探究与构造性问题专题讲师版

探究与构造性问题专题（浙江 学生 授课日期教师 授长知识知识1知识梳理2类初等函数性质。构造函数的过程要求我们观察、正确地判断、合理地选择适当的构造数列法的前提是灵活运用数列的概念和性质，找到题目的已知条件或结论与数列的关例题精【题目】已知fxa2x1x3x2,2a2可以证明：定理“若a、bRa

ab（当且仅当ab时取等号2若fx 并由此猜测yfx的单调性（无需证明）对满足（2）的条件的一个常数axx1fxDxx2,且x4k2kN上的gx，使x2,2gx

fx33

3（当且仅当abc时取等号3

1x3

2

1

0在0,2上恒成立，即a21x2在x 2∵1x20,2，∴a22，即a 2233 2 12 12

2a2fxxa2xa2x 3

x2a21x2x2

a时636 2fmax26a31a32

36

6a 696x63

6

2

a

6a时，函数有最大值63∴x

a时，函数有最小值636666 666故猜测：x2, a

a,2时，fx单调递减；x3a,3a时，f

（3）依题意，只需构造以 为周期的周期函数即可如对x4k2,4k2kN，x4k2,2此时gxgx4kfx4k即gxa2x4k1x4k3x4k2,4k2kN2#对应知识梳理xxy2x1，y x

，yy2x1与其反函数yx1的交点坐标为2yx

2

551 155xyx

0（（III证明：设点（a，b）是fx)的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与且有bf(a)，af(b)a＝b，交yx若a<b且f(x)是增函数时，有f(b)f(a)，从而有b<a，；若b<a且f(x)是增函数时，有f(a)f(b)，从而有a<b，a<bfx是减函数f(b)f(aa<bfxfxyfxfx的图象与其反函数的图象有交点，则交点不一定在直线y＝x上#对应知识梳理已知a,aR，aa 1，求证a2a21， 证明：构造函数f(xxa)12xaf(x)2x22(aa)xa2a22x22xa2a 248(a21 因为对一切

R，f(x≥0

a) 从而得a2a21 若a1,a2anR，a1a2an1求证a2a2a2 （2）证明：构造函数f(xxa2xa2)2xanx22(aaa)xa2a2 nnx22xa2a2 n 因为对一切xR，都有f(x)≥0，所

4

)从而证a2a2a21

#对应知识梳理【题目】已知数列a1a2,a30a1a2,a10是首项为1，公差为1的等差数列a10a11a20d的等差数列；a20,a21a30是公差为d2的等差数列（d0（1）若a2040，求d试写出a30d的关系式，并求a30续写已知数列，使得a,aa是公差为d3. a201010d40,d3（2） 10d2101dd2(d0) 1 34a3010d 42当d

0)(

a307.5,所给数列可推广为无穷数列an，其中a1a2,a1011的等差数列，当n1时，数列a10n,a10n1,,a10(n1)是公差为dn的等差数列.研究的结论可以是：由a40a3010d3101dd2d3，

a10(n1) d

10

1dn1,1d

d d0a10(n1 #对应知识梳理

等

dn 【题目对数列an，规定an为数列an的一阶差分数列其中aa a(nN)。对自然数k ，规定ka为ann 已知数列an的通项公式差或等比数列，为什么

n2n(nN),，试判断

是否为对（2）中数列a，是否存在等差数列bn，使得bC1bC2bCn 1 2 n 对一切自然nN都成立？若存在，求数列bn的通项公式；若不存在，则请说明理 【解析（1）aa an12n1n2n2n2，∴a是首项为 2an2n122n2∴

是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等（2）2anan1an2nan1anan1an2nanan2n，∴an12an∵

1，∴a24221

2a32423，猜想3123 ann3123 0证明：ⅰ）n1a11120kⅱ）假设nkakknk1时，ak12ak∴由ⅰ、ⅱ）可知ann

k2k2kk12k11结论（3）bC1bC2bCnabC1bC2bCnn 1 2 n 1 2 n ∵1C12C23C3nCnn C2Cn1n ∴存在等差数列bn，bn，使得bC1bC2bCna对一切自然nn#对应知识梳理

1 2 n aaaaaaa SAABCD，EAB中点，求二面角E-SC-D 63证明：SAABSAADAB、ADABCD内的交线SAFGAD7EH则FGAD7EHSAABCDSAADCD，CDSAD，CDSA=AD,F是中点，AFAFSCD,EGSCD,面SEC所以二面角E-SC-D90 (3DHSC SECSCD,DHDH之长即为点DSEC的距离，12在RtSCD中，DHSDDC 6答：点DSEC的距离为63

