地下工程监测与检测技术第九章测量误差分析及数据处理

地下工程监测与检测技术第九章测量误差分析及数据处理人民交通出版社测量误差及分类单随机变量的数据处理多数据变量的处理内容提要第一节测量误差及分类一.测量误差的定义测量值与被测量的真实量值之间存在着差异，这个差异称为测量误差。误差公理认为，在测量过程中各种各样的测量误差的产生是不可避免的，测量误差自始至终存在于测量过程中，一切测量结果都存在误差。因此，误差的存在具有必然性和普遍性。二.测量误差的分类系统误差是指在相同条件下，对同一被测量进行多次重复测量时，所出现的数值大小和符号都保持不变的误差，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差；系统误差的主要特性是规律性。

随机误差是指在相同的条件下，对同一被测量进行多次重复测量时，所出现的数值大小和符号都以不可预知的方式变化的误差；随机误差的主要特性是随机性。

明显地偏离被测量真值的测量值所对应的误差，称为粗大误差。1.系统误差、随机误差和粗大误差2.基本误差和附加误差任何测量装置都有一个正常的使用环境要求，这就是测量装置的规定使用条件。根据测量装置实际工作的条件，可将测量所产生的误差分为基本误差和附加误差。测量装置在规定使用条件下工作时所产生的误差，称为基本误差。而在实际工作中，由于外界条件变动，使测量装置不在规定使用条件下工作，这将产生额外的误差，这个额外的误差称为附加误差。

3.静态误差和动态误差根据被测量随时间变化的速度，可将误差分为静态误差和动态误差。在测量过程中，被测量稳定不变，所产生的误差称为静态误差。在测量过程中，被测量随时间发生变化，所产生的误差称为动态误差。在实际的测量过程中，被测量往往是在不断地变化的。当被测量随时间的变化很缓慢时，这时所产生的误差也可认为是静态误差。三.测量的精度测量的精度，包含准确度、精密度和精确度，它们都是定性的概念，不能用数值作定量表示。

