指数函数与对数函数图像交点个数问题_第1页
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文档简介

探函y与

ya

图的点数题函数

y

x

与

ylogx(a且a

互为反函数在同一坐标系中它们的图象的交点个数取决于的值在此笔以函数与方程的思想为指导用导数的知识来探究它们图象的交点个数问题．探究由ylogxa

，

得

①②

(x0)（）

时①+②，得

y

y

x

.

令

fx)

x

,x

则

f()f(x)

,即f(a

x

))

.∵

,∴

f(x)

为增函数,∴

.两边取自然对数,得

lnaxln

,即xlnln

.令

(x,x

.求,得

g

1．令,得．xlna当

变化时，

g()

的变化情况如下表：

(

1ln

)

1lna

(

1ln

,g

—

0

+()

↘

极小值

↗由上表可知当

x

1时(1ln极小值lna

∵

g(x)

只有一个极,∴

(x

min

.(ⅰ)当

即

1

时，方程

()0

无解，此时函数

y

x

与ylogxa

的图象没有交点；(ⅱ)当

，即

a

1

时，方程

()

有一解此时函数

y

x

与ylogxa

的图象有一个交点；(ⅲ)当

即

1

时于

()

在

内连续当

x

时，()

；当

x

时，

()

，∴方

()0

有两解，此时函数

y

x

与

aminaminylogxa

的图象有两个交点．（）

时由①、②，消去

，得

x

③由于x，且，,即x

．对③式两边取自然对数，得

axlnlnx

，即

a

lnlna

．两边取自然对数，得

xln

lnlna

．令

hx)

lnx1lna,x0,1．求导，得halnaxln

．由

1得xlnx．令()lnxlnln

,

．则

x

．由

，得

x

1．当x)时，；,1)eee

时，

．∴当

11x时，x)eln

．(ⅰ)当

1111，时，(x)恒成立．∴xlnelnaeln

，∵

0

，0x

∴

11即当且仅当a且xxln

时“＝号．∴()

在

内是减函数．又当

x0

时，

(x

；当

x1

时，

(x)

，且

()在(0,1)内连续∴程

()

恰有一解此函数yx与

ylogxa

的图象有一个交点．(ⅱ)当

11，即0时，∵)limx)elnax1lna

，且

)

在

内连续，∴存在

1),n,1)，使得m))e

，∴

.当变时，

hx)

的变化情况如下表：h

(0,m－

(mn+

(n,1)－()

↘

↗

↘由上表可知，

()

在

(0,m

内是减函数，在

(m)

内是增函数，在

(n,1)

内是减函数下面证明

(ae

)

,

1he

.

11111111111e

)ln

1lnlna

1e

ln

1

lna

,

0

1e

.

令F(a)

1ln

,

0

1e

.

则

当

0

1e

时,Fln(lna(ln0aeee

.∴

F(a)

在

111)内增函数又∵(a)在(0,]上续∴当0eeee

时F()F(

1ee

)

,即

h(ae

)

.1lnae

11)lna,0eee

.

令1G)lnae

,0

1.易证它为减函,∴当0,(a)(),即h()eee

.∵

0

1e

,∴

0

1

1

,又∵当x0，(当1，h()

h(x)

在

内连续合

h(x)

的单调性,∴

h(x)

在区间

1e,(a

,)

,1(e

内各有一个.∴时函数

y

x

与

ylogxa

的图象有三个交点．综上所述,函

y

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