圆的方程点直线圆的位置关系高考数学考点回归总复习课件

共54页1第三十九讲圆的方程､点､直线､圆的位置关系共54页1第三十九讲圆的方程､点､直线､圆的位置关系共54页2回归课本1.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中圆心为(a,b),半径为r.2.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),其中圆心为半径若D2+E2-4F=0,则表示点若D2+E2-4F<0,则不表示任何曲线.共54页2回归课本共54页33.点与圆的位置关系及判断(1)设点P到圆心的距离为d,圆半径为r,点P在圆外⇔d>r;点P在圆上⇔d=r;点P在圆内⇔d<r.(2)点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系可以这样判断:当(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点P在圆外;当(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点P在圆上;当(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点P在圆内.共54页33.点与圆的位置关系及判断共54页4

(3)设P(x0,y0),圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,则P在圆外⇔x20+y20+Dx0+Ey0+F>0;P在圆上⇔x20+y20+Dx0+Ey0+F=0;P在圆内⇔x20+y20+Dx0+Ey0+F<0.共54页4 (3)设P(x0,y0),圆的方程x2+y2共54页54.直线与圆的三种位置关系及公共点个数位置关系公共点个数相交2个相切1个相离0个共54页54.直线与圆的三种位置关系及公共点个数位置关系共54页65.直线:Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系的判断方法有:(1)几何方法圆心(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d<r⇔直线与圆相交;d=r⇔直线与圆相切;d>r⇔直线与圆相离.共54页65.直线:Ax+By+C=0与圆(x-a)2+共54页7(2)代数方法由 消元,得到一元二次方程其判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆相交;Δ=0⇔直线与圆相切;Δ<0⇔直线与圆相离.共54页7(2)代数方法共54页86.圆与圆的位置关系有五种,分别为相离､外切､相交､内切､内含.7.两圆位置关系的判断方法:两圆(x-a1)2+(y-b1)2=r21(r1>0)与(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2>0)的圆心距为d,则d>r1+r2⇔两圆相离;d=r1+r2⇔两圆外切;|r1-r2|<d<r1+r2⇔两圆相交;d=|r1-r2|⇔两圆内切;0≤d<|r1-r2|⇔两圆内含.(d=0,且r1≠r2时为同心圆)共54页86.圆与圆的位置关系有五种,分别为相离､外切､共54页9考点陪练1.(改编题)当a取不同值时,由方程x2+y2+2ax+2ay-1=0可以得到不同的圆.则()A.这些圆的圆心都在直线y=x上B.这些圆的圆心都在直线y=-x上C.这些圆的圆心都在直线y=x或y=-x上D.这些圆的圆心不在同一条直线上答案:A共54页9考点陪练共54页10答案:D共54页10答案:D共54页113.以线段AB:x+y-2=0(0≤x≤2)为直径的圆的标准方程为()A.(x+1)2+(y+1)2=2 B.(x-1)2+(y-1)2=2C.(x+1)2+(y+1)2=8 D.(x-1)2+(y-1)2=8解析:易得AB两端点分别为(0,2),(2,0),故圆心(1,1),半径所以圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.答案:B共54页113.以线段AB:x+y-2=0(0≤x≤2)共54页12共54页12共54页13解析:数形结合的方法.如图所示,∠CAB=∠BAD=30°,∴直线l的倾斜角θ的取值范围为[0°,30°]∪[150°,180°).∴直线l的斜率的取值范围为答案:C共54页13解析:数形结合的方法.共54页145.已知a>b>0且a=2c,方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)()A.必在圆x2+y2=2内B.必在圆x2+y2=2上C.必在圆x2+y2=2外D.以上三种情况都有可能共54页145.已知a>b>0且a=2c,方程ax2+b共54页15答案:A评析:本题综合考查了韦达定理以及点与圆的位置关系.共54页15答案:A评析:本题综合考查了韦达定理以及点与共54页16类型一求圆的方程解题准备:无论是圆的标准方程还是圆的一般方程,都有三个待定系数,因此求圆的方程,应用三个条件来求.一般地,已知圆心或半径的条件,选用圆的标准式,否则选用一般式.另外,还有几何法可以用来求圆的方程.要充分利用圆的有关几何性质,如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”“半径,弦心距,弦长的一半构成直角三角形”等.共54页16类型一求圆的方程共54页17【典例1】求过两点A(1,4)､B(3,2)且圆心在直线y=0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.[分析]欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标和圆的半径的大小,而要判断点P与圆的位置关系,只需看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系;若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内.共54页17【典例1】求过两点A(1,4)､B(3,2)共54页18

