2020版高考数学一轮复习课时规范练36数学归纳法理北师大版209

2020版高考数学一轮复习课时规范练36数学归纳法理北师大版(含答案)2092020版高考数学一轮复习课时规范练36数学归纳法理北师大版(含答案)20915/15芇PAGE15膆袆羃膁薂螁罿螇羅肇肃葿虿蚄蒇蚇蚄芈膃羁肀芃腿蚇螇蕿膂艿蒁袃薇薇蒆蒇节袁袂蒂艿膃芅螈莂膀芃肁螇肃芈罿蒂蚂莀袄蒈肃肇袆薂羀螀聿膀葿袅螃蚂肈膁蚈蚈葿薄羄螂莆薂芇莀荿蚇膅螂蚄蝿膀袈芀蒆膂袁膆膀蝿薀膀膅莃芅蒄薁莈羈肀芈薅莅羆羂羈蚃羀羀薂荿芅芆薇肁袀虿螃葿袇蒃莀袃袀莂肄蒂膅螈罿膅螀蒅芅薂蚇腿薈羇蚁膄节蚂羅薀膇莄薁羃蒃螂蒇蚆螆肆蒁螁蚄螂螅肇蚀薄莁螄蚂袂莇蒈艿芆芁薃袃羂薆衿袈螄芁莂膄肁膈芀蒇蒆膁莅2020版高考数学一轮复习课时规范练36数学归纳法理北师大版(含答案)209

课时规范练36数学归纳法

基础牢固组

1.若是命题p(n)对n=k(k∈N+)成立,则它对n=k+2也成立.若p(n)对n=2

也成立,则以下结论正确的选项是( )

A.p(n)对所有正整数n都成立

B.p(n)对所有正偶数n都成立

C.p(n)对所有正奇数n都成立

D.p(n)对所有自然数n都成立

2.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,在第二

步时,正确的证法是( )

n=k(k∈N+),证明n=k+1时命题成立

n=k(k是正奇数),证明n=k+1时命题成立

n=2k+1(k∈N+),证明n=k+1时命题成立

n=k(k是正奇数),证明n=k+2时命题成立

3.(2018安徽蚌埠期末,5)用数学归纳法证明不等式“++(n>2)”的过程

中,归纳递推由n=k到n=k+1时,不等式的左边( )

增加了一项

增加了两项

C.增加了两项,又减少了一项

D.增加了一项,又减少了一项

4.(2018辽宁辽阳期末,6)证明等式12+22+32++n2=(n∈N+)时,某学生的证

明过程以下:

当n=1时,12=,等式成立;

假设n=k(k∈N+)时,等式成立,

即12+22+32++k2=,则当n=k+1时,

12+22+32++k2+(k+1)2

=+(k+1)2

=

=

=,

因此当n=k+1时,等式也成立,故原等式成立.

那么上述证明( )

全过程都正确

当n=1时考据不正确

n=k到n=k+1的推理不正确

5.(2018辽宁抚顺期中,14)用数学归纳法证明:“两两订交且不共点的n

条直线把平面分为f(n)部分,则f(n)=1+.”证明第二步归纳递推时,用到

f(k+1)=f(k)+.

6.试证:当n∈N+时,f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.

7.(2018山东师范大学隶属中学期中,18)证明:对任意的n∈N+,不等

式··成立.

8.(2018广东中山一中三模,21)设数列{an}满足a1=3,an+1=-2nan+2(n∈N+).

求a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式(不需证明);

记Sn为数列{an}的前n项和,用数学归纳法证明:当n≥6时,有Sn<2n成

立.综合提升组

9.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2建马上,

总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.则以下命题总成立的是()f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≤k2成立f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)<k2成立f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立10.设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线但是同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则

f(4)=;当n>4时,f(n)=(用n表示).

11.(2018辽宁六校协作体期中,17)可否存在常数a,b使得等式

12+22++n2=n(2n+1)(an+b)对所有正整数n都成立?若存在,求出a,b值,并用数学归纳法证明你的结论;若不存在,请说明原由.

创新应用组

12.(2018河南洛阳模拟,18)将正整数作以下分

组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),.分别计算各组包含的正整数的和以下,

S1=1,

S2=2+3=5,

S3=4+5+6=15,

S4=7+8+9+10=34,

S5=11+12+13+14+15=65,

S6=16+17+18+19+20+21=111,

求S7的值;

由S1,S1+S3,S1+S3+S5,S1+S3+S5+S7的值,试猜想S1+S3++S2n-1的结果,并用数学归纳法证明.

13.已知函数f0(x)=(x>0),设fn(x)为fn-1(x)的导数,n∈N+.

求2f1+f2的值;

证明:对任意的n∈N+,等式nfn-1+fn=都成立.

