线代第一节矩阵定义

第二章 矩阵的定 矩阵的运第三节第四节方程组的矩阵解§ 矩阵的例1.某商场9月份电视机销售统21 29 34 长 康 107 107

与数表应例2.线性方

a11x+a12y+a13z=b1a21x+a22y+a23z=b2a31x+a32y+a33z=b3

b1

b2 b 二、矩阵的定义mn个数aiji1,2,Lm;j1,2,Lm行n列的表 表 am

M称为mn矩阵. a1nA

2n m

mn

的元

a这mn个数称为A的元素,简称为元元素都是实数——实矩

512 12 4 是一个14矩阵（4维的行向量

4是一11矩阵（一个数 2 3 6

与

4是同型矩 定义2两个矩阵A(aij)mn 与B(bij)mn为同型矩阵,且对应元素相等,即:aij (i1,2,L, j1,2,L,则称A与B相等 记为A如 2

1 几种特殊矩阵Specialformofomno 0例

0 000 00 0只有一行的矩阵A an

B m m3、A(aij称A(aij

为A的负矩 a1n

2n

L

nn主对角5、除主对角线上元素外，其它

OOn(diagonal6、

方阵E L L1 1

全为称为单位矩阵（或单位阵 0 0 L k8、

0A0

nn9、下三角形矩阵 0A nn10、

a11

a1n若aija

A 2n(i,j=1,2,…,

MMO M 如

1/

nn 3 311、称矩naijaji

0

a1n(i,j=1,2,…,

A

2naLMMaL如 2

0 3 称矩 0 0线性方程组的一般形式a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=………………am1x1+am2x2+…+amnxn=

b1

b 线性方

2

增广 b m线性方程组的一般形式a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=………………am1x1+am2x2+…+amnxn=

a1n

x1

x

A

2n

X

2

B L

x

系数 mn系数

n

m§ 矩阵的一、矩阵的加１、定设有两

矩阵A ,B

,那么矩A与B的和记作AB，规定

AB L

2 2n am

am

bmn说明1.只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进2.两个 5例 5

1 1

2 2

04

4. 62 81 2阵加法的运算1交换律ABB2结合律ABCAB3A矩阵的减法：A－BA－B)bijA1、定数与矩阵A的乘积记作A或 ,规定 a1n AA

2n

mn2、数（A、B为mn矩阵，,为数1结合律A2分配律AAA;ABA例1设 ，求2A+B解2A+B= 3 0 4 7 １、定设A

矩阵B sn矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B 矩阵C ，其s ai1b1jai2b2

L

aikki1,2,Lm;j1,2,L,并把此乘积记 Ccijai1b1jai2b2jL

a1s

L

1n

b2n第i行

i L

L

snsn m ms

L

c1n

第i行第j

mn例C 4 4 222

622?224(3) 244(6)? 12(2)(3) 14(2)(6)2 2例 1 2

4 1

求ABA1 0 B

1 1 4 1 QA

B

ABC

03403412131121 2 A B04 04

4 1CAB

4 1 7 2 注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵1

例 1

不存在

12 312 2

13223

13

1 312 2

13223

13

13

2 2 2

33

1 1 1

3 AB

9 6 3 例

A

1 B

1AB

BA

2 故AB注矩阵的乘法不满换律，即在一般情况下，AB≠BA.另外，A≠O B≠O时，可以AB=O因此由AB=O，不能推出A=O或例 设A 2，B

0，C 1 3

4 0 AC 1 BC 1 0 0 即ACBC，但A可见,矩阵乘法不满足消注:

ABABCB AC 或B因为，A≠O，B≠O时，可以 0

B 例外:A 2

1 1AB

，BA

2， 2 2 此时AB２、矩阵乘法的运算>分配律(B+C))=5若A是n阶方阵，则 为A的k次幂，142 AALA并且Am Amk, k142kmk为正整注意矩阵不满换律，即ABkAk(AB)k1424例5设 ，求1 1 解A2AA 1

1 1,

A3A2A 21

1 3, 1

例6设ABC其中B

2,C=3

则A=

6,A2013 CB= 3]3

=11+22+33=A2013==B(CB)(CB)C…B(CB)(CB)C==结合m个方程n个未知量的线性方程ax

x...

x

若B=0，称之

齐次线性方a21

a22

...a2n

若B≠0，称之为齐次线性方

...amnxn系数矩阵

a1n

x1 b1 记A a2n

Xx2 Bb2

...