[解]解法一:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.∵圆心在y=0上,故b=0.∴圆的方程为(x-a)2+y2=r2.又∵该圆过A(1,4)、B(3,2)两点.所以所求圆的方程为(x+1)2+y2=20.共54页18[解]解法一:设圆的标准方程为(x-a)2共54页19共54页19共54页20共54页20共54页21共54页21共54页22

[反思感悟](1)本题解法一与解法二都使用了待定系数法,其中解法一设了圆的标准方程,解法二设了圆的一般方程,都是结合条件来求所设方程中的待定系数;解法三则应用了平面几何知识:圆心与弦的中点的连线与弦垂直.一般而言,在解析几何问题中,能用上平面几何知识,会使解题变得相对简单.(2)无论哪种解法,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量,然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系.共54页22[反思感悟](1)本题解法一与解法二都使用共54页23类型二 直线与圆的位置关系解题准备:1.直线与圆位置关系的判定方法:(1)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小判断.当d<r时,直线与圆相交;当d=r时,直线与圆相切;当d>r时,直线与圆相离.共54页23类型二 直线与圆的位置关系共54页24(2)代数法:通过直线方程与圆的方程所组成的方程组,根据解的个数来研究.若有两组不同的实数解,即Δ>0,则直线与圆相交;若有两组相同的实数解,即Δ=0,则直线与圆相切;若无实数解,即Δ<0,则直线与圆相离.共54页24(2)代数法:通过直线方程与圆的方程所组成的共54页252.若直线与圆相交,则直线被圆截得的弦长3.以圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)为切点的切线方程为x0x+y0y=r2.共54页252.若直线与圆相交,则直线被圆截得的弦长共54页26【典例2】已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R).(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交;(2)求直线l被圆C截得弦长最短长度及此时l的直线方程.共54页26【典例2】已知圆C:(x-1)2+(y-2)共54页27

[解析](1)直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不论m为任何实数,它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.两方程联立,解得交点为(3,1),又有(3-1)2+(1-2)2=5<25,∴点(3,1)在圆内部.∴不论m为何实数,直线l与圆恒相交.共54页27 [解析](1)直线l可化为x+y-4+m(共54页28共54页28共54页29类型三 圆与圆的位置关系解题准备:判断圆与圆的位置关系常用几何法:设两圆圆心分别为O1､O2,半径为r1、r2,则|O1O2|>r1+r2⇔相离;|O1O2|=r1+r2⇔外切;|r1-r2|<|O1O2|<r1+r2⇔相交;|O1O2|=|r1-r2|⇔内切;0<|O1O2|<|r1-r2|⇔内含.共54页29类型三 圆与圆的位置关系共54页30【典例3】已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,试就m的取值讨论两圆的位置关系.[分析]求两圆的圆心距d,判断d与R+r,R-r的关系.共54页30【典例3】已知圆C1:x2+y2-2mx+4共54页31共54页31共54页32共54页32共54页33(3)当r1-r2<|C1C2|<r1+r2,即-5<m<-2或-1<m<2时,两圆相交;(4)当|C1C2|>r1+r2,即m<-5或m>2时,两圆外离; (5)当|C1C2|<r1-r2,即-2<m<-1时,两圆内含.

共54页33(3)当r1-r2<|C1C2|<r1+r2共54页34[反思感悟]不根据圆心距与两圆半径的和、差关系,确定两圆位置关系,或用代数法求解,造成计算繁琐.在讨论两圆的位置关系时,一般用几何法而不用代数法,关于两圆的位置关系的讨论,应明确圆心距和两圆半径之间的和差关系.共54页34[反思感悟]不根据圆心距与两圆半径的和、差关共54页35错源一 忽视特殊情形【典例1】已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线a过点P(2,3)且与圆M交于A,B两点,且求直线a的方程.共54页35错源一 忽视特殊情形共54页36[错解]设直线a的方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.作示意图如图,作MC⊥AB于C.在直角三角形MBC中,