测量的准确度表征了测量值和被测量真值的接近程度。准确度越高则表征测量值越接近真值。准确度反映了测量结果中系统误差的大小程度，准确度越高，则表示系统误差越小。测量的精密度表征了多次重复对同一被测量进行测量时，各个测量值分布的密集程度。精密度越高则表征各测量值彼此越接近，即越密集。精密度反映了测量结果中随机误差的大小程度，精密度越高，则表示随机误差越小。测量的精确度是准确度和精密度的综合，精确度高则表征了准确度和精密度都高。精确度反映了系统误差和随机误差对测量结果的综合影响，精确度高，则反映了测量结果中系统误差和随机误差都小。对于具体的测量，精密度高的准确度不一定高；准确度高的，精密度也不一定高；但是精确度高的，精密度和准确度都高。第二节单随机变量的数据处理一.误差估计测量值与被测量的真实量值之间的差异称为误差，对误差的计算称为误差估计。1.绝对误差绝对误差只能用来判断对同一测量的测量精确度，但不能表征精确的程度，它需要用相对误差来判别。测量值和真值之间的差值的绝对值。2.算术平均误差当n较大时，可用下式估算为各次测量误差绝对值的算术平均值叫算术平均误差3.相对误差相对误差是一一个没有单位位的量，常用用百分数表示示。测量值得得到的相对误误差相等，则则其测量精确确度也相等。。绝对误差与算算术平均值的的百分比叫相相对误差，又又叫百分误差差4.标准误差(试验标准差)标准误差是测测量列中各次次误差的方均均根，反映了了数据的分散散状况。5.算术平均值的的标准差算术平均值的的标准差与标标准误差(实验标准差)的关系二.可疑似数据的的舍弃在多次测量中，，有时会遇到到个别测值和和其它多数测测值相差较大大的情况，这这些个别数据据就是所谓的的可疑数据。。对可疑数据据，可利用正正态分布来决决定取舍。因为在多次测量中中，误差在-3σ~+3σ之间时，其出出现概率为99.7％，在此范围围之外的误差差出现的概率率只有0.3％。常用±3σ法三.单随机变量的的数据处理1.标准差法例1：同一岩体的的10个岩石试件的的抗压强度分分别为15.3,14.4,16.2,15.3,15.6,14.8,16.9,18.2,14.7,14.9。①计算平均值值计算标准差②剔除可疑值值：第8个数据18.2疑为可疑数据据，故18.2应当剔除。③再计算其余余9个值的算术平平均值和标准准误差：在余下的9个数据中再检检查可疑数据据，取与平均均值偏差最大大的第7个数据16.9故16.9应当剔除。④再计算其余8个值的算术平平均值和标准准误差：⑤在余下的8个数据中再检检查可疑数据据，取与平均均值偏差最大大的第7个数据16.9故16.2这个数据是合合理的⑥处理结果用算算术平均值和和极限误差表表示为根据误差的分布特特征，该种岩岩石的抗压强强度在13.46~16.94MPa的概率是99.7%，正常情况下下的测试结果果不会超出该该范围。2.保证极限法地基基础规范范中对重要建建筑物的地基基土指标采用用保证极限法法。这种方法法是根据数理理统计中的推推断理论提出出来的，如。。如前述在区区间内数据据出现的概率率与所取的k有关。例如k＝2，相当于保证证率为95％，即在区区间内数据出现的的概率为95％，第三节多多数据变量的的处理一.数据拟合与回回归分析1.数据拟合在测量数据的的处理中，通通常需要根据据实际测量所所得数据，求求得反映各变变量之间的最最佳函数关系系表达式。如如果变量间的的函数形式根根据理论分析析或以往的经经验已经确定定了，而其中中有一些参数数是未知的，，则需要通过过测量数据来来确定这些参参数；如果变变量间的具体体函数形式还还没有确定，，则需要通过过测量数据来来确定函数形形式和其中的的参数。根据据实测数据，，求得反映各各变量之间的的最佳函数关关系表达式称称为数据拟合合，所得函数数关系式为拟拟合方程式。。2.回归分析应用最小二乘乘法进行数据据拟合的方法法称为回归分分析，求得的的函数关系式式称为回归方方程。回归分分析实质上就就是应用数理理统计的方法法，对测量数数据进行分析析和处理，从从而求出反映映变量间相互互关系的经验验公式，即回回归方程。将将最小二乘法法应用于等精精度测量的数数据拟合，其其基本原则是是各个实测的的数据点与拟拟合曲线的偏偏差（即残余余误差）的平平方和应为最最小值。二.一元线性回归一元线性回归的的数学模型回归方程的参参数估计正规方程组正规方程的求求解回归效果衡量量三.多元元线性回回归多元线性回归的数学模型正规方程及其其解回归效果衡量量指标四.一元元非线性性回归1.非线性回归在实际问题中中，有时变量量之间的内在在关系并不是是线性，而是是某种曲线关关系，需进行行非线性回归归。对于非线线性回归，一一般分两步进进行：首先确确定非线性回回归的数学模模型；其次求求解回归方程程中的未知参参数。最小二乘法直直接求解非线线性回归方程程是非常复杂杂的，通常采采用下面两种种方法：一是通过相应应的变量代换换，把曲线回回归转换成线线性回归，即即采用线性化化回归，继而而用前面给出出的线性回归归的方法求解解线性化回归归方程，最后后将线性化回回归方程还原原为非线性回回归方程。二是把回归方方程展开成回回归多项式，，直接用回归归多项式来描描述两个变量量之间的关系系，这样就把把求解曲线回回归的问题转转化为解多项项式回归的问问题。2.回归方程函数数类型的选择线性化回归的的关键是数学学模型的判定定，亦即回归归方程的函数数类型的选择择。较常用的的方法有下面面两种方法：：一是直接判断断法，即根据据专业知识，，从理论上推推导或者根据据以往的实践践经验来确定定两个变量之之间的函数类类型。二是观察法，，即将测量数数据描在坐标标纸上作散点点图，再将散散点连成曲线线，并与各类类典型曲