力法原理与应用T57

第15章力法15.1超静定结构的概念15.2力法的基本原理15.3超静定次数的确定与基本结构15.4力法典型方程15.5力法计算的应用15.6对称性的利用第15章力法学习目标通过本章的学习，熟悉超静定结构的概念，掌握力法的基本原理、力法典型方程，能够进行力法计算的应用。15.1超静定结构的概念

支座反力和各截面的内力都可以用静力平衡条件唯一确定。是没有多余联系的几何不变体系。

支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一确定，是有多余联系的几何不变体系。（1）静定结构

（2）静定结构

静定刚架

超静定刚架

有多余联系是超静定结构区别于静定结构的基本特性15.2力法的基本原理去掉多余联系用多余未知力来代替后得到的静定结构称为：按力法计算的基本结构15.2.1力法的基本结构

现在要设法解出基本结构的多余力X1，一旦求得多余力X1，就可在基本结构上用静力平衡条件求出原结构的所有反力和内力。因此多余力是最基本的未知力，又可称为力法的基本未知量。但是这个基本未知量X1不能用静力平衡条件求出，而必须根据基本结构的受力和变形与原结构相同的原则来确定。15.2.2力法的基本未知量用来确定X1的条件是：基本结构在原有荷载和多余力共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结构中相应的位移相等为了唯一确定超静定结构的反力和内力，必须同时考虑静力平衡条件和变形协调条件15.2.3力法的基本方程