由点到直线的距离公式得 解得所以直线a的方程为3x-4y+6=0.共54页36[错解]设直线a的方程为y-3=k(x-2)共54页37

[剖析]忽视了直线a的斜率不存在情形.共54页37[剖析]忽视了直线a的斜率不存在情形.共54页38错源二 以偏概全【典例2】求与圆C:(x-2)2+(y-1)2=4和直线y=0都相切且半径为1的圆的方程.[错解]因为所求的圆与圆C和直线y=0都相切且半径为1,所以设其圆心为(a,1),则整理得a2-4a-5=0,解得a=5或a=-1.所以所求的圆的方程为(x-5)2+(y-1)2=1或(x+1)2+(y-1)2=1.共54页38错源二 以偏概全共54页39

[剖析]错解中共有两处错误:1.所求的圆与圆C和直线y=0都相切,圆不一定在y=0的上方,也有可能在下方,所以设圆心为(a,1)是错误的;2.两圆相切不一定是外切,也有可能是内切,所以 是错误的,没有考虑内切的情形.共54页39 [剖析]错解中共有两处错误:1.所求的圆与共54页40共54页40共54页41共54页41共54页42共54页42共54页43四种方法确定圆的方程技法一当圆内接一个三角形时如何确定圆的方程【典例1】已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(4,1),B(6,-3),C(-3,0),求△ABC外接圆的方程.共54页43四种方法确定圆的方程共54页44[解题切入点]这道题可从两个角度来思考:(1)待定系数法,这是一种常用的方法.也就是设出圆的一般式方程,然后确定其中未知系数,但这种方法较机械且计算量较大;(2)可以利用△ABC外接圆的圆心处在三条边的垂直平分线上,所以可以先求其中两条边的垂直平分线方程,求得的交点坐标就是圆心坐标.共54页44[解题切入点]这道题可从两个角度来思考:(1共54页45共54页45共54页46共54页46共54页47

[方法与技巧]相比较而言,应当特别重视解法二的解题思路.这是一种程序化的解题过程,记住一题,则可通过这一方法解决所有类似问题.共54页47 [方法与技巧]相比较而言,应当特别重视解法共54页48技法二当圆心在直线上,且已知圆上两点时如何确定圆的方程【典例2】已知一圆经过点A(2,-3)和点B(-2,-5),且圆心C在直线l:x-2y-3=0上,求此圆的标准方程.[解题切入点]圆的任何一条弦的垂直平分线都经过圆心,于是弦AB的垂直平分线必和直线l:x-2y-3=0相交于圆心.共54页48技法二当圆心在直线上,且已知圆上两点时如共54页49共54页49共54页50[方法与技巧]当圆心在直线上时,一般可阐述如下问题:(1)该直线与任何一条弦的垂直平分线都相交于圆心;(2)该直线将圆平分为面积相等的两部分;(3)该直线与圆产生的相交弦的弦长的一半为圆半径.共54页50[方法与技巧]当圆心在直线上时,一般可阐述如共54页51技法三当圆心在直线上,且已知圆的一条切线时如何确定圆的方程【典例3】求经过点A(2,-1)和直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上的圆的方程.[解题切入点]已知圆的一条切线时,圆心到切线的距离就等于半径.此时,可用点到直线的距离公式建立等式求圆心坐标或是半径.共54页51技法三当圆心在直线上,且已知圆的一条切线共54页52共54页52共54页53技法四当圆过已知圆与直线的交点时,如何确定圆的方程【典例4】已知圆x2+y2+x-6y+3=0与直线x+2y-3=0的两个交点为P,Q,求以PQ为直径的圆的方程.[解题切入点]这类题目最直观的解法就是求出两交点的坐标,及由题目给出的数量关系求出半径,即可求出圆的方程.共54页53技法四当圆过已知圆与直线的交点时,如何共54页54共54页54共54页55第三十九讲圆的方程､点､直线､圆的位置关系共54页1第三十九讲圆的方程､点､直线､圆的位置关系共54页56回归课本1.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中圆心为(a,b),半径为r.2.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),其中圆心为半径若D2+E2-4F=0,则表示点若D2+E2-4F<0,则不表示任何曲线.共54页2回归课本共54页573.点与圆的位置关系及判断(1)设点P到圆心的距离为d,圆半径为r,点P在圆外⇔d>r;点P在圆上⇔d=r;点P在圆内⇔d<r.(2)点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系可以这样判断:当(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点P在圆外;当(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点P在圆上;当(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点P在圆内.共54页33.点与圆的位置关系及判断共54页58

