T结构力学之静定梁和静定刚架及习题课讲义

第一部分静定结构从第三章～第八章，共六章讨论静定结构的内力分析和位移计算。第三章～第五章，分述“静定梁和静定刚架”、“三铰拱”、“静定平面桁架”等典型的静定结构在固定荷载作用下的内力计算和特性分析，分析方法侧重于每一种结构的个性。第六章，对静定结构进行综合分析讨论，侧重于共性。第七章，讨论静定结构在移动荷载作用下的受力特性。第八章，讨论静定结构在各种因素作用下的位移计算。1第三章静定梁和静定刚架§3-2分段叠加法作弯矩图§3-0简介§3-1梁的内力计算的回顾§3-3静定多跨梁§3-4静定刚架2本章要求：1、灵活运用“隔离体”平衡的方法，建立平衡方程；2、熟练掌握静定梁和静定刚架的内力图的作法。通过本章学习，着重于以下三个方面的提高：1、提高作梁的内力图的熟练程度，掌握简便作法，包括作弯矩图的分段叠加法；2、逐步提高由梁到刚架作复杂内力图的能力；3、从构造分析入手，学习将静定多跨梁拆成单跨梁，将静定复杂刚架拆成简单单元的分析方法。3§3-1梁的内力计算的回顾首先提出：要完成由材料力学向结构力学的过渡。一、截面的内力分量及其正负号规定(1)内力分量：在平面杆件的任一截面上，一般有三个内力分量：轴力N、剪力Q和弯矩M。截面上应力沿杆轴的切线方向的合力称为轴力。轴力以拉力为正。截面上应力沿杆轴的法线方向的合力称为剪力。剪力以绕微段隔离体顺时针转者为正。截面上应力对截面形心的力矩称为弯矩。在水平杆件中，当弯矩使杆件下部受拉时，弯矩为正。4(2)符号规定MMQQNMQNMQN(3)内力图作法规定N、Q图可画在杆件的任一侧，但必须标明正负号。M图必须画在杆件的受拉侧，不用标正负号。N离开截面以拉力为正；Q使截面所在段顺时针转动为正；M以使水平杆下部纤维受拉为正。二、截面法(基本方法)5截面法：是指将指定截面切开，取左边部分(或右边部分)为隔离体，利用隔离体的平衡条件，确定此截面的三个内力分量。由截面法可以得出截面内力的算式如下：N=截面一侧的所有外力沿杆轴的切线方向的投影代数和。Q=截面一侧的所有外力沿杆轴的法线方向的投影代性和。M=截面一侧的所有外力对截面形心的力矩代数和。需要注意的问题：(1)隔离体的取法。隔离体与其周围的约束要全部切断，而以相应的约束力代替。(2)隔离体上约束力的性质。67yqdxMd-=22式(3-1)QdxdMqdxdQqdxdNyx=-=-=微分关系的几何性质：Q图在某点的切线斜率等于该点的荷载集度qy，但两者相差一个符号；M图某点的切线斜率等于该点的剪力Q；M图在某点的二阶导数等于该点的荷载集度qy，但二者相反。从此处得出的几何性质，就可以知道体系中的杆件在不同的荷载作用区段的内力图的特点。8如：均布荷载作用下Q图是一条斜直线，M图是二次抛物线；无荷载区段，Q图是一条水平线，M图是一条斜率相同的斜直线；等等。根据这些特点，在此给出一表，供大家参考。此表可以用来进行内力图的校核，也可用来检查已绘的内力图。荷载无荷区段集中力偶作用点剪力图水平线斜直线Q为零处有突变(突变值等于该集中力的值)如变号无变化无变化无变化弯矩图斜直线抛物线(凸向与q指向相同)有极值有尖角(尖角方向与集中力指向相同)有极值有突变(突变值等于该集中力偶值)等于该力偶值为零均布荷载区段集中力作用点铰处和自由端有力偶