参照答案课时规范练36数学归纳法1.Bn=k时成立,当n=2时,n=k+2成立,n为2,4,6,,故n为所有正偶数.2.D相邻两个正奇数相差2,故D选项正确.3.C当n=k时,左边=+++,①当n=k+1时,左边=++++,②

因此增加了两项+,又减少了一项,故答案为C.

4.A观察所给的证明过程:当n=1时考据是正确的,归纳假设是正确的,从n=k到n=k+1的推理也是正确的,即证明过程中不存在任何的问题.应选A.5.k+1当n=k(k≥2)时,有f(k)=1+,当n=k+1时,f(k+1)=1+,

∴从k到k+1左端需增加的代数式1+-1-=(k+2-k)=k+1,

∴在证明第二步归纳推理的过程中,用到f(k+1)=f(k)+(k+1).

6.证明(1)当n=1时,f(1)=64,命题显然成立.+2k+2能被64整除,则当(2)假设当n=k(k∈N,k≥1)时,f(k)=3-8k-9n=k+1时,f(k+1)=32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+9·8k+9·9-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64(k+1),

即f(k+1)=9f(k)+64(k+1),因此当n=k+1时命题也成立.

依照(1)(2)可知,对于任意n∈N+,命题都成立.

7.证明①当n=1时,左边=,右边=,因为>,因此不等式成立.

②假设当n=k时不等式成立,即····>成立.则当n=k+1时,

左边·····

>·=

=

=

>,

因此当n=k+1时,不等式也成立.

由①②可得不等式恒成立.

8.解(1)a2=5,a3=7,a4=9,猜想an=2n+1.

Sn==n2+2n,下证:n≥6(n∈N+)时都有2n>n2+2n.

当n=6时,26>62+2×6,即64>48成立;

假设n=k(k≥6,k∈N+)时,2k>k2+2k成立,

那么当n=k+1

时,2k+1=2·2k>2(k2+2k)=k2+2k+k2+2k>k2+2k+3+2k=(k+1)2+2(k+1),即n=k+1

时,不等式成立.n2故对于所有的n≥6(n∈N+),都有2>n+2n成立.

对B,只能得出:对于任意的k≥5,均有f(k)≥k2成立,不能够得出:对任意的k≤5,均有f(k)≤k2成立;

对C,若f(7)<49成立不能够推出任何结论;

对D,∵f(4)=25≥16,∴对于任意的k≥4,均有f(k)≥k2成立.应选D.

10.5(n+1)(n-2)f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3=5,

(n)=f(3)+3+4++(n-1)

=2+3+4++(n-1)

=(n+1)(n-2).

11.解分别令n=1,2,可得解得

故猜想等式12+22++n2=对所有正整数n都成立.

下面用数学归纳法证明:

①当n=1时,由上面的研究可知等式成立.

②假设n=k(k∈N+,k≥1)时猜想成立,即12+22++k2=.

当n=k+1时,

12+22++k2+(k+1)2=+(k+1)2

=

=

=.

因此当n=k+1时,等式也成立.

由①②知猜想成立,即存在a=,b=使命题成立.

12.解(1)S7=22+23+24+25+26+27+28=175.

S1=1;S1+S3=16;S1+S3+S5=81;S1+S3+S5+S7=256;

猜想S1+S3+S5++S2n-1=n4.

证明以下:记Mn=S1+S3+S5++S2n-1,

①当n=1时,猜想成立.

4②设当n=k时,命题成立,即Mk=S1+S3+S5++S2k-1=k.

事实上,由题设可知

Sn是由1+2+3++(n-1)+1=+1开始的n个连续自然数的和.

因此Sn=+1++2+++n=,

因此S2k+1==(2k+1)(2k2+2k+1)=4k3+6k2+4k+1,

从而Mk+1=Mk+S2k+1=k4+4k3+6k2+4k+1=(k+1)4,

因此猜想在n=k+1时也成立.

综合(1)(2)可知猜想对任何n∈N+都成立.

13.(1)解由已知,得f1(x)=f'0(x)='=-,于是

f2(x)=f'1(x)='-'

=--+,

因此f1=-,f2=-+,

故2f1+f2=-1.

证明由已知,得xf0(x)=sinx,等式两边分别对x求导,得

f0(x)+xf'0(x)=cosx,即f0(x)+xf1(x)=cosx=sinx+,近似可

得,2f1(x)+xf2(x)=-sinx=sin(x+π),3f2(x)+xf3(x)=-

cosx=sinx+,4f3(x)+xf4(x)=sinx=sin(x+2π).

下面用数学归纳法证明等式nfn-1(x)+xfn(x)=sinx+对所有的x∈N+都

成立.

①当n=1时,由上可知等式成立.

②假设当n=k时,等式成立,即kfk-1(x)+xfk(x)=sinx+.因为[kfk-

1(x)