(3)设P(x0,y0),圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,则P在圆外⇔x20+y20+Dx0+Ey0+F>0;P在圆上⇔x20+y20+Dx0+Ey0+F=0;P在圆内⇔x20+y20+Dx0+Ey0+F<0.共54页4 (3)设P(x0,y0),圆的方程x2+y2共54页594.直线与圆的三种位置关系及公共点个数位置关系公共点个数相交2个相切1个相离0个共54页54.直线与圆的三种位置关系及公共点个数位置关系共54页605.直线:Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系的判断方法有:(1)几何方法圆心(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d<r⇔直线与圆相交;d=r⇔直线与圆相切;d>r⇔直线与圆相离.共54页65.直线:Ax+By+C=0与圆(x-a)2+共54页61(2)代数方法由 消元,得到一元二次方程其判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆相交;Δ=0⇔直线与圆相切;Δ<0⇔直线与圆相离.共54页7(2)代数方法共54页626.圆与圆的位置关系有五种,分别为相离､外切､相交､内切､内含.7.两圆位置关系的判断方法:两圆(x-a1)2+(y-b1)2=r21(r1>0)与(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2>0)的圆心距为d,则d>r1+r2⇔两圆相离;d=r1+r2⇔两圆外切;|r1-r2|<d<r1+r2⇔两圆相交;d=|r1-r2|⇔两圆内切;0≤d<|r1-r2|⇔两圆内含.(d=0,且r1≠r2时为同心圆)共54页86.圆与圆的位置关系有五种,分别为相离､外切､共54页63考点陪练1.(改编题)当a取不同值时,由方程x2+y2+2ax+2ay-1=0可以得到不同的圆.则()A.这些圆的圆心都在直线y=x上B.这些圆的圆心都在直线y=-x上C.这些圆的圆心都在直线y=x或y=-x上D.这些圆的圆心不在同一条直线上答案:A共54页9考点陪练共54页64答案:D共54页10答案:D共54页653.以线段AB:x+y-2=0(0≤x≤2)为直径的圆的标准方程为()A.(x+1)2+(y+1)2=2 B.(x-1)2+(y-1)2=2C.(x+1)2+(y+1)2=8 D.(x-1)2+(y-1)2=8解析:易得AB两端点分别为(0,2),(2,0),故圆心(1,1),半径所以圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.答案:B共54页113.以线段AB:x+y-2=0(0≤x≤2)共54页66共54页12共54页67解析:数形结合的方法.如图所示,∠CAB=∠BAD=30°,∴直线l的倾斜角θ的取值范围为[0°,30°]∪[150°,180°).∴直线l的斜率的取值范围为答案:C共54页13解析:数形结合的方法.共54页685.已知a>b>0且a=2c,方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)()A.必在圆x2+y2=2内B.必在圆x2+y2=2上C.必在圆x2+y2=2外D.以上三种情况都有可能共54页145.已知a>b>0且a=2c,方程ax2+b共54页69答案:A评析:本题综合考查了韦达定理以及点与圆的位置关系.共54页15答案:A评析:本题综合考查了韦达定理以及点与共54页70类型一求圆的方程解题准备:无论是圆的标准方程还是圆的一般方程,都有三个待定系数,因此求圆的方程,应用三个条件来求.一般地,已知圆心或半径的条件,选用圆的标准式,否则选用一般式.另外,还有几何法可以用来求圆的方程.要充分利用圆的有关几何性质,如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”“半径,弦心距,弦长的一半构成直角三角形”等.共54页16类型一求圆的方程共54页71【典例1】求过两点A(1,4)､B(3,2)且圆心在直线y=0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.[分析]欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标和圆的半径的大小,而要判断点P与圆的位置关系,只需看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系;若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内.共54页17【典例1】求过两点A(1,4)､B(3,2)共54页72

[解]解法一:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.∵圆心在y=0上,故b=0.∴圆的方程为(x-a)2+y2=r2.又∵该圆过A(1,4)、B(3,2)两点.所以所求圆的方程为(x+1)2+y2=20.共54页18[解]解法一:设圆的标准方程为(x-a)2共54页73共54页19共54页74共54页20共54页75共54页21共54页76

