习题第1章 球 Word版含解析

7．3球的表面积和体积时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是()A．8πB．6πC．4πD．π答案：C解析：设该正方体的棱长为a，内切球的半径为r，则a3＝8，∴a＝2，∴正方体的内切球直径为2，r＝1，∴内切球的表面积S＝4πr2＝4π.2．已知两个球的半径之比为13，那么这两个球的表面积之比为()A．19B．127C．13D．11答案：A解析：设两球的半径分别为r1，r2，表面积分别为S1，S2，∵r1∶r2＝1∶3，∴S1∶S2＝4πreq\o\al(2,1)∶4πreq\o\al(2,2)＝req\o\al(2,1)∶req\o\al(2,2)＝1∶9.故选A.3．已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，则它们的体积的大小关系是()A．V正方体＝V圆柱＝V球B．V正方体<V圆柱<V球C．V正方体>V圆柱>V球D．V圆柱>V正方体>V球答案：B解析：设正方体的棱长、球的半径、圆柱底面圆的半径分别为a，R，r，则S正方体＝6a2，S球＝4πR2，S圆柱＝6πr2，由题意，知S正方体＝S球＝S圆柱，所以a＝eq\r(π)r，R＝eq\r(\f(3,2))r，所以V正方体＝a3＝πeq\r(π)r3，V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\r(6)πr3，V圆柱＝2πr3，显然可知V正方体<V圆柱<V球．4．已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()\f(49,9)π\f(7,3)π\f(28,3)π\f(28,9)π答案：C解析：由三视图，知该几何体是一个正三棱柱，其底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面中心连线的中点与三棱柱的顶点的连线就是其外接球的半径，设其外接球的半径为r，则r＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\r(3)))2＋12)＝eq\r(\f(7,3))，所以该球的表面积为4πr2＝eq\f(28,3)π.5．设球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球的表面积之比为()A．1：1B．2：1C．3：2D．4：3答案：C解析：如图为球的轴截面，由题意，设球的半径为r，则圆柱的底面圆半径为r，圆柱的高为2r，于是圆柱的全面积为S1＝2πr2＋2πr·2r＝6πr2，球的表面积为S2＝4πr2.∵eq\f(S1,S2)＝eq\f(6πr2,4πr2)＝eq\f(3,2).6．球O的截面把垂直于截面的直径分成13两部分，若截面圆半径为eq\r(3)，则球O的体积为()A．16π\f(16π,3)\f(32π,3)D．4eq\r(3)π答案：C解析：设直径被分成的两部分分别为r、3r，易知(eq\r(3))2＝r·3r，得r＝1，则球O的半径R＝2，故V＝eq\f(4,3)π·R3＝eq\f(32,3)π.二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．已知球的某截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离为3，则球的表面积为________．答案：100π解析：因为截面圆的面积为16π，所以截面圆的半径为4.又球心到截面的距离为3，所以球的半径为5，所以球的表面积为100π.8．把直径分别为6cm,8cm,10cm的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为________cm.答案：6解析：设大铁球的半径为Rcm，由eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))3＋eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))3＋eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,2)))3，得R3＝216，得R＝6.9．长方体的共顶点的三个侧面面积分别为eq\r(3)、eq\r(5)、eq\r(15)，则它的外接球的表面积为__________．答案：9π解析：设长方体的有公共顶点的三条棱的长分别为x、y、z，则由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xy＝\r(3)，,yz＝\r(5)，,zx＝\r(15)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)，,y＝1，,z＝\r(5)))所以球的半径R＝eq\f(1,2)eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\f(3,2).所以S球＝4πR2＝9π.三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．如图所示，扇形所含中心角为90°，弦AB将扇形分成两部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，求这两部分旋转所得旋转体的体积V1和V2之比．解：△ABO旋转成圆锥，扇形ABO旋转成半球，设OB＝半球＝eq\f(2,3)πR3，V锥＝eq\f(π,3)·R·R2＝eq\f(π,3)R3，∴(V半球－V锥)V锥＝11.11．某甜品店制作一种蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形(如图)．现把半径为10cm的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成圆锥的侧面(蛋皮厚度忽略不计)，求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积．解：设圆锥的底面半径为r，高为h.∵2πr＝eq\f(2,5)π·10，∴r＝2.h＝eq\r(102－22)＝4eq\r(6).∴该蛋筒冰淇淋的表面积S＝eq\f(π·102,5)＋2π·22＝28π(cm2)．体积V＝eq\f(1,3)π·22×4eq\r(6)＋eq\f(2,3)π·23＝eq\f(16,3)(eq\r(6)＋1)π(cm3)．12．如果一个几何体的主视图与左视图是全等的长方形，边长分别是4,2，如图所示，俯视图是一个边长为4的正方形．(1)求该几何体的表面积；(2)求该几何体的外接球的体积．解：(1)由题意可知，该几何体是长方体，其底面是边长为4的正方形，高为2，因此该几何体的表面积是2×4×4＋4