2021-2022学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级（上）期中数学试卷

2021-2022学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）将一元一次方程3x2﹣1＝6x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A．3，﹣6 B．3，6 C．3，﹣1 D．3x2，﹣6x2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（）A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）4．（3分）一元二次方程x2+6x+4＝0配方后正确的是（）A．（x﹣3）2＝5 B．（x﹣3）2＝13 C．（x+3）2＝5 D．（x+3）2＝135．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E在CD延长线上，若∠B＝100°，则∠ADE的度数是（）A．100° B．105° C．80° D．110°6．（3分）青山村种的某农作物2019年平均每公顷产7200kg，2021年平均每公顷产8450kg，设这种农作物每公顷产量的年平均增长率是x，根据题意，所列方程正确的是（）A．7200×（1+x2）＝8450 B．7200+2×7200x＝8450 C．7200×（1+x）2＝8450 D．7200×（1+x+x2）＝84507．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针方向旋转得到△AB′C′，且点B′恰好落在BC上，若AB′＝CB′，∠BAC＝105°，则∠C′的度数是（）A．22° B．23° C．24° D．25°8．（3分）方程ax2+bx+c＝0（a＜0）有两个不相等的实数根，则抛物线y＝ax2+bx+c的顶点一定在（）A．在x轴上方 B．在x轴下方 C．在y轴右侧 D．在y轴左侧9．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+c的图象经过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（）A．若y1＞0，则y2y3＜0 B．若y2＞0，则y1y4＜0 C．若y3＜0，则y1y2＞0 D．若y4＜0，则y2y3＞010．（3分）已知a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则代数式2a5﹣5a+3b3﹣b+1的值是（）A．19 B．20 C．14 D．15二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于原点对称的点是．12．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，CD＝8，BE＝1，则AB的长为．14．（3分）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根长度为3.2m水管AB，在水管的顶端A点处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离BC＝3m处达到最高，水柱落地处离池中心距离BD＝8m，则抛物线形水柱的最高点到地面的距离EC是m．15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象经过（﹣1，0），对称轴在y轴的右侧．下列四个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③若A（x1，n），B（x2，n）是抛物线上两点，当x＝x1+x2时，则y＝c．其中正确的是．（填写序号）16．（3分）如图1，在矩形ABCD中，AD＜AB，点E和F同时从点A出发，点E以1cm/s的速度沿A﹣D﹣C的方向运动，点F以1cm/s的速度沿A﹣B﹣C的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为xs，△AEF的面积为ycm2，y关于x的函数图象如图2，图象经过点（3，m）（n，m），则n的值为．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）解方程：x2﹣x﹣3＝0．18．（8分）如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠19．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c图象经过（﹣1，0）和（3，0）．（1）求出抛物线的解析式；（2）直接写出x满足什么条件时，y随x的增大而减小；（3）直接写出不等式﹣x2+bx+c＞0的解集；（4）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围．20．（8分）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．线段AB的两个端点都在格点上，小正方形的边长为1个单位长度，以格点O为原点建立平面角坐标系，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．（1）图1中画出线段AB关于点O对称的图形CD（B与D对应）直接写出C的坐标；（2）图1中画出线段AB绕点O逆时针旋转90°后的图形EF（B与F对应），直接写出E的坐标；（3）图2中，点G和点H都在格点上，线段GH是由线段AB绕点P顺时针旋转得到的，画出点P，直接写出P的坐标．