概率统计正态分布总体均值和方差区间估计

正态分布总体均值和方差的区间估主要研方差的区间估1对区间估计的合理要1212212

尽可能

ˆ

尽可能一：均值EX的区间估方差DX已知,对EX进行区间估设总体

~N(,2

其中

2已知x,x xn,, 为来自于总体的样x,x xn xn

xn)

N(, nnU xn

~N对于给定的,

可以找到一个

z2

|1

1}}2P即xP即

1nnn n

12 Px

2

x

2

1nn n 落n

2

,

n n内的概

1区 nn nn

2

,

的置信

1 为在置z2z

1下的临界值，或称为标准正态分布的双侧分位查标准正态分

z

z0.975

2 nn的置信nn

,x 0.01时z

z0.995

nn的置nn

,

比较可知越大,则1越小,置信区落在区间内的把握也就越小因此,在实际应用中,要适当选取常取

例1：.6，6只,测得直径的数据（mm）为 试求该批滚珠平均直径的95％置信区间解当

时

查表

z

z0.975

x6

15.1

14.8

0.06, nn6 6

n6n6

故所求置信区间为注对于不是服从正态分布的总体，只要足够大，则由中心极限定理，随DXYDX

近似地服从标准正态分布，因此仍然可x

2

,

nz nz nEX的置信区间，但此时仍然又多了n方差DX未知,对EX进行区间估设总体

~N(,2

其中

2x,x xn,, 为来自于总体的样x,x xn用样本1

s2来代替总体方差xn(x1x2

xn)

N(, nUxnnn

~Ns

(xn1in1i

x)2V(n1)s

~2

统计nV(nTxnV(n

~t(n

s对于给定的, 查t分布表可得临界t2

使PT

(n1)1222PTxxs

2

(n

1PPnn

2

(n

1snPxn

2

(n

x

2

(n

1nn得均值的置信区间nn snn

2

(n

,

2

(n

9时,查t分布表得临界2

在方差

未知的情况下的置信区间 s99 x, 99例2设有某种产品，其长度服从正态分布，x

样本标

s试求该产品平均长度的90％置 当0.10,n 时查t分布表

t

tt

x

n n

2x 2

1)

nn置信区间为例3设灯泡的服从正态分布,现从一批灯泡中随机地抽取6只,测得的数值(单位:h)为1020,1010,1050,1040,1050，1030求灯泡平均值的置信度为0.95的单侧置解由于总体方差未知，故统计nTxn

t(n

s对给定

,查t分布表可得临

t(nt(n

使

tt

(n1)

1

x

(n

1ns ns即P

x

(n

s1nn由此得到

的置信度为1的单侧置信区n ntt

(n

的置信

1

的单侧置信下nx1nx1

(n1)11 nt1(n1) t0.95(5)x1033.3,s代入得单侧置信下限611033.361

总结解决此问题的一般找一个的点估计

xn选取适当的统计选取适当的常数

对于给定的(0

使

b1

1ˆ1

,,

xn

,,

xn212212

就是所求置信区间2.13,2.12,2.14,2.10,2.13,2.12,2.14,2.10,设该零件长度服从正态试求总体均值

的90％置信区已

未解

的置信度为1

的置信区间x 1

nn,xnn2因为

所 z

x

代入nx z n2 nx z n2所以,所求置信区间为(2)未知,

的置信度为1

的置信区间nn snn2

(n

,

2

(n当

n=16时

t(n1)

x

s

代入所求置信区间为x,x xn二.方差DX的区x,x xn设总体

~N(,2

,,为来自于总体考虑统(n1)s

~2

Y 对于给定的,

查

分布表，可得临界22

2及及2

(n1),使PY

12

22

1)2P2

1 即P

2

1)

(n1)s

(n

1 P

(n1)s

(n1)s

1

2

(n

222

因此

N(,

)中的参为未知的情况下，方差

的置信区间

1)s2

(n1)s2 (n1)

2(n1)

(n1),

(n临界 2

2

不是唯一的可以选

23

13

(n5X服从正态分布，现抽取1个零件，测得长度（位：mm）如下：12.06试求DX的置信度为95%的置信区间解：经计算可得x12.075,s 查

分布表

/

1)

2

1/

1)

2

(n1)s

150.002442(n2

(n1)s

150.0024422

(n

DX的置信度为95%的置信区§8.4二正态总体均值差和方差比的区间估计设x1,

y1,

分别来正态总

N(1,

2)

N(2

,2)的两独12相应的样本均值和样本方差分别记12mx,sm

n和ysn求

的置信和 1：和

都已2 2 221x~N,11

y~N,2 m

n xy

N

2

, m

2n(x

y)

2

N2 m n如同2 m n

2

的置信区间2 2 mn2 mnx

y

,x

y 2：方

都未ms和 n只要m,n足够大，ms和 n

s2

2分别代1,22, 并1,2ms2s2ms2s2mnms2s2mnxyz

xyz 2作为

2的近似置信区3mn(mnmn(mnm11

2

且为未(x

(m1)S2(m1)S2(n1)Smn

2 ~t(mn可得

的置信区间x

y

2

(m

n (m(m1)s2(n1)smnmmn(mn二正态总体方差比的区间估设二正态总体

,

和N(2

,2 其)21参数均为未知s2,s2)21

是分别来自于两总 且容量各为m和n的独立样本的方差考虑统

s2/s212 12由(m1)s

2/

(n1)s

2(m

2

所以

21/(m2

s2/s2

~

F

1,

(n1)s

2/ 2

22对于给定的