二项分布数学期望与方差专题复习有详解重点中学用

二项散布数学希望与方差专题复习有详解重点中学用二项散布数学希望与方差专题复习有详解重点中学用二项散布数学希望与方差专题复习有详解重点中学用第十讲二项散布及应用随机变量的均值与方差知识重点事件的互相独立性(概率的乘法公式)A、B两个事件，假如P(AB)＝P(A)P(B)，称事件A与事件B互相独立．互斥事件概率的加法公式：假如事件A与事件B互斥，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．3.立事件的概率：假定事件A与事件B互立事件，P(A)＝1－P(B)．4.条件概率的加法公式：假定B、C是两个互斥事件，P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)5.独立重复：在同样条件下重复做的n次称n次独立重复，即假定用i(i＝1,2，⋯，n)表A示第i次果，P(A1A2A3⋯An)＝P(A1)P(A2)P(A3)⋯P(An)．注：判断某事件生是不是独立重复，关有两点在同的条件下重复，互相独立行；(2)果要么生，要么不生．6.二散布：在n次独立重复中，事件A生的次数X，在每次中事件A生的概率p，kk－p)n－k(k＝0,1,2，⋯，n)，那么在n次独立重复中，事件A恰巧生k次的概率P(X＝k)＝Cnp·(1此称随机量X遵照二散布，作～(，)，并称p成功概率．XBnp注：判断一个随机量能否遵照二散布，要看两点(1)能否n次独立重复．(2)随机量能否在n次独立重复中某事件生的次数．失散型随机量的均与方差及其性定：假定失散型随机量X的散布列P(ξ＝xi)＝pi，i＝1,2，⋯，n.(1)均：称E(X)＝xp＋xp＋⋯＋xp＋⋯＋xp随机量X的均或数学希望．1122iinnn(2)方差：( )＝∑(xi－())2i随机量X的方差，其算平方根DX随机量X的准差．DXEXpi＝1(3)均与方差的性：(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b常数)两点散布与二散布的均、方差量

X遵照两点散布：

E(X)＝p

，

D(X)＝p(1－p)；

X～B(n，p)：

E(X)＝np

，D(X)＝np(1－p)典例精析例1.【2021

高考四川，理

17】某市

A,B两所中学的学生参加，

A中学介绍

3名男生，2名女生，B中学介绍了

3名男生，

4名女生，两校介绍的学生一同参加集，因为集后的水平相当，从参加集的男生中随机抽取

3人，女生中随机抽取

3人成代表〔1〕求

A中学最罕有

1名学生入代表的概率

.〔2〕某比前，从代表的

6名中随机抽取

4人参，

X表示参的男生人数，求

X得散布列和数学希望

.例2．如图，用K、A1、A2三类不同样的元件连结成一个系统．当K正常工作且A1、A2最罕有一个正常工作时，系统正常工作．K、A1、A2正常工作的概率挨次为、、，那么系统正常工作的概率为()A．B．C．D．例3.(2021·山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，商定先胜3局者获取比赛的成功，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其他每局比赛甲队获胜的概率都是，假定各局比赛结果互相独立．23(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2成功的概率．(2)假定比赛结果为3∶0或3∶1，那么成功方得3分，对方得0分；假定比赛结果为3∶2，那么成功方得2分，对方得1分．求乙队得分X的散布列及数学希望．例4.为贯彻“激情工作，快乐生活〞的理念，某单位在工作之余举行兴趣知识有奖比赛，比赛分初赛和决赛两局部，为了增添节目的兴趣性，初赛采纳选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的时机，选手累计答对3题或答错3题即停止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者那么被2裁汰，选手甲答题的正确率为3.求选手甲答题次数不超出4次可进入决赛的概率；设选手甲在初赛中答题的个数ξ，试写出ξ的散布列，并求ξ的数学希望．例5.(2021·福建高考改编)为回馈顾客，某商场拟经过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖赏，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖赏额．假定袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其他3个均为10元．求：①顾客所获的奖赏额为60元的概率；②顾客所获的奖赏额的散布列及数学希望．商场对奖赏总数的估计是60000元，为了使顾客获取的奖赏总数尽可能符合商场的估计且每位顾客所获的奖赏额相对平衡．下边给出两种方案：方案1：4个球中所标面值分别为10元，10元，50元，50元；方案2：4个球中所标面值分别为20元，20元，40元，40元．假如你作为商场经理，更偏向选择哪一种方案例6．(13分)以以下列图，是某城市经过抽样获取的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频次散布直方图．求直方图中x的值；(2)假定将频次视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的散布列、数学希望与方差．例7．(12分)某网站用“10分制〞检查一社区人们的幸福度．现从检查人群中随机抽取图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶

