2022-2023学年北师大版必修第一册 1.4.2　一元二次不等式及其解法 4.3　一元二次不等式的应用 课件（49张）

4.2一元二次不等式及其解法4.3一元二次不等式的应用第一章课标要求1.了解一元二次不等式的现实意义.2.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式;并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标基础落实•必备知识全过关知识点1

一元二次不等式的概念1.定义:一般地,形如ax2+bx+c>0,或ax2+bx+c<0,或ax2+bx+c≥0,或ax2+bx+c≤0(其中,x为未知数,a,b,c均为常数,且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式.2.使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集.名师点睛1.一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数,并且这个未知数是唯一的,但这并不是说不等式中不能含有其他字母,若含有其他字母,则把其他字母看成常数.2.一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2,且最高次项的系数不为0.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)mx2-5x>0是一元二次不等式.(

)(2)若m为不为0的实数,则mx2+5>0是一元二次不等式.(

)×√2.一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗?提示不能,必须保证a≠0.知识点2

一元二次不等式的解法一元二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系如下表:y=ax2+bx+c(a>0)方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0方程ax2+bx+c=0的实数根有两相异实数根x1,2=(x1<x2)有两相等实数根x1=x2=-没有实数根y=ax2+bx+c(a>0)函数y=ax2+bx+c的图象方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0不等式ax2+bx+c>0的解集(-∞,x1)∪(x2,+∞)xx≠-R不等式ax2+bx+c<0的解集(x1,x2)⌀⌀名师点睛一元二次不等式ax2+bx-c>0(a>0)的求解方法,如图.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若a>0,则一元二次不等式ax2+1>0无解.(

)(2)若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2(x1<x2),则一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x1<x<x2}.(

)××2.不等式4x2-9<0的解集是

.

重难探究•能力素养全提升探究点一一元二次不等式的求解【例1】

解下列不等式:(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;(3)4x2-4x+1≤0;(4)x2-2x+2>0.(4)因为x2-2x+2=0的判别式Δ=4-4×1×2=-4<0,所以方程x2-2x+2=0无实数解.又因为函数y=x2-2x+2的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为R.规律方法

解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.(4)画图象.根据一元二次方程根的情况画出对应的一元二次函数的图象.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.变式训练1解下列不等式:(1)4x2-20x<-25;(2)(x-3)(x-7)<0;(3)-3x2+5x-4<0;(4)x(1-x)≥x(2x-3)+1.解(1)不等式可化为4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是⌀.(2)不等式对应方程的两个根是3和7,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,故不等式的解集是{x|3<x<7}.(3)不等式-3x2+5x-4<0可化为3x2-5x+4>0,由于判别式Δ=25-48=-23<0,函数y=3x2-5x+4的图象开口向上,所以不等式的解集是R.(4)不等式x(1-x)≥x(2x-3)+1可化为3x2-4x+1≤0.因为方程3x2-4x+1=0的两探究点二分式不等式的求解【例2】

解下列不等式:∴x+2<0,∴x<-2.故原不等式的解集为{x|x<-2}.规律方法

1.分式的分子、分母同号时,分式为正;异号时为负.转化为整式后分子、分母作为两因式之积,同样是同号时为正,异号时为负.2.分式不等式的解法:先通过移项、通分整理成标准型

>0(<0)或≥0(≤0),再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负,直接去分母也可.变式训练2解下列不等式:探究点三不等式中的含参类问题角度1已知不等式的解集求参数值【例3】

求实数a,b的值,使得关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分别为:(1)[-1,2];(2)(-∞,-1]∪[2,+∞);(3)[-1,+∞).规律方法

1.一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根,要充分利用这个关系解题.2.不等式解集的形式与二次项系数有直接的关系,对于关于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2),当a>0时,其解集是{x|x<x1,或x>x2},当a<0时,其解集是{x|x1<x<x2}.变式训练3已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),求关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集.解∵关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),∴1,2是关于x的方程x2+ax+b=0的两个根.角度2含参数的一元二次不等式的解法【例4】