无力偶不同荷载下弯矩图与剪力图的形状特征表9(2)增量关系mMPQPNyx=D-=D-=DNQMN+NM+MQ+QmPxPyyx(3)积分关系MBABQAQBMANANBqxqy从直杆中取出荷载连续分布的一段AB(如图示)。10由式(3-1)积分可得积分分关系：+=-=-=BABABAxxABxxyABxxxABQdxMMdxqQQdxqNN积分关系的几几何意义：B端的轴力等于于A端的轴力减去去该段荷载qx图的面积。B端的剪力等于于A端的剪力减去去该段荷载qy图的面积。B端的弯矩等于于A端的弯矩加上上该段剪力图图的面积。11§3-2分段叠加法作作弯矩图结构中的任一一杆件，都有有无数多个截截面，我们不不可能将每个个截面的上的的弯矩逐个求求出，然后再再作M图。如前所述述，当杆件为为直杆时，在在某区段上，，M图的变化是有有规律的，故故可采用下述述的叠加法进进行计算与绘绘制弯矩图。。首先应指出：：叠加法并不不局限于M图，应用十分分普遍。一、叠加原理理由各力分别产产生的效果(内力、应力、、变形、位移移等)的总和等于各各力共同作用用时所产生的的效果。应用条件：材料服从“虎虎克定律”，，并且是小变变形。12理论论依依据据：：“力力的的独独立立作作用用原原理理””。。P1=P2+P1P2叠加加原原理理与与叠叠加加过过程程(图3-5)：AA´BB´MBMAMM0MBMBAMAq(a)MMBMAAA´BB´(b)M0AB(c)(d)1、分别考虑杆端弯矩MA、MB与均布荷载q单独作用时，可简单作出其相应的弯矩图和M0。

M2、叠加和M0可得原结构的M图。

M注意意：弯弯矩矩图图的的叠叠加加，，是是指指纵纵坐坐标标(竖距距)的叠叠加加，，而而不不是是指指图图形形的的简简单单拼拼合合。。13三个纵坐标、M0与M之间的关系为：MM)()()(0xMxMx=+下面面讨讨论论结结构构中中任任意意直直杆杆段段的的弯弯矩矩图图的的叠叠加加问问题题(如右图)。1、结构中的的任意杆段AB，其隔离体如如右图b所示，杆件件受力有荷载q，杆端弯矩MA、MB，轴力NA、NB和竖向力YA、YB(A、B截面的内力力)。2、与同跨度简简支梁比较较(图c),可知二者的的弯矩图完完全相同。。(b)BqMBMANANBAYBYA(a)qPAB(d)MBMAMM0AB(c)qMBMAYB0YA0143、作任意直杆段的弯矩图问题可归结为作相应简支梁的弯矩图问题；即：首先根据A、B两点的弯矩值MA、MB，作直线图；然后以此直线为基线，再叠加相应简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图M0。M4、梁的弯矩图图的一般作作法。利用用前述的内内力图的特特性和分段段叠加法，，作其弯矩矩图的步骤骤如下：(1)选定控制截截面(集中力的的作用点、、集中力偶偶的作用点点、分布荷荷载的起点点和终点)，求出控制截截面的弯矩矩值。(2)利用分段叠叠加法作弯弯矩图。当控制截面面间无荷载载时，根据据控制截面面的弯矩，，即可作出出直线弯矩矩图(连接接控制截面面弯矩的纵纵坐标顶点点)。当控控制截面间间有荷载作作用时，以以此直线为为叠加基线线，叠加该该段按简支支梁求得的的弯矩图。。15例3-1作书中图3-7a所示简支梁梁的内力图图(自学)。例3-2作图示梁的的M、Q图。解：1、支反力计计算YA=9kN(),YB=17kN()。8kN30kN·mq=3kN/m2m4m2mYAYBCDBA2、选择控制截面(A、B、C、D)，并求其弯矩矩值和剪力力值(弯矩以下部部受拉为正正)。MAC=-16kN·m(上拉)，MAB=30-16=14kN·m(下拉)MBA=MBD=-6kN·m(上拉)，QC=-8kN，QA左=-8kN，QA右=1kN，QD=0，QB右=6kN，QB左=-11kN。3、作M、Q图。(叠加加法作M图，注意新新基线)M图画在受拉拉侧；Q图可以画在在任一侧，，但必须标标明正负号号。对应M、Q图可验证微微分关系。。