16名，以下茎叶)：指出这组数据的众数和中位数；(2)假定幸福度不低于9，那么称该人的幸福度为“极幸福〞．求从这16人中随机采纳

3人，至多有1人是“极幸福〞的概率；(3)以这

16人的样本数据来预计整个社区的整体数据，假定从该社区

(人数好多

)任选

3人，记

ξ表示抽到“极幸福〞的人数，求

ξ

的散布列及数学希望．例8.【2021高考湖南，理18】某商场举行有奖促销活动，顾客购买必定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的个球中，假定都是红球，那么获一等奖；假定只有1个红球，那么获二等奖；假定没有红球，那么不获奖.

2〔1〕求顾客抽奖

1次能获奖的概率；〔2〕假定某顾客有

3次抽奖时机，记该顾客在

3次抽奖中获一等奖的次数为

，求

的散布列和数学希望

.例9.〔2021河北张家口市三模21〕〔本小题总分值12分〕设函数fx＝ex－－1x－ax2．(Ⅰ)假定a＝0，求fx的单一区间；(Ⅱ)假定当x0时，fx0，求a的取值范围．参照答案例1.【2021B中学介绍了

高考四川，理3名男生，

17】某市A,B两所中学的学生组队参加争辩赛，A中学介绍3名男生，2名女生，4名女生，两校介绍的学生一同参加集训，因为集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取

3人，女生中随机抽取

3人构成代表队〔1〕求A中学最罕有1名学生当选代表队的概率.〔2〕某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取和数学希望.

4人参赛，设

X表示参赛的男生人数，求

X得散布列【答案】〔1〕A中学最少1名学生当选的概率为p99.100〔2〕X的散布列为：X的希望为E(X)2.【分析】〔1〕由题意，参加集训的男女生各有6名.参赛学生全从B中抽取〔等价于A中没有学生当选代表队〕的概率为C33C431C63C63.100所以，A中学最少1991名学生当选的概率为1.100100〔2〕依据题意，X的可能取值为1，2，3.C31C331C32C323C33C311P(X1)，P(X2)C64，P(X3)C64，C64555所以X的散布列为：所以，X的希望为E(X)13112532.55例2．如图10－8－1，用K、A1、A2三类不同样的元件连结成一个系统．当K正常工作且A1、A2最罕有一个正常工作时，系统正常工作．K、A1、A2正常工作的概率挨次为、、，那么系统正常工作的概率为(B)A．B．C．D．【答案】BA1、A2最罕有一个正常工作的概率为P1(10.8)2，那么系统正常工作的概率为PK例3.(2013·山东高考