...

x

b

mn

n

mm×n线性方程组的矩阵

AX四、矩阵的其１、转置定义A …a1n a22 …定义A……… … …am1 …

的转置矩………AT……… …

5; 66B18

转置矩阵的运算2ABT3ATAT

BT4ABTBTAT BTAT BpnpCij

ajkk1

BTAT的(i,j)位置元素 BT的i行元素乘AT的j列元的i的jdijCij

pkp

bkiajk例 已

A

B 3

求ABT210 2 210 解法

3 QAB

1

3, 10例 已

A

B 3

求ABT210 2 210 解法ABTBT

1 3 132 2

n2、方阵可参与多n多项式

f(x)an

L

xA是n阶方阵f(A)aAn

L a0 如 A

1,

f(x)2x2x f(A)2A2A 13 0 2 2 1 0 5 1 3 6 五、关于特殊矩阵的几点1、对角矩阵

n仍为同阶对角T

则kAAB2、单位矩阵 1 EmAmnAmn AmnEnAmn A0En.3、数量矩阵

1 A

a a 1 AAB(ABaEnB4、

0 0A

0 0

A

ann ann

则kAAB5、对称阵与称定义设为阶方阵，如果满足 即aija i,j1,2,L,那么A称为对称阵 对任意矩阵Amn, (ATA)T?ATA(ATA)TAT(AT)TAT ""AB(AB)TBTAT

ABAn阶方阵,如果满

ATAaijajiij12L那么A称为称阵设A与B为n阶方阵,问等A2B2 A A成立的充要条件是什么思考题QABABA2BAABB2A2B2ABAB成立的充要条AB§ 逆矩一、逆矩阵的概念和 对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B， ABBAE,则说矩阵是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵A的逆A1.即BA1A

1 11 1 1 1Q B是A的一个逆矩阵A 0 0

00 aiaa0n QABEn0

BAEn B 2 2

a

设B,C都是的逆矩阵 则ABBA ACCA BBEnB(AC)(BA)CEnC结论:可逆矩阵的逆矩阵唯逆矩阵的(A1)1若k

(kA)11k(AB)(B1A1)?(AB)(B1A1)?EnB)(B1A1)1(B1A1)(AB) )A1AEn证:A

(

C1B1AA1(B1A1)(AB)B1(A1A)B (AT)(A1)TEn(A1)(AT)(A1)TEn(A1)T(AT)En 证 (AT)(A1 (A1A)T(E)T (A1)T(AT (AA1)T(En)T例

A

求A的逆阵 解设B b 利用待定系数法

的逆矩阵 dAB

b

0 d 12a 2bd 12ac a2a 2bd 0

2bd

b

1

a

cAB

b

1 1 0,

1 1

所

. . 2问题1：方阵都可问题2：在什么条件下，方阵是可逆问题3：如果方阵是可逆的，如何求它的逆矩应用的前提是 A是方阵；AnnXn1Bn1 AXB(A1A)XA1BXm×n线性方程组的一般形式a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=……………… …amnxn=问题：如何来求解一般的线性方程组§ 线性方程组的a11x1+a12x2+…+a1nxn=

b1 x x+… x=

b

2………………

am1x1+am2x2+…+amnxn=

b m下面三种矩阵行之间的变换称为矩阵的初等行变换两行互换（对调i,j两行，记为rirj某一行的每一个元素乘以不为零的常数（i行乘k，记为rik把某一行的每一个元素乘以常数k后，加（第i行的k倍加到j行，记为rikrj 1

1

r2r3

记作 ri2一非零常数乘矩阵的某行—1

1

1012

ri注: 3某一行k倍加到另一行—1

注注用矩阵的初等行变换解方§1.2引例求消元法解下列线 2x1x2x3x4 x1x22x3x4 4x6x2x

324

解：增广

214 14 439 39 2

4(2) 4

2 1

4

2 9 4

9 4

6 6

4 4 3 913113146001300130 0 00 00

上11411436001300004x1x22x3x4 43x2

3

(B对应的方程组为解方

x4 0 行阶梯形

14 14 的下方全为零

3 0、每个 有一阶梯线的122个元素为非零元

不是行阶梯形矩阵 0行阶梯形矩阵后，再求解所对应的线性方程 x2 x3例1求解线性方程组 x x x2x2 2x x 对增广矩阵进行行初等变换

1

2A

1

2

1 5

1 5

1

2 2

2 0 x1

x3 对应的方程

x2x31x1

解之

唯一