2022-2023学年北师大版必修第一册 1.1.3　第1课时　交集与并集 课件（37张）

第1课时交集与并集第一章课标要求1.理解两个集合的并集与交集的含义.2.能求两个集合的并集与交集.3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标基础落实•必备知识全过关知识点1

交集

概念一般地,由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,叫作集合A与B的交集,记作A∩B.读作“A交B”符号表示A∩B={x|x∈A,

x∈B}

图形表示性质对于任意集合A,B,有A∩B=B∩A,A∩B⊆A,A∩B⊆B,A∩A=A,A∩⌀=⌀缺一不可

且

名师点睛求两个集合的交集,结果还是一个集合,是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)集合A和集合B的公共元素组成的集合就是集合A与B的交集.(

)(2)若A∩B=⌀,则A,B均为空集.(

)√×2.当集合A,B无公共元素时,A与B有交集吗?提示有交集,交集是空集.知识点2

并集

概念一般地,由

属于集合A

属于集合B的元素组成的集合,叫作集合A与B的并集,记作A∪B.读作“A并B”

符号表示A∪B={x|x∈A,

x∈B}

图形表示性质对任意集合A,B,有A∪B=B∪A,A⊆A∪B,B⊆A∪B,A∪A=A,A∪⌀=A所有

或或名师点睛并集符号语言中,“x∈A,或x∈B”包括下列三种情况:①x∈A,且x∉B;②x∉A,且x∈B;③x∈A,且x∈B.可用下图形象地表示.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1){1,2,3,4}∪{0,2,3}={1,2,3,4,0,2,3}.(

)(2)若x∈A∩B,则x∈A∪B.(

)(3)若A,B中分别有3个元素,则A∪B中最多有6个元素.(

)×√√2.集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和?提示不一定,A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和.重难探究•能力素养全提升探究点一集合的交集与并集运算角度1并集运算【例1】

(1)设集合A={x|x2-2x-3=0},B={x|x2=1},则A∪B=(

)A.{1} B.{1,3}C.{-1,1,3} D.{-1,1}(2)已知集合A={x|x<2},B={x≥1},则A∪B=(

)A.{x|x<2} B.{x|1≤x<2}C.{x|x≥1} D.R答案

(1)C

(2)D

解析

(1)A={-1,3},B={-1,1},A∪B={-1,1,3}.(2)在数轴上表示出集合A,B,则则A∪B=R.规律方法

(1)先解一元二次方程得集合A,B,再根据集合并集的定义求结果;(2)用数轴表示集合A,B,根据定义求解.变式训练1(1)已知集合A={x∈N|1≤x≤3},B={2,3,4,5},则A∪B=(

)A.{2,3} B.{2,3,4,5}C.{2} D.{1,2,3,4,5}(2)设集合A={x∈N+|x≤2},B={2,6},则A∪B=(

)A.{2} B.{2,6}C.{1,2,6} D.{0,1,2,6}答案

(1)D

(2)C

解析

(1)A={1,2,3},则A∪B={1,2,3,4,5}.(2)A={1,2},则A∪B={1,2,6}.角度2交集运算【例2】

(1)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=(

)A.{3} B.{5}C.{3,5} D.{1,2,3,4,5,7}(2)设集合M={x|-3<x<2},N={x|1≤x≤3},则M∩N=(

)A.[1,2) B.[1,2]C.(2,3] D.[2,3]答案

(1)C

(2)A

解析

(1)直接由交集定义可得A∩B={3,5}.(2)在数轴上表示出集合M,N,如图:∴M∩N={x|1≤x<2}.规律方法

求两个集合交集、并集的方法技巧当求两个集合的并集、交集时,对于用描述法给出的集合,首先明确集合中的元素,其次将两个集合化为最简形式;对于连续的数集常借助于数轴写出结果,此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组成了并集,数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集,此时要注意当端点不在集合中时,应用空心圈表示;对于用列举法给出的集合,则依据并集、交集的含义,可直接观察或借助于Venn图写出结果.变式训练2(1)若集合M={x∈R|-3<x<1},N={x∈Z|-1≤x≤2},则M∩N=(

)A.{0} B.{-1,0}C.{-1,0,1} D.{-2,-1,0,1,2}(2)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=

.

答案

(1)B

(2){0,1}

解析

(1)N={-1,0,1,2},M={x∈R|-3<x<1},则M∩N={-1,0}.(2)由题得A={x||x|<2}={x|-2<x<2},B={-2,0,1,2},所以A∩B={0,1}.探究点二已知集合的交集、并集求参数【例3】

已知a∈R,集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9}.若9∈A∩B,则实数a的值为

.