若以11表示X1为单位力（即1=1）时，基本结构在X1作用点沿X1方向产生的位移，则有11=11X1,于是上式可写成(a)式(a)就是根据原结构的变形条件建立的用以确定X1的变形协调方程，即为力法基本方程。为了具体计算位移11和1p，分别绘出基本结构的单位弯矩图1（由单位力X1=1产生）和荷载弯矩图Mp（由荷载q产生），分别如图(a)(b)所示,用图乘法计计算这些位位移因此可解出出多余力X1多余力X1求出后，其其余所有反反力和内力力都可用静静力平衡条条件确定。。超静定结结构的最后后弯矩图M，可利用用已经绘出出的1和Mp图按按叠加原理理绘出，即即应用上式绘绘制弯矩图图时，可将将1图的纵标乘乘以X1倍，再与Mp图的的相应纵标标叠加，即即可绘出M图如图图(c)所示。综上所述可可知,力法法是以多余力作为基本未知知量量，，取取去去掉掉多多余余联联系系后后的的静静定定结结构构为为基基本结结构构，，并并根根据据去掉掉多多余余联联系系处的的已已知知位位移移条件件建建立立基本本方方程程，将将多多余余力力首首先先求求出出，，而而以后后的的计计算算即即与与静静定定结结构构无无异异。。它它可可用用来来分分析任任何何类类型型的的超超静静定定结结构构。。15.3超静静定定次次数数的的确确定定与与基基本本结结构构超静静定定次次数数：：多余余联联系系的的数数目目或或多多余余未未知知力力的的数数目目确定定超超静静定定次次数数最最直直接接的的方方法法就就是是在在原原结结构构上上去去掉掉多多余余联联系系，，直直至至超超静静定定结结构构变变成成静静定定结结构构，，所所去去掉掉的的多多余余联联系系的的数数目目，，就就是是原原结结构构的的超超静静定定次次数数。。从超超静静定定结结构构上上去去掉掉多多余余联联系系的的方方式式有有以以下下几几种种：：（1））去去掉掉支支座座处处的的支支杆杆或或切切断断一一根根链链杆杆，，相相当当下下去去掉掉一一个个联联系系，，如如图图(a)(b)所所示示；；（2））撤撤去去一一个个铰铰支支座座或或撤撤去去一一个个单单铰铰，，相相当当于于去去掉掉二二个个联联系系，，如如图图(c)(d)所所示示；；（3））切切断断一一根根梁梁式式杆杆或或去去掉掉一一个个固固定定支支座座，，相相当当于于去去掉掉三三个个联联系系，，如如图图(e)所所示示；；（4））将将一一刚刚结结点点改改为为单单铰铰联联结结成成或或将将一一个个固固定定支支座座改改为为固固定定铰铰支支座座，，相相当当于于去去掉掉一一个个联联系系，，如如图图(f)所所示示。。对于于同同一一个个超静静定定结结构构，可可用用各各种种不不同同的的方方式式去去掉掉多多余余联联系系而而得得到到不不同同的的静静定定结结构构。。因因此此在在力力法法计计算算中中，，同同一一结结构构的的基基本本结结构构可可有有各各种种不不同同的的形形式式。。但但应应注注意意，，去去掉掉多多余余联联系系后后，为了了保保证证基基本本结结构构的的几几何何不不变变性性，，有有时时结结构构中中的的某某些些联联系系是是不不能能去去掉掉的的。。如下图(a)所所示示刚刚架架，，具具有有一一个个多多余余联联系系。。若若将将横横梁梁某某处处改改为为铰铰接接，，即即相相当当于于去去掉掉一一个个联联系系得得到到图图(b)所所示示静静定定结结构构；；当去掉B支支座的水平链链杆则得到图图(c)所所示静定结构构，它们都可可作为基本结结构。若去掉A支支座的竖向链链杆或B支支座的竖向链链杆，即成瞬瞬变体系[图图(d)]所示，显然然是不允许的的，当然也就就不能作为基基本结构。图(a)所所示超静定结结构属内部超超静定结构，，因此，只能能在结构内部部去掉多余联联系得基本结结构，如图(b)所示示。对于具有多个个框格的结构构，按框格的的数目来确定超静定的的次数是较方方便的。一个个封闭的无铰铰框格，其超静静定次数等于于3，故当一一个结构有n个封闭无铰框格格时，其超静静定次数等于于3n。如下图(a)所所示结构的超超静定次数等等于3×8=24。当当结构的某些些结点为铰接接时，则一个个单铰减少一一个超静定次次数。下图(b)所所示结构的超超静定次数等等于：3×8-5=19。15.4力法典型方程程用力法计算超超静定结构的的关键在于根根据位移条件件建立力法的基基本方程，以求解多余余力。对于多多次超静定结结构，其计算算原理与一次次超静定结构构完全相同。。图(a)所所示为一个三三次超静定结结构，在荷载载作用下结构构的变形如图图中虚线所示示。用力法求求解时，去掉掉支座C的三三个多余联系系，并以相应应的多余力X1、X2和X3代替所去联系系的作用，则则得到图(b)所示的的基本结构上上，也必须与与原结构变形形相符，在C点处沿多余余力X1、X2和X3方向的相应位位移△1、△2和△3都应等于零。。根据叠加原理理，可将基本本结构满足的的位移条件表表示为：这就是求解多多余力X1、X2和X3所要建立的力力法方程其物理意义是是：在基本结结构中，由于于全部多余力力和已知荷载载的共同作用用，在去掉多多余联系处的的位移应与原原结构中相应应的位移相等等用同样的分析析方法，我们们可以建立力力法的一般方方程。对于n次超静静定结构，用用力法计算时时，可去掉n个多余联系系得到静定的的基本结构，，在去掉的n个多余联系系处代之以n个多余未知知力。当原结构在去去掉多余联系系处的位移为为零时，相应应地也就有n个已知的位移移条件：i=0(i=1,2,…,n)

据此可以建立立n个关于求求解多余力的的方程…………在上列方程中中，从左上方方至右下方的的主对角线（（自左上方的的11至右下方的nn）上的系数ii称为主系数。。ij称为副系数，，它可利用i图j图图乘求得。