16161466M极值=14.171.5dM/dx>0dM/dx<0Q=dM/dx=0M图(kN·m)H+-+-81116HQ图(kN)4、讨论：剪剪力零点H，Q=0的点，确定定H点是简单的。。dQ/dx=1/AH=3，AH=1/3m。H点的位置确定后，利用积分关系求出MH的值=+=+=+=3/1017kNQdxQdxMMHAABHMH的值为极大大值。即：：MH=14.17kN·m。可按取隔离离体的方法法进行验算算。17§3-3静定多跨梁梁定义：由若干根根梁用铰连连接而成用用来跨越几几个相连跨跨度的静定定梁称为静静定多跨梁梁。从构造单元元来说，静静定多跨梁梁是由简支梁、悬臂梁、伸臂梁组合而成的的。此种种结构形式式多用于桥桥梁结构。。一、两种种基本形形式简图图(组成形式式)(1)单悬臂式AEDCBFG层次图AEDCBFG18(2)双悬臂式式AEDCBFGJIH层次图AEDCBFGJIH(3)构造分析析静定多跨跨梁从构构造上来来讲，可可分为基本部分分和附属部分分。基本部分分：能独立维维持其几几何不变变性的部部分。如如单悬臂臂式中ABC部分(相对于EFG部分，CDE部分也可可视为基基本部分分)；双悬臂臂式中AB部分(在竖向荷荷载下，，EF、IJ部分视为为基本部部分)。19附属部分分：依赖赖其它部部分才能能维持其其几何不不变性的的部分。。如单悬悬臂式中中，EFG、CDE部分和双双悬臂式式中CD、GH部分。二、计算算原则由几何构构造分析析，从分分层图来来看，作作用在基基本部分分上的荷荷载对附附属部分分没有影影响，而而作用在在附属部部分上的的荷载对对相应的的基本部部分有直直接影响响。所以以有以下下原则：：(1)分析结构组成成次序，作出层次图。。(2)先计算附属部部分，将附属属部分上的约约束力反向作作用于基本部部分上作为外外荷载；(3)再计算基本部部分的各约束束力；(4)作出单跨梁(构造单元)的内力图，然然后连在一起起即得静定多多跨梁的内力力图；(5)内力图的绘制制规定同前。。20三、力学特性性(1)具有超静定结结构、静定结结构两者的优优点，截面弯弯矩小，抗弯弯刚度好；(2)避开了超静定定结构的缺点点，不受温度度变化、支座座移动(沉陷)的影响；(3)要保证较好的的力学特性，，关键是中间间铰的设置。。四、算例例3-3作下图a所示静定多跨跨梁的内力图图。(a)ABCFEDPa2aa2aa21解：：AB是基基本本部部分分，，然然后后逐逐步步固固定定BD和DF。作出出层层次次图图。。先先计计算算附附属属部部分分FD，依次次计计算算DB、BA部分分。。D点反反力力求求出出后后，，反反向向作作为为DB梁上上的的荷荷载载；；求求出出DB梁上上B点的的反反力力后后，，反反向向作作为为BA梁的的荷荷载载，，最最后后计计算算A端的的反反力力。。(b)ABCFEDPD(c)ABCFEDPB3P2P23P4P4P4Pa4支座座反反力力求求出出后后，，即即可可作作M图和和Q图。。(d)ABCFEDPa4Pa2PaM图(e)P2PP4Q图22特别别提提出出：：当荷荷载载作作用用在在附附属属部部分分上上时时，，同同时时对对基基本本部部分分产产生生内内力力；；但但是是当当荷荷载载作作用用在在基基本本部部分分时时，，对对附附属属部部分分没没有有影影响响。。例3-4图a所示示为为一一两两跨跨梁梁，，全全长长承承受受均均布布荷荷载载q的作用，，试求铰铰D的位置，，使负弯弯矩峰值值与正弯弯矩峰值值相等。。解：设铰铰D离B支座的距距离为x。先计算附附属部分分AD，求出支反反力YD。(a)CABDlll-xxq()()()822xlqMxlqYADD-↑-==，中23再计算基本部分DC，将支反力YD反向作用于DC部分的D点。