答案

5或-3

解析

∵9∈A∩B,∴9∈A,且9∈B,∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},符合题意;当a=3时,A={-4,5,9},B={-2,-2,9},集合B不满足集合中元素的互异性,故a≠3;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},符合题意.综上可得实数a的值为5或-3.规律方法

已知两个有限集运算结果求参数值的方法对于这类已知两个有限集的运算结果求参数值的问题,一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程求解.另外,在处理有关含参数的集合问题时,要注意对求解结果进行检验,检验求解结果是否满足集合中元素的有关特性,尤其是互异性.变式探究例3中,将“9∈A∩B”改为“A∩B={9}”,其余条件不变,求实数a的值及A∪B.解∵A∩B={9},∴9∈A.∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},由于A∩B={-4,9},不符合题意,故a≠5;当a=3时,A={-4,5,9},B={-2,-2,9},集合B不满足集合中元素的互异性,故a≠3;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},且A∩B={9},符合题意.综上可得a=-3.此时A∪B={-8,-4,-7,4,9}.【例4】

集合A={x|-1<x<1},B={x|x<a}.(1)若A∩B=⌀,求a的取值范围;(2)若A∪B={x|x<1},求a的取值范围.解(1)A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∩B=⌀,在数轴上表示出集合A,B,如图所示,∴数轴上点x=a在点x=-1左侧,且包含点x=-1,∴a的取值范围为(-∞,-1].(2)A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∪B={x|x<1},在数轴上表示出集合A,B,如图所示,∴数轴上点x=a在点x=-1和点x=1之间,不包含点x=-1,但包含点x=1.∴a的取值范围为(-1,1].规律方法

已知集合运算求参数的思路此类问题常借助数轴解决,首先根据集合间的关系画出数轴,然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)求解,特别要注意端点值的取舍.当集合的元素能一一列举时,常借助集合的关系列关于参数的方程(组)求解,但求解后要代入检验是否符合题意.变式探究例4(1)中,把“A∩B=⌀”改为“A∩B≠⌀”,求a的取值范围.解利用数轴(略)表示出两个集合,数形结合知,要使A∩B≠⌀,需数轴上点x=a在点x=-1右侧且不包含点x=-1,所以a的取值范围为(-1,+∞).探究点三集合的交集、并集性质的应用【例5】

设集合M={x|-2<x<5},N={x|2-t<x<2t+1,t∈R}.若M∪N=M,则实数t的取值范围为

.

答案

(-∞,2]

综上可知,实数t的取值范围是(-∞,2].变式探究将例5条件中“M∪N=M”改为“M∩N=M”,其余不变,求实数t的取值范围.解由M∩N=M,得M⊆N,故N≠⌀.用数轴(略)表示两个集合,要满足条件,需

解得t≥4.故实数t的取值范围为[4,+∞).【例6】

设集合A={x|x2-2x=0},B={x|x2-2ax+a2-a=0}.(1)若A∩B=B,求a的取值范围;(2)若A∪B=B,求a的值.解由x2-2x=0,得x=0或x=2.∴A={0,2}.(1)∵A∩B=B,∴B⊆A,∴B=⌀或{0}或{2}或{0,2}.当B=⌀时,Δ=4a2-4(a2-a)=4a<0,∴a<0;综上所述,a的取值范围是{a|a=1,或a≤0}.(2)∵A∪B=B,∴A⊆B.∵A={0,2},而B中方程至多有两个根,∴A=B,由(1)知a=1.规律方法

利用交集、并集运算求参数的思路

思路一:涉及A∩B=B或A∪B=A的问题,可利用集合的运算性质,转化为相关集合之间的关系求解,要注意空集的特殊性思路二:将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系,要注意集合中元素的互异性;与不等式有关的集合,则可利用数轴得到不同集合之间的关系变式训练3已知集合M={x|2x-4=0},集合N={x|x2-3x+m=0},(1)当m=2时,求M∩N,M∪N;(2)当M∩N=M时,求实数m的值.解(1)由题意得M={2}.当m=2时,N={x|x2-3x+2=0}={1,2},∴M∩N={2},M∪N={1,2}.(2)∵M∩N=M,∴M⊆N.∵M={2},∴2∈N,∴2是关于x的方程x2-3x+m=0的解,即4-6+m=0,解得m=2.本节要点归纳1.知识清单:(1)交集、并集的概念及运算;(2)交集、并集的性质;(3)由交集、并集的关系求参数值或范围.2.方法归纳:数形结合、分类讨论.3.常见误区:由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论;求解参数后,易忽视代入原集合进行检验这一步骤.学以致用•随堂检测全达标1.设集合A={x∈N+|-1≤x≤2},B={2,3},则A∪B=(

)A.{-1,0,1,2,3} B.{1,2,3}C.[-1,2] D.[-1,3]答案B

解析

集合A={1,2},B={2,3},则A∪B={1,2,3}.2.已知集合A={x|-3<x<3},B=