[反思感悟](1)本题解法一与解法二都使用了待定系数法,其中解法一设了圆的标准方程,解法二设了圆的一般方程,都是结合条件来求所设方程中的待定系数;解法三则应用了平面几何知识:圆心与弦的中点的连线与弦垂直.一般而言,在解析几何问题中,能用上平面几何知识,会使解题变得相对简单.(2)无论哪种解法,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量,然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系.共54页22[反思感悟](1)本题解法一与解法二都使用共54页77类型二 直线与圆的位置关系解题准备:1.直线与圆位置关系的判定方法:(1)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小判断.当d<r时,直线与圆相交;当d=r时,直线与圆相切;当d>r时,直线与圆相离.共54页23类型二 直线与圆的位置关系共54页78(2)代数法:通过直线方程与圆的方程所组成的方程组,根据解的个数来研究.若有两组不同的实数解,即Δ>0,则直线与圆相交;若有两组相同的实数解,即Δ=0,则直线与圆相切;若无实数解,即Δ<0,则直线与圆相离.共54页24(2)代数法:通过直线方程与圆的方程所组成的共54页792.若直线与圆相交,则直线被圆截得的弦长3.以圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)为切点的切线方程为x0x+y0y=r2.共54页252.若直线与圆相交,则直线被圆截得的弦长共54页80【典例2】已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R).(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交;(2)求直线l被圆C截得弦长最短长度及此时l的直线方程.共54页26【典例2】已知圆C:(x-1)2+(y-2)共54页81

[解析](1)直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不论m为任何实数,它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.两方程联立,解得交点为(3,1),又有(3-1)2+(1-2)2=5<25,∴点(3,1)在圆内部.∴不论m为何实数,直线l与圆恒相交.共54页27 [解析](1)直线l可化为x+y-4+m(共54页82共54页28共54页83类型三 圆与圆的位置关系解题准备:判断圆与圆的位置关系常用几何法:设两圆圆心分别为O1､O2,半径为r1、r2,则|O1O2|>r1+r2⇔相离;|O1O2|=r1+r2⇔外切;|r1-r2|<|O1O2|<r1+r2⇔相交;|O1O2|=|r1-r2|⇔内切;0<|O1O2|<|r1-r2|⇔内含.共54页29类型三 圆与圆的位置关系共54页84【典例3】已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,试就m的取值讨论两圆的位置关系.[分析]求两圆的圆心距d,判断d与R+r,R-r的关系.共54页30【典例3】已知圆C1:x2+y2-2mx+4共54页85共54页31共54页86共54页32共54页87(3)当r1-r2<|C1C2|<r1+r2,即-5<m<-2或-1<m<2时,两圆相交;(4)当|C1C2|>r1+r2,即m<-5或m>2时,两圆外离; (5)当|C1C2|<r1-r2,即-2<m<-1时,两圆内含.

共54页33(3)当r1-r2<|C1C2|<r1+r2共54页88[反思感悟]不根据圆心距与两圆半径的和、差关系,确定两圆位置关系,或用代数法求解,造成计算繁琐.在讨论两圆的位置关系时,一般用几何法而不用代数法,关于两圆的位置关系的讨论,应明确圆心距和两圆半径之间的和差关系.共54页34[反思感悟]不根据圆心距与两圆半径的和、差关共54页89错源一 忽视特殊情形【典例1】已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线a过点P(2,3)且与圆M交于A,B两点,且求直线a的方程.共54页35错源一 忽视特殊情形共54页90[错解]设直线a的方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.作示意图如图,作MC⊥AB于C.在直角三角形MBC中,

由点到直线的距离公式得 解得所以直线a的方程为3x-4y+6=0.共54页36[错解]设直线a的方程为y-3=k(x-2)共54页91

[剖析]忽视了直线a的斜率不存在情形.共54页37[剖析]忽视了直线a的斜率不存在情形.共54页92错源二 以偏概全【典例2】求与圆C:(x-2)2+(y-1)2=4和直线y=0都相切且半径为1的圆的方程.[错解]因为所求的圆与圆C和直线y=0都相切且半径为1,所以设其圆心为(a,1),则整理得a2-4a-5=0,解得a=5或a=-1.所以所求的圆的方程为(x-5)2+(y-1)2=1或(x+1)2+(y-1)2=1.共54页38错源二 以偏概全共54页93

[剖析]错解中共有两处错误:1.所求的圆与圆C和直线y=0都相切,圆不一定在y=0的上方,也有可能在下方,所以设圆心为(a,1)是错误的;2.两圆相切不一定是