此时支座B处的负弯矩，其峰值为：()222qxxxlq+-()()lxqxxxlqxlq172.0,22822=+-=-可求出：令正负弯矩矩峰值相相等，即即有：(b)ADCBDq(l-x)28(c)D0.086ql20.086ql20.086ql2铰的位置确定后，可作出弯矩图(图c)，其中正负弯矩的峰值为：2086.0ql24(d)CBA0.125ql20.125ql2如果改用用两个跨跨度为l的简支梁梁，则弯弯矩图如如图d所示。由由此可知知，静定定多跨梁梁的弯矩矩峰值比比一系列列简支梁梁的要小小，两者者的比值值为0.086/0.125=68.8%。所以，一一般来说说，静定定多跨梁梁与一系系列简支支梁相比比，材料料的用量量可少一一些，但但是构造造要复杂杂一些。。例3-5图示三跨跨静定梁梁，全长长承受均均布荷载载q作用，试试确定E、F铰的位置置，使中中间一跨跨的支座座负弯矩矩与跨中中的正弯弯矩相等等。25解：与例例[3-4]同样的的思路路。先先计算算附属属部分分的支支反力力YE、YF，将YE、YF反向作作用于于基本本部分分EF上，计计算MB、MC。据题意意MB=MC=MEF中，可求求出x的值。。llxqlqxxxlqMMCB125.081622)(22==+-==，则有：=可得：中弯矩的一半。。弯矩峰值为简支梁跨==即：中220625.016qlqlMMMEFCB==llxxAEDCBFqlMBMCMEF中82ql822)(22qlMMMMMqxxxlqMMEFCEFCBCB=＋，及，由中中==+-==?26§3-4静定刚刚架一、刚刚架的的特点点1、由直直杆组组成的的结构构(一般梁梁与柱柱刚结结而成成)；2、结点点全部部或部部分为为刚结结点；；3、刚结结点承承受和和传递递弯矩矩，结结点处处各杆杆无相相对转转动；；4、弯矩矩是刚刚架的的主要要内力力。二、计计算程程序1、先计计算支支座反反力；；2、在支支反力力和外外荷载载的作作用下下，分分别求求出各各杆端端的内内力(截面法法)，作出出各杆杆的内内力图图，合合起来来即得得到整整个刚刚架的的内力力图；；3、最后后校核核。27三、内内力图图的作作法第一种种作法法：分别求求出各各控制制截面面的内内力M、Q、N，按绘图图规则则作出出各内内力图图。第二种种作法法：首先，，计算出出各控控制截截面的的弯矩矩M，作出M图；然后，，由M图截取取杆件件，考考虑杆杆端弯弯矩M(M按实际际方向向作用用于杆杆端)和杆杆件件上上的的外外荷荷载载，，利利用用杆杆件件平平衡衡求求出出杆杆端端剪剪力力Q，作出Q图；最后，由Q图截取结点，，考虑杆端剪剪力Q(Q按实际方向画画出)和结点荷载，，利用结点平平衡求出杆端端轴力N，作出轴力N图。注意：第二种作法是是逐步校核的的方法，应重重点掌握。28四、内力图的的符号规定及及有关说明1、在刚架中Q、N都规定正负号号，与梁相同同，但是弯矩矩M不规定定正负负号，，用纵纵坐标标的位位置标标明弯弯矩的的性质质，弯弯矩图图画在在受拉拉侧。。2、结点处处有不同同的杆端端截面。。用杆件件两端标标号标明明相应截截面的内内力。如如图所示示，B点是三个个杆件的的结点，，杆端三三个弯矩矩为MBA、MBC、MBE；三个剪力力为QBA、QBC、QBE；三个轴力力为NBA、NBC、NBE。EDCBAFIHG3、正确选选取隔离离体，在在截面处处正确的的标出三三个未知知内力，，M的方向可可任意画画出，Q、N的方向规规定同梁梁。4、控制截截面选取取同前。。