#对应知识梳理为6的正方形，SD=PD＝6，CR=SC，AQ=AP，点S,使P，Q，R，S四点重合，则需要 几何体，可以拼成一个棱长为12的正方体。#对应知识梳理【题目n1个球（其n个白1个黑球）的口袋中取出m个球 0mnmnN,共有Cm种取法。在这Cm种取法中，可以分成两类： m个球全部为白球，共有C0CmC1Cm1C0Cm，即有等式：CmCm1Cm成立 CmC1Cm1C2Cm2 CkCmk 。(1kmn 【答案】取出m个球，可分为：没有黑球，一个黑球，……，k个黑球等k1类，故有 种#对应知识梳理【题目】已知a,b,c,deR，且满足abcde8a2b2c2d2e2。【答案】 。 【解析】分析：根据abcd8ea2b2c2d216e2这两个式子构造a,b,c,d为系数的二次函数作为辅助工 ，从中转化出e的不等式解：由于abcd8ea2b2c2d216f(x)4x22abcdxa2b2c2d2(xa)2(xb)2(xc)2xd2由已知条件得48e21616e2。解得：0e16,当abcd时，有 。5#对应知识梳理

1(2013n20131【题目】已知

(n为整数求(2x

)的值1我们就能发现2013n与

1

b=-2013 定理不难发现a与b就可41a=2013

b2013

1(aba+b=4xa*b=-1,a,b44x16x21方程t24xt10的4x16x212

1at1#对应知识梳理

.则(2x

14x2nan=（2013n）n=2013【题目】求sin20cos70sin10sin50的值。解：xsin20cos70sin10sin50xy(sin20cos70sin10sin50(cos20sin70cos50(sin20cos70cos20sin70)(sin10sin50cos10cos50sin90cos401

xy(sin20cos70sin10sin50)(cos20sin70cos10cos50(sin20cos70cos20sin70)(cos10cos50sin10sin50sin50cos601

2由①+2x1x 所以sin20cos70sin10sin504#对应知识梳理y7x27x3

x2x【解析】y该题我们只要把它看成是关于x的一元二次方程就轻易解出此题。x2x10，故构造关于xy7)x2y7)xy12)0，由题(y7)24(y7)(y12)7x27x又因为y7 x2x 7x27x127x27x12(7x27x=x2x x2x x2x所以（y-7)-4（y-12)解得y41y41 #对应知识梳理【题目】已知abc1,1abc2abc【解析】因为(abc2abcbc1)a2bcykx的形式，根据k的正负来判断函数的单调性解：abc2abcbc1a2b可构造函数f(x)bc1x2bcx1,1bc1,1bc1即bc1f(xR上单调减函a f(a)f(1)1bcbc1b1c0 bc1a2bc即#对应知识梳理

abc2abc【题目】已知abcabc1a2b2c21求证1c03【解析】分析：此数学问题不是方程问题，但是通过转化，可以用 的表达式来表ab,ab，这样可以根据定理来构造一元二次方程。证明：由题意得ab1ca2b21c2而a2b2ab22ab1c2即1c21c2 得abc2x21cxc2c f(x)x21cxc2 ab1c f(c)解得1c03#对应知识梳理【题目】已知sincos10π，求tan53【解析】此题并不难，但如果解法不当会求出两个tan值，而其中一个是不符合已知条法就可以避免上述错误，使tan值唯解：将sincos两边平方得sincos125解得x4x 由已知0π知sin

x21x12 所以sin4cos3tan #对应知识梳理【题目】证明：当0x

πcosx2

x3x2。 。 【解析】证明:作函数fx 1cosx，0

，则f00 / /fx xsinx,2fxf00

00; xx1cosx, 0f///x1sinx0,(0x2fx,fx,fx在x0

） f//x 0x

2有f//xf//00；f/x递增，有f/x f/00；fx递增，即当0xπ2

cosx

x3x21。 。F(xf(xg(xF(xF单调性来证明相应的不等式，但若Fx)的符号不好确定F//(x),F///(x),的符FxFxx的符号，进而使问题得到解#对应知识梳理112 23 n(n

