令，求证：.三、题型突破例1、设函数，函数为的导函数，且是的图像上不同的两点，满足，线段中点的横坐标为，证明：

例2、【2016年全国Ⅰ】已知函数QUOTE𝑓𝑥=𝑥−2e𝑥+（I）求a的取值范围；（II）设，是QUOTE𝑓(𝑥)的两个零点，证明：．例3、（2021·贵州·贵阳一中高三月考（理））已知函数（其中e为自然对数的底数，a为常数）．（1）讨论函数的单调性；（2）证明：当函数有极大值，且极大值为a时，若方程（m为常数）有两个不等实根则.

例4、已知函数．（1）讨论的单调性；

（2）若，是的两个零点，求证：．例5、（2021·全国·高三月考）已知函数(，为常数)在内有两个极值点.（1）求参数的取值范围；（2）求证：.

迁移应用1．（2021·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高三月考）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围；（3）满足（2）的条件下，记两个零点分别为，证明：2．（2021·全国·高三专题练习）已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，求证：

3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝lnx﹣ax，a为常数．（1）若函数f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，求a的值；（2）当a＝1时，试比较f（m）与f（）的大小；（3）若函数f(x)有两个零点x1、x2，试证明x1x2＞e2．4．（2021·全国·高三月考）已知函数（1）若，(为的导函数)，求函数在区间上的最大值；（2）若函数有两个极值点，求证：

5．（2021·新疆·布尔津县高级中学三模（理））已知函数（1）若时，恒成立，求的取值范围；（2）求证且；（3）当时，方程有两个不相等的实数根，求证6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，函数满足．（1）讨论函数的单调性；（2）若有两个不同的零点、