21．（8分）如图，在⊙中，弦AC为2cm，弦BC为4cm，∠ACB＝90°，AD=BD，OE与弦CD垂直于点（1）求⊙O的半径；（2）求OE的长．22．（10分）两段相互垂直的墙AB和AC的长分别为12m和3m，用一段长为23m的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆全部使用完），如图所示，矩形菜园的一边AD由墙AC和一节篱笆CD构成，一边AF靠在墙AB上，一边EF上有一个2m的门．假设篱笆CD的长为xm，矩形菜园的面积为Sm2（S＞0），回答下面的问题：（1）①用含x的式子表示篱笆DE的长为m，x的取值范围是；②菜园的面积能不能等于90m2？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由．（2）求菜园面积S的最大值．23．（10分）提出问题：如图1，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝120°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F，线段AF、BF、CF之间存在怎样的数量关系？探究问题：（1）先将问题特殊化，如图2，当点D、F重合时，直接写出一个等式，表示线段AF、BF、CF之间的数量关系；（2）再探究一般情形，如图1，当点D、F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．解决问题：（3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．若∠ADC＝135°，记AD＝a，BD＝b，CD＝c，补充并探究图形，直接写出a、b、c之间的数量关系．24．（12分）将抛物线y＝4x2﹣8x+7先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C，经过定点D的直线y＝kx+2（k≠0）交抛物线C于A，B两点（点A在点B的左侧），点O为坐标原点．（1）直接写出抛物线C的解析式和定点D的坐标；（2）用字母S表示三角形的面积，若2S△AOD﹣S△BOD＝1．请补充图1，求k的值；（3）若点P在直线y＝﹣2上运动，且满足直线PA与直线PB分别与y轴交于M、N两点，请补充图2，求证：OM与ON的积是定值．

2021-2022学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）将一元一次方程3x2﹣1＝6x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A．3，﹣6 B．3，6 C．3，﹣1 D．3x2，﹣6x【解答】解：方程整理得：3x2﹣6x﹣1＝0，则二次项系数和一次项系数分别为3，﹣6，故选：A．2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：D．3．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（）A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，∴顶点坐标为（1，﹣2），故选：B．4．（3分）一元二次方程x2+6x+4＝0配方后正确的是（）A．（x﹣3）2＝5 B．（x﹣3）2＝13 C．（x+3）2＝5 D．（x+3）2＝13【解答】解：方程移项得：x2+6x＝﹣4，配方得：x2+6x+9＝5，即（x+3）2＝5．故选：C．5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E在CD延长线上，若∠B＝100°，则∠ADE的度数是（）A．100° B．105° C．80° D．110°【解答】解：∵∠B＝100°，∴∠ADE＝100°．故选：A．6．（3分）青山村种的某农作物2019年平均每公顷产7200kg，2021年平均每公顷产8450kg，设这种农作物每公顷产量的年平均增长率是x，根据题意，所列方程正确的是（）A．7200×（1+x2）＝8450 B．7200+2×7200x＝8450 C．7200×（1+x）2＝8450 D．7200×（1+x+x2）＝8450【解答】解：设这种农作物每公顷产量的年平均增长率是x，由题意得7200（1+x）2＝8450．故选：C．7．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针方向旋转得到△AB′C′，且点B′恰好落在BC上，若AB′＝CB′，∠BAC＝105°，则∠C′的度数是（）A．22° B．23° C．24° D．25°【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针方向旋转得到△AB′C′，∴AB＝AB'，∴∠ABB'＝∠AB'B，∵AB′＝CB′，∴∠C＝∠B'AC，∴∠AB'B＝2∠C＝∠ABB'，∵∠BAC＝105°，∴∠C+∠ABB'＝75°，∴∠C＝25°故选：D．8．（3分）方程ax2+bx+c＝0（a＜0）有两个不相等的实数根，则抛物线y＝ax2+bx+c的顶点一定在（）A．在x轴上方 B．在x轴下方 C．在y轴右侧 D．在y轴左侧【解答】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a＜0）有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，∵顶点的横坐标为-b2a，纵坐标为4ac-b24a∴4ac-b24a＞∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在x轴上方，故选：A．