)甲、乙两支排球队进行比赛，商定先胜

3局者获取比赛的成功，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是

12外，其他每局比赛甲队获胜的概率都是

23，假定各局比赛结果互相独立．分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2成功的概率．假定比赛结果为3∶0或3∶1，那么成功方得3分，对方得0分；假定比赛结果为3∶2，那么成功方得2分，对方得1分．求乙队得分X的散布列及数学希望．【试一试解答】(1)记“甲队以3∶0成功〞为事件A1，“甲队以3∶1成功〞为事件A2，“甲队以3∶2成功〞为事件A3，由题意，各局比赛结果互相独立，故PA1＝238222－228PA3222－2214)3PA2)＝313×＝，)＝413×＝27.(＝27，(C3327(C3284所以甲队以3∶0成功，以3∶1成功的概率都为27，以3∶2成功的概率为27.设“乙队以3∶2成功〞为事件A4，由题意，各局比赛结果互相独立，2222214所以P(A4)＝C41－33×1－2＝27.由题意，随机变量X的全部可能的取值为0,1,2,3，依据事件的互斥性得PX＝0)＝PA1＋A2)＝PA1)＋PA2＝16又PX＝1)＝PA3＝4，PX＝2)＝PA4＝(((( )27.(( )27(( )427，P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝273，故X的散布列为X0123P1644327272727164437所以EX＝0×27＋1×27＋2×27＋3×27＝9.例4.为贯彻“激情工作，快乐生活〞的理念，某单位在工作之余举行兴趣知识有奖比赛，比赛分初赛和决赛两局部，为了增添节目的兴趣性，初赛采纳选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的时机，选手累计答对3题或答错3题即停止其初赛的比赛，答2对3题者直接进入决赛，答错3题者那么被裁汰，选手甲答题的正确率为3.求选手甲答题次数不超出4次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数ξ，试写出ξ的散布列，并求ξ的数学希望．【试一试解答】(1)选手甲答3道题进入决赛的概率为23＝8，327222128选手甲答4道题进入决赛的概率为C3·3·3·3＝27，8816∴选手甲答题次数不超出4次可进入决赛的概率P＝27＋27＝27；(2)依题意，ξ的可取取值为3、4、5，那么有P(ξ＝3)＝231313＋3＝3，22212212211022212222P(ξ＝4)＝C3·3·3·3＋C3·3·3·3＝27，P(ξ＝5)＝C4·3·3·3＋C4·321218·3·3＝27，所以，有ξ345P1108327271108107∴Eξ＝3×3＋4×27＋5×27＝27.规律方法2求失散型随机变量的均值与方差的方法：(1)先求随机变量的散布列，然后利用均值与方差的定义求解．(2)假定随机变量X～Bn，p，那么可直接使用公式EX＝np，()( )D(X)＝np(1－p)求解．例5.(2021·福建高考改编)为回馈顾客，某商场拟经过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖赏，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖赏额．假定袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其他3个均为10元．求：①顾客所获的奖赏额为60元的概率；②顾客所获的奖赏额的散布列及数学希望．商场对奖赏总数的估计是60000元，为了使顾客获取的奖赏总数尽可能符合商场的估计且每位顾客所获的奖赏额相对平衡．下边给出两种方案：方案方案