12 23

1(n2n(n1)1(n1)2,

Xn

1(n2)21(n(n1)(n(n1)(n(n1)(n)(n1)(n)2n23nn23nn23n42Xn1Xn，即Xn是递减数列，于是XnX1 2212 23 12 23 n(n2此题的巧妙之处在于恰当地构造了一个辅助数列Xn ，再利用数列的自身性质，#对应知识梳理a21a2a21a2a21b1a21b2证明：构造复z1abi,z21abi,z3a1bi,z41a1bi=z1z2z3

z1z2z3

22i22#对应知识梳理

coscoscos0sinsinsin（1（2）sin3sin3sin33sin( 复数：zcosisinzcosisinzcos z1z2z3coscoscosisinsinsin 12于是z3z3z3 12 z3z3z3(cos3cos3cos3)i(sin3sin3sin3 3z1z2z33cos()i3sin(cos3cos3cos33cossin si s #对应知识梳理【题目】设a、b、cR，试证：

bc

111

c 证明：设m

b

,n

1 1 1 m2n2mn2 c 1 1b2c2a2 c c#对应知识梳理

abc

111 y

x24 x22x10 x2x22xx2x22xx2x12abab122abab122y 当且仅当 2时，即x2时等号成1 ymin#对应知识梳理 样的实 对所有的【解析】因为在R上为奇函数，又在上是增函数所以在R上也是增函数，且所以故要使不等式对任意恒成立，只要大于函数的最大值即可 ，则求函数的最大值，方法1（求导）解得 ，当，时，；当时，故，因此设，即在上有解 时 或此时；当时，必 且，#对应知识梳理

1x

lnx1x恒成立解：根据命题，构造第一函数为g(x)ln(x1) x

g(x)1x

(x

(x当x(1,0)时，函数g(x)0 ,当x(0,)时，函数g(x)0，即：g(x)在x(1,0)上为减函数，g(x)在x(0,)上为增函数。故函数g(x)在定义域内取得最小值个g（0）=0，所以函数在x>-1时，有g(x)g(0) 则证明左边 x

ln(x1)再来构造第二个函数t(xlnx1x，对t(x)求导t(x) x

1 x

x(1,0时t(x)0x(0,时，t(x)0。所以t(x)x(1,0x(0,t(x)在定义域内取得最大值t(0)=0因此有t(xlnx1x0，即lnx1#对应知识梳理

x

ln(x1)x【题目】p、qRrsr2s21p2rp2r2q2r2

p 建立起向量即可方便解题。此题中我们只要构a(pr,qs),b(qr,ps)就能方便的证 证明：根据条件构造aprqs),b(qrps，p2rp2r2q2r2

r2(pq)2s2(qp)2q2r2q2r2p2r2(r2s2)(pp2r2q2r2即p2r2q2r2 p#对应知识梳理【题目】已知a2b21c2d21.求证acbd 【解析 分析：根据条件我们可以构造两个向量m(a,b),n(c,d)，由结论想到是利 mnmn 2 ab1nc 1.mnmnacbd#对应知识梳理(11)(11)(11

) 2n

2n 2n2n(11)2(11)2(11)2

)2

)2

2n 2n 如果能证明(4)2(6)2(8)2（ )22n1成立，则自然原命题也成立 2n n1n2n n578 2n456 2n2n1(4)2(6)2(8)（2n2 2n 2n456 2n12n12n1 2n 所以

4)2(2) 2)

(8)2（2n 2n

2n14#对应知识梳理(10464)(18464)(26464)(34464)(42464)(50464)(584 (6464)(14464)(22464)(30464)(38464)(46464)(544n464n482(n28)造(n284n)(n28[(n2)24][(n2)2 n464n482(n28)216n2=(n284n)(n28=(n2)24(n2)2原式

(824)(1224)(1624)(2024)(602(424)(824)(1224)(1624)(562(602 #对应知识梳理

=(424)

【题目】正数ab满足a3b3

求证ab解：由均值不等式a3b3c33abca313133a b31313由（2）+（1）及a3b32变形整理，得ab2#对应知识梳理

【题目】a,bab也是无理数”是否正确？请说明22222 也是无理数，那么 )222222222是无理数。但是我们来计算(

22( ((#对应知识梳理 A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且CCBCCDBCD.求证：(1)CC

(2

的值为多少时，能使

A1C平面C1BD数学

CDaCBbCC1c依题意

bCDCBCC1 为。于是BCCDCBa CCBD

c b ca

cbC1CBD(2)要证明A1C平面C1BD只需证明ACBD,ACDC CA1C1D(CAAA1)(CDCC1 bacaacbc babc

cos2 bacosb 当时，ACDC 同理可证明当当时，AC ，CD1时 A1C平面C1BD#对应知识梳理

【题目】已知0x1,0y1,0z1求证：x(1-y)+y(1-x)+z(z-证明：首先我们先构造一个图形如边长为1的正ABC，，在三边上分别取点D,E,F，使得DA=x,EB=y,FC=z,则CD=1-x,AE=1-y,BF=1-z.则SAEDSBEFSCDESABC.