解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.规律方法

解含参数的一元二次不等式与解不含参数的一元二次不等式的基本思路是一致的,但要特别注意分类讨论思想的运用.尤其要注意以下三种类型:类型一若二次项系数含有参数,需对二次项系数等于0与不等于0进行讨论,对于不等于0的情况再按大于0或小于0进行讨论类型二若不等式对应的一元二次方程根的情况不确定,需对其判别式Δ进行讨论类型三若求出的根中含有参数,则应对两根的大小关系进行讨论变式训练4解关于x的不等式x2+3ax-4a2<0(a∈R).解由于x2+3ax-4a2<0可化为(x-a)(x+4a)<0,且方程(x-a)(x+4a)=0的两个根分别是a和-4a.当a=-4a,即a=0时,不等式的解集为⌀;当a>-4a,即a>0时,解不等式为-4a<x<a;当a<-4a,即a<0时,解不等式为a<x<-4a.综上所述,当a=0时,不等式的解集为⌀;当a>0时,不等式的解集为{x|-4a<x<a};当a<0时,不等式的解集为{x|a<x<-4a}.角度3不等式的恒成立问题【例5】

(1)已知不等式kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,求实数k的取值范围.(2)当x∈[1,2]时,不等式x2+mx+4<0恒成立,求实数m的取值范围.解(1)当k=0时,原不等式化为-2<0,显然符合题意.当k≠0时,令y=kx2+2kx-(k+2),由y<0恒成立,∴其图象都在x轴的下方,即开口向下,且与x轴无交点.综上,实数k的取值范围是(-1,0].(2)令y=x2+mx+4.∵y<0在[1,2]上恒成立,∴y=0的根一个在(-∞,1)上,另一个在(2,+∞)上.规律方法

1.如图①,一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R⇔一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象恒在x轴上方⇔ymin>0⇔图①

图②

2.如图②,一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为R⇔一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象恒在x轴下方⇔ymax<0⇔3.含参数的一元二次不等式在某一区间上恒成立问题,求解时主要有两种方法:一种是将参数分离,转化为恒成立问题;另一种是利用一元二次不等式根的分布及数形结合思想求解.变式训练5若不等式-x2+2x+3≤a2-3a对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围.解∵-x2+2x+3=-(x-1)2+4≤4,-x2+2x+3≤a2-3a对任意x恒成立,∴a2-3a≥4,即a2-3a-4≥0.解得a≤-1或a≥4.∴实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[4,+∞).探究点四一元二次不等式的实际应用【例6】

行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫作刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离s(单位:m)与汽车的车速v(单位:km/h)满足下列关系:(1)求n的值;(2)要使刹车距离不超过12.6m,则行驶的最大速度是多少?规律方法

用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤(1)理解题意,搞清量与量之间的关系.(2)建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题.(3)解一元二次不等式,得到实际问题的解.变式探究本例中,条件不变,若该型号的汽车在某一限速为80km/h的路段发生了交通事故,交警进行现场勘查,测得该车的刹车距离超过了25.65m,试问该车是否超速行驶?解由题意知s>25.65,即

>25.65,即v2+24v-10

260>0,解得v>90或v<-114.由于v≥0,所以该车当时的速度v>90>80,因此该车超速行驶.本节要点归纳1.知识清单:(1)解一元二次不等式的常见方法;(2)与一元二次不等式有关的恒成立问题;(3)利用不等式解决实际问题.2.方法归纳:数形结合、分类讨论、转化、恒等变形.3.常见误区:忽略二次项系数的符号;利用一元二次不等式解决实际问题时,应注意实际意义.学以致用•随堂检测全达标1.不等式x2-9<0的解集为(

)A.{x|x<-3} B.{x|x<3}C.{x|x<-3,或x>3} D.{x|-3<x<3}答案D

解析

由x2-9<0,可得x2<9,解得-3<x<3.2.若不等式4x2+ax+4>0的解集为R,则实数a的取值范围是(

)A.(-16,0) B.(-16,0]C.(-∞,0) D.(-8,8)答案D

解析

∵不等式4x2+ax+4>0的解集为R,∴Δ=a2-4×4×4<0,解得-8<a<8,∴实数a的取值范围是(-8,8),故选D.3.(2022云南丽江第一高级中学期末)已知a,b为实数,若关于x的