1：4个球中所标面值分别为2：4个球中所标面值分别为

10元，10元，50元，5020元，20元，40元，40

元；元．假如你作为商场经理，更偏向选择哪一种方案【解答】(1)设顾客所获的奖赏额为X.1111①依题意，得PX＝＝C1C3＝2，即顾客所获的奖赏额为(60)C4602.211②依题意，得X的全部可能取值为20,(X＝20)C3PX＝60)C42(2即X的散布列为X2060P1122所以顾客所获的奖赏额的数学希望为EX＝11元．( )20260240()关于方案1：设每位顾客获取的奖赏额为X1元，那么随机变量X1的散布列为X12060100P121636∴数学希望EX1＝121，()206603100660方差DX1)＝20－602260)2＋100－602＝1600(6＋3×(60－63.关于方案：设顾客获取的奖赏额为X2元，那么X2的散布列为2X2406080P121636∴数学希望EX2)＝121，×＋×＋×＝(40660380660方差DX2)＝40－602260)2＋80－602400(6＋3×(60－6＝3.依据估计，每个顾客的均匀奖赏额为60元，且EX1)＝EX2)＝，DX1DX2．((60()>( )所以，依据商场的假想，应选择方案2.例6.如图10－9－4所示，是某城市经过抽样获取的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率散布直方图．图10－9－4求直方图中x的值；假定将频次视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的散布列、数学希望与方差．【解】(1)依题意及频次散布直方图知，0．02＋＋x＋＋＝1，解得x＝.(2)由题意知，X～B．所以PX＝0)0＝3×＝，(3,(CPX＝1＝2××＝，1)＝3××＝，PX＝2)3(C(CPX＝3)3.＝3×＝(C故随机变量X的散布列为X0123PX的数学希望为E(X)＝3×＝.X的方差为D(X)＝3××(1－＝.例7．某网站用“10分制〞检查一社区人们的幸福度．现从检查人群中随机抽取16名，以下茎叶图10－9－3记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：图10－9－3指出这组数据的众数和中位数；(2)假定幸福度不低于9，那么称该人的幸福度为“极幸福〞．求从这16人中随机采纳3人，至多有1人是“极幸福〞的概率；(3)以这16人的样本数据来预计整个社区的整体数据，假定从该社区(人数好多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福〞的人数，求ξ的散布列及数学希望．【解】(1)众数：8,6；中位数：(2)由茎叶图可知，幸福度为“极幸福〞的人有4人．设Ai表示所取3人中有i个人是“极幸福〞，至多有1人是“极幸福〞记为事件A，C123C41C122121那么P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝3＋3＝140C16C1641从16人的样本数据中随意采纳1人，抽到“极幸福〞的人的概率为16＝4，故依1题意可知，从该社区中任选1人，抽到“极幸福〞的人的概率P＝4ξ的可能取值为0,1,2,3Pξ＝0)＝3327Pξ＝1)1132＝274＝3464(＝64；(C421239131P(ξ＝2)＝C344＝64；P(ξ＝3)＝4＝64所以ξ的散布列为ξ0123P27279164646464272791Eξ＝0×64＋1×64＋2×64＋3×64＝11另解由题可知ξ～B3，4，所以Eξ＝3×4＝.例8.【2021高考湖南，理18】某商场举行有奖促销活动，顾客购买必定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，假定都是红球，那么获一等奖；假定只有1个红球，那么获二等奖；假定没有红球，那么不获奖.〔1〕求顾客抽奖1次能获奖的概率；〔2〕假定某顾客有3次抽奖时机，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的散布列和数学希望.【答案】〔1〕7；〔2〕详看法析.10【分析】试题分析：〔1〕记事件A1｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，A2｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝B1｛顾客抽奖1次获一等奖｝，B2｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C｛顾客抽奖1次能获奖｝，那么可知A1与A2互相独立，A1A2与A1A2互斥，B1与B2互斥，且B1A1A2，B2A1A2A1A2，CB1B2，再利用概率的加法公式即可求解；〔2〕分析题意可知X:B(3,1)，分别求得5P(X0)C30(1)0(4)364，P(X1)C31(1)1(4)248，P(X2)C32(1)2(4)112，551255512555125P(X3)313(4)01，即可知X的概率散布及其希望.C3()51255试题分析：〔1〕记事件A1｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，A2｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝B1｛顾客抽奖1次获一等奖｝，B2｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意，A1与A2互相独立，A1A2与A1A2互斥，B1与B2互斥，且B1A1A2，B2A1A2A1A2，CB1B2，∵P(A1)42P(A2)51，∴P(B1)P(A1A2)P(A1)P(A2)21110，10252，55P(B2)P(A1A2A1A2)P(A1A2)P(A1A2)P(A1)(1P(A2))(1P(A1))P(A2)2(11)(12)11，故所求概率为P(C)P(BB)P(B)P(B)117；52522121252102〕顾【考点定位】1.概率的加法公式；2.失散型随机变量的概率散布与希望.【名师点睛】本题主要察看了失散型随机变量的概率散布与希望以及概率统计在生活中的实质应用，这向来都是高考命题的热门，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热门问题转变，而且与统计的联系愈来愈亲密，与统计中的抽样，频次散布直方图等基础知识综合的试题渐渐增添，在复习时应予以关注.例9.【2021高考四川，理21】函数f(x)2(xa)lnxx22ax2a2a，此中a0.〔1〕设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单一性；〔2〕证明：存在a(0,1)，使得f(x)0在区间(1,+)内恒建立，且f(x)0在(1,+)内有独一解.【答案】〔1〕当01114a114a,)上单一递加，在区间a时，g(x)在区间(0,2),(24(114a,114a)上单一递减；当a1时，g(x)在区间(0,)上单一递加.〔2〕详看法析.224【分析】〔1〕由，函数f(x)的定义域为(0,)，a)，所以g(x)22a2(x1)22(a1)g(x)f(x)2x2a2lnx2(12