29五、举例例例3-6悬臂式刚刚架作内内力图(如图a)3m3m4mDCBA10kN/m30kN20kN图aMADCBA10kN/m30kN20kNYAXA图b解：采用用第一种作作法：1、求支座座反力(如图b)XA=20kN(),YA=70kN(),MA=260kN·m(逆时针)302、计算各杆杆端内力力(图c)分别考虑虑各杆件件为隔离离体CD和CA，可得出各各杆端内内力。XA=20kNDC10kN/m30kNNCDQCDMCDCBA20kNNCAQCAMCAYA=70kNMA=260kN·m图cNCD=0QCD=70kN，QDC=30kNMCD=-200kN·m(上侧受拉)NCA=-70kN(压)QCA=0，QAC=20kN

MCA=200kN·m(左侧受拉)313、作内力图图(图d、e)4、校核。取取结点或或取杆件件，应满满足平衡衡条件(图f)。DCBA2020020026030M图(kN·m)图d200kN·m200kN·m70kN70kN00CC结点校核图图fDCBA307020Q图(kN)图e32例3-7简支式刚刚架，作作内力图图(图a)。解：采用用第二种方方法：1、计算支座座反力XA=9kN(),YA=100.5kN(),YB=91.5kN()32kN/m9kN3m3mXAYAYBDCBA6m图a2、计算各杆端端弯矩(注意：杆端弯矩矩的求法，，在求出支支反力后，，利用“悬悬臂梁”的的概念和““结点平衡衡的条件””，可简单单求出)MCD=MCA=54kN·m(外侧受拉)MDC=MDB=27kN·m(外侧受拉)333、作弯矩图图(M图)。DCBA1445427M图(kN·m)4、从弯矩图图截取杆件件，考虑杆杆端弯矩与与外荷载求求杆端剪力力Q(图c)。截取杆件AC，有：∑MA=0，得QCA=-9kN∑X=0，得QAC=QCA=-9kN截取杆件CD，有：∑MD=0，得QCD=100.5kN∑Y=0，得QDC=-91.5kN截取杆件DB，有：∑MB=0，得QDB=9kN∑X=0，得QBD=9kNQBDDB27kN·mQDB32kN/m54kN·m27kN·mQCDQDCCDQACCA54kN·mQCA图c345、作作剪剪力力图图(Q图)。DCBAQ图(kN)+-+-100.591.599996、从从Q图中中截截取取结结点点，，同同时时考考虑虑结结点点荷荷载载，，因因为为在在求求杆杆端端弯弯矩矩时时，，已已利利用用结结点点弯弯矩矩平平衡衡的的条条件件，，故故此此时时在在结结点点上上不不再再画画出出弯弯矩矩。。截取取结结点点C(图e)有：：9kN100.5kNNCDCNCA(图e)∑X=0，得NCD=-9kN∑Y=0，得NCA=-100.5kN截取取结结点点D(图f)有：：NDB9kN91.5kNNDCD(图f)∑X=0，得NDC=-9kN∑Y=0，得NDB=-91.5kN357、作轴力图图(N图)。当在杆件上上作用有轴轴向荷载时时应考虑在在内，且N图有突变。。注意：使用第一一种方法，，可灵活选选用隔离体体，去求得得各截面上上的内力。。DCBAN图(kN)--100.591.599-100.591.5例3-8图a所示示三三铰铰刚刚架架，，作作内内力力图图。。1kN/m3m3mXAYAYEDCBA3m3mEXE图a解：：1、支支反反力力计计算算此种种情情况况下下，，有有四四个个支支座座反反力力XA、YA、XE、YE。仅用用三三个个平平衡衡条条件件不不能能全全部部求求出出，，需需利利用用顶顶铰铰C处弯弯矩矩为为零零的的条条件件计计算算。。36当A、E铰在在同同一一水水平平线线上上时时，，可可简简单单求求出出。。而而此此时时，，考考虑虑C铰右右边边部部分分，，求求出出XE与YE之间间的的关关系系。。XEDCEYE∑MC=0，得：3XE-3YE=0。