S

1absinC得233x(1y)33

y(1z)

z(1x)33 33x(1-y)+y(1-x)+z(z-x)<1#对应知识梳理x2x210x【题目】求函数y x2x210x【答案】y取得最小值52距离公式有着紧密的关系。只要把x29改写成(x-0)2(03)2,x210x29改写成(x5)2(02)2我们就很快发现如何解（0,3(5,2（x,0(x0)2(0(x0)2(0(x5)2(0x2x2 x210x(05)2((05)2(32PAPBABy取得最小值52#对应知识梳理x2103xx2103xx2103x5x5

20(x53x)2(x53x)2(x53)2y25(x53(x53x)2(x53)2y2 (x5(x53x)2(x53)2

a=10,c53短轴b=5的椭圆

y2 1.y2555

，因此可知，椭圆与这两条直线的交点即为方程的解。

解方程 得y2x45,即原方程的解为x45#对应知识梳理习题演入正整数m,n时，输出结果记为f(m,n)，且计算装置运算原理如下：1f(1,1)1；②若Ⅰ输入固定的正整数，131，Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来3倍。（1）f(m,1的表达式(mN；（2）f(mn的表达式(mnN若能，求出相应的n；若不能，则请说明理由。（1）fm,13fm1,132fm2,13m1f1,1fm,nfm,n13fm,n232fm,13n13m13n（3）fn,n3n13n ，∵f7,736187472005f8,837212208f(nn输出结果不可能为2005fxlg（1）g(xf(x26x4f(x,求g(x的最小值fxlgxf(x1x2f(x1f(x2由h(x) 可抽象出h(x1x2)h(x1)h(x2由(x) 可抽象出(x1x2)(x1)(x2)( 【解析】(1)g(x)lgx26x4lg(x46) 1【题目】已知函数f(xlog(x1)，当点P(x0，y0yf(x的图像上移动时12Q(x0t )当t0时，试探求一个函数h(xf(xg(xh(x （2）yg(x)log1(2x2

2【解析】解：（1）P坐标为（1，1），点Q的坐标为(1t2∵点Qyf(x1log1(1t1，即t0 （yf(x的单调性求得t0，请相应给分0设Q(x，y)在yg(x)的图像上，则 0而P(x0，y0)在yf(x)的图像上，∴ylog( 2

y0代入得，yg(xlog1(2xt为所求2（3）h(x)log1122x

32；或h(x)log 222x如：当h(xlog11x22x 22x12f(x)g(x)h(x)log1(x1)log1(2xt)log11x 22x121∵1x2在[0，1)单调递减 ∴01x2 故log(1x2)012f(xg(x)h(x有最小值0（其他答案请相应给分2f(xg(x的和运算f(xg(x1为底的对数，所以构造的函数h(x)2 以考虑通过乘积消去g(x)；⑤乘积的结果可以是x的二次函数，该二次函数的图像的对称轴2)1a2，且y1x1图象上的点， nn0（N（0＜a＜1对于任意n∈NAn、Bn、An+1构成以Bn在，请说明理由。【答案】⑴y1n1，证明见解析（2）x=na1,，当n为奇 ⑶2、1、7 nnan为 -y=1,∴{y}为等差数 n

列，∴x2n-1=x1+2(n-1)=2n-2+a，x2n=x2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a，∴xnna1,，当n为奇nan为偶要使ABA为直角三形，则|AA|=2 =2(n1)x-x=2(n1nn n 2(1-a)=2(n1a=11n(n0＜a＜1) ∴2a=2(n1)a=n1(n0＜a＜1)(*n=2a=7 a217 【题目】N={1,2,3,…,n}及其它的每一个非空子集，定义一个“交后继的数。例如集合{1,2,4,6,9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和5当集Nn=2时N={12}的所有非空子集为{1}{2}，{1,2}，则它的“交替和”的总和S2=1+2+(2–1)=4，请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1,2,3,…,n