根据位移互等定理可知副系数ij与ji是相等，即ij=ji。该方程称为力力法的典型方方程按前面求静定定结构位移的的方法求得典典型方程中的的系数和自由项项后，即可解解得多余力Xi。然后可按照静静定结构的分分析方法求得得原结构的全部反力和内内力。或按下述叠加加公式求出弯弯矩…再根据平衡条条件可求得其其剪力和轴力力。15.5力法的计算步步骤和举例力法计算超静静定结构的步骤去掉原结构的的多余联系得得到一个静定定的基本结构构，并以多余余力代替相应应多余联系的的作用。2.建立力法法典型方程。。根据基本结结构在多余力力和原荷载的的共同作用下下，在去掉多多余联系处的的位移应与原原结构中相应应的位移相同同的位移条件件，建立力法法典型方程3.求系数和和自由项4.解典型方方程，求出多多余未知力。。5.绘出原结结构最后内力力图。【例15-2】试分析图(a)所示刚刚架，EI=常数。【解】：（1）确定超静定次次数，选取基基本结构此刚架具有一一个多余联系系，是一次超超静定结构，，去掉支座链链杆C即为为静定结构，，并用X1代替支座链杆杆C的作用用，得基本结结构如图(b)所示。。（2）建立力法典型型方程原结构在支座座C处的竖向位移移1=0。根据位移条件可得力法的典型型方程如下：（3）求系数和自由由项(a)所示，，再作荷载单单独作用于基基本结构时的的弯矩图Mp图如图(b)所示.然后利用图图乘法求系数数和自由项首先作I=1单独作用用于基本结构构的弯矩图1图如图（4）求解多余力将11、1p代人典型方程程有解方程得（正值说明实实际方向与基基本结构上假设的的X1方向相同，即即垂直向上））。M（5）绘制最后弯矩矩图各杆端弯矩可可按PMXM+=11计算，最后弯弯矩图如图(c)所示示。至于剪力图和和轴力图，在在多余力求出出后，可直接接按作静定结结构剪力图和和轴力图的方方法作出，如如图(a)(b)所所示。【例15-2】试分析图(a)所示刚刚架，EI=常数【解】：（1）确定超静定次次数，选取基基本结构此刚刚架是两次超超静定的。去去掉刚架B处处的两根支座座链杆，代以以多余力X1和X2，，得到图(b)所示的的基本结构。。（2）建立力法典型型方程（3）绘出出各各单单位位弯弯矩矩和和荷荷载载弯弯矩矩图图如图图(a)(b)(c)所所示示。利用用图图乘乘法法求求得得各各系系数数和和自自由由项项（4）求解解多多余余力力将以以上上系系数数和和自自由由项项代代人人典典型型方方程程并并消消去去，得得解联联立立方方程程，，得得（5）作最最后后弯弯矩矩图图及及剪剪力力图图、、轴轴力力图图，，如如图图(d)(e)(f)所所示示。15.6对称称性性的的利利用用用力力法法解解算算超超静静定定结结构构时时，，结结构构的的超超静静定定次次数数愈愈高高，，多多余余未未知知力力就就愈愈多多，，计计算算工工作作量量也也就就愈愈大大。。但但在在实实际际的的建建筑筑结结构构工工程程中中，，很很多多结结构构是是对对称称的的，，我我们们可可利用用结结构构的的对对称称性性，，适适当当地地选选取取基基本本结结构构，使使力力法法典典型型方方程程中中尽尽可可能能多多的的副副系系数数等等于于零零，，从从而而使使计计算算工工作作得得到到简简化化。。当结结构构的的几几何何形形状状、、支支座座情情况况、、杆杆件件的的截截面面及及弹弹性性模模量量等等均均对对称称于于某某一一几几何何轴轴线线时时，，则则称称此此结结构构为为对称称结结构构。如图图a所所示示刚刚架架为为对对称称结结构构，，可可选选取取图图b所所示示的的基基本本结结构构，，即即在在对对称称轴轴处处切切开开，，以多多余余未未知知力力x1,x2,x3来代代替替所所去去掉掉的的三三个个多多余余联联系系。。相应应的的单单位位力力弯弯矩矩图图如如图图c,d,e所所示示，，其中中x1和x2为对称称未未知知力力；x3为反对对称称的的未未知知力力，显然1,2图是对称图形；

3是反对称图形。

由图图形形相相乘乘可可知知：：故力力法法典典型型方方程程简简化化为为由此此可可知知，，力力法法典典型型方方程程将将分分成成两两组组：：一组组只只包包含含对对称称的的未未知知力力，，即即x1,x2；另一一组组只只包包含含反反对对称称的的未未知知力力x3。因此此，，解解方方程程组组的的工工作作得得到到简简化化。。非对对称称的的外外荷荷载载可可分分解解为为对对称称的的和和反反对对称称的的两两种种情情况况的的叠叠加加（（如如图图f.a.b））＝＋（1）外外荷荷载载对对称称时时，，使使基基本本结结构构产产生生的的弯弯矩矩图图p是对对称称的的，，则则得得从而而得得