所以有：XE=YE整体平衡：∑MA=0，得：3XE+6YE–(1/2)162=0所以有：XE=2kN()，YE=2kN()∑X=0，得：XA+6-XE=0。所示有有：XA=-4kN()∑Y=0，得：YA+YE=0。所以有有：YA=-YE=-2kN()2、计算杆端弯弯矩MBA=MBC=6kN·m(内侧受拉)MDE=MDC=6kN·m(外侧受拉)373、作M图。DCBAE6666M图(kN·m)4、由M图作Q图。5、由Q图作N图。6、值得提出出的是：当三铰铰刚架仅仅受竖向向荷载作作用时，，水平支支座反力力存在，，且两水水平支座座反力大大小相等等、方向向相反。。DCBAEN图(kN)+--222DCBAEQ图(kN)+-+-222438例3-9图a所示的组组合式刚刚架，作作内力图图。解：1、该刚架架是带有有附属部部分的组组合式刚刚架。附属部分分DFE；基本部分分ABCD。计算原则则是先计计算附属属部分，，再计算算基本部部分。10kN2kN/m10kN·mXAYAYCDCBAGFEHYE2m4m2m2m2m图aXD2kN/m10kNFEHYEYD附属部分2、计算支支反力先计算附附属部分分DFEYE=9kN()YD=1kN()XD=8kN()39再计算基基本部分分ABCDYDYAXD10kN·mXAYCDCBAG将XD、YD反向作用用于基本本部分上上，计算基本本部分ABCD的支反力力。YC=-4.5kN()YA=5.5kN()XA=8kN()3、计算各杆端端弯矩充分利用“悬悬臂梁”的概概念和结点弯弯矩平衡。MBA=32kN·m(外拉);MBG=MBA=32kN·m(外拉);MGB=4XA-2YA=21kN·m(外拉);MGD=2YD-2YC=11kN·m(外拉拉);MDG=MDC=0;MFE=(1/2)242=16kN·m(外拉拉);MFH=MFE=16kN·m(外拉拉);MHF=MHD=2YD=2kN·m(内拉拉)404、作作M图。。5、由M图作作Q图。。6、由Q图作作N图(图略略)。DCBAGFEH1621121323216M图(kN·m)DCBAGFEHQ图(kN)+－－++885.55.51199841例3-10作右右图图a所示示门门式式刚刚架架左左半半跨跨在在均均布布荷荷载载作作用用下下的的内内力力图图。。(a)CDABEYAYBXBXA6m6m6m4.5m1kN/m解：：(1)求支支座座反反力力AABkNYYM==-=)(5.4,012960,BABAXXXXX==-=,00,BBAkNYYM==-=)(5.1

,01236

0,整体体平平衡衡：：(局部平衡，考虑铰右边部分)，)(384.1),(384.1,065.60===-=kNXkNXYXMABBBC42(2)作M图先求杆杆端弯弯矩，，画于于受拉拉一边边并连连以直直线，，再叠叠加简简支梁梁的弯弯矩图图。以DC杆为例例1kN/mDCQCDQDC6.23kN·m6.33m(b)0=CDM23.65.4384.1·-=-==DADCmkNMMDC杆中点点的弯弯矩为为(c)M图CDABE1.384kN1.38kN·m6.23kN·m1.5kN4.5kN1.384kN6.23kN·mmkN·=+-38.1618123.6212M图如右右图所所示。。43(3)作Q图对于AD和BE两杆，，可截截取一一边为为隔离离体，，求出出杆端端剪力力如下下：kNQQkNQQEBBEDAAD384.1384.1==-==对于CD和CE两杆，，可取取杆CD和CE为隔离离体，，求出出杆端端剪力力如下下：1kN/mDCQCDQDC6.23kN·m6.33m(b)CEQCEQEC6.23kN·m6.33m(d)kNQQECCE985.0)23.6(33.61-=-==kN