9．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+c的图象经过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（）A．若y1＞0，则y2y3＜0 B．若y2＞0，则y1y4＜0 C．若y3＜0，则y1y2＞0 D．若y4＜0，则y2y3＞0【解答】解：∵y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∵1﹣（﹣3）＞4﹣1＞1﹣（﹣1）＞2﹣1，∴y1＞y4＞y2＞y3，A选项中，若y1＞0，则y2y3＞0，错误，不符合题意．B选项中，若y2＞0，由y1＞y4＞y2＞0能判断y1y4＞0，错误，不符合题意．C选项中，若y3＜0，由y1＞y4＞y2＞0不能判断y1y2＞0，错误，不符合题意．D选项中，若y4＜0，由y1＞y4＞y2＞y3能判断y2y3＞0符号，正确，符合题意．故选：D．10．（3分）已知a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则代数式2a5﹣5a+3b3﹣b+1的值是（）A．19 B．20 C．14 D．15【解答】解：∵a、b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，∴a2﹣a﹣1＝0，b2﹣b﹣1＝0，a+b＝1，∴a2＝a+1，b2＝b+1，则2a5﹣5a+3b3﹣b+1＝（2a5﹣2a）+（3b3﹣3b）﹣3a+2b+1＝2a（a4﹣1）+3b（b2﹣1）﹣3a+2b+1＝2a[（a+1）2﹣1]+3b（b+1﹣1）﹣3a+2b+1＝2a（a2+2a）+3b2﹣3a+2b+1＝2a（3a+1）+3（b+1）﹣3a+2b+1＝6a2+2a+3b+3﹣3a+2b+1＝6a+6+2a+3b+3﹣3a+2b+1＝5a+5b+10＝5（a+b）+10＝5+10＝15．故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于原点对称的点是（﹣2，1）．【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，∴点A（2，﹣1）关于原点过对称的点的坐标是（﹣2，1）．故答案为（﹣2，1）．12．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为4．【解答】解：根据题意得Δ＝42﹣4m＝0，解得m＝4．故答案为4．13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，CD＝8，BE＝1，则AB的长为17．【解答】解：连接OC，如图，∵CD⊥AB，∴CE＝DE=12CD＝设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，OC＝r，在Rt△OCE中，42+（r﹣1）2＝r2，解得r＝8.5，∴AB＝17．故答案为17．14．（3分）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根长度为3.2m水管AB，在水管的顶端A点处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离BC＝3m处达到最高，水柱落地处离池中心距离BD＝8m，则抛物线形水柱的最高点到地面的距离EC是5m．【解答】解：以点B为原点，以BD所在直线为x轴，以BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设EC＝h，则A（0，3.2），D（8，0），E（3，h），设抛物线解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，把点A（0，3.2），D（8，0），代入得：9a+h解得：a=-∴抛物线形水柱的最高点到地面的距离EC是5m，故答案为：5．15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象经过（﹣1，0），对称轴在y轴的右侧．下列四个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③若A（x1，n），B（x2，n）是抛物线上两点，当x＝x1+x2时，则y＝c．其中正确的是②③．（填写序号）【解答】解：①∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴ab＜0，又∵c可以大于0，也可以小于0，∴①不正确，②∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，ac＜0，∴b＝a+c，∴b2﹣4ac＝（a+c）2﹣2ac＝（a﹣c）2＞0．故②正确；③∵A（x1，n），B（x2，n）是抛物线上两点，∴抛物线的对称轴是x=x∴x1+x2=-∴当x＝x1+x2时，y＝a（-ba）2+b（-ba）+故③正确．故答案为：②③．16．（3分）如图1，在矩形ABCD中，AD＜AB，点E和F同时从点A出发，点E以1cm/s的速度沿A﹣D﹣C的方向运动，点F以1cm/s的速度沿A﹣B﹣C的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为xs，△AEF的面积为ycm2，y关于x的函数图象如图2，图象经过点（3，m）（n，m），则n的值为3+6【解答】解：由图2可知，当点F运动到点B时，y=12•AB•AD＝2.5，即AB•AD＝当点E和点F相遇时，即到达点C时，运动了6秒，即AB+AD＝6cm，解得：AB＝5cm，AD＝1cm，当x＝3时，如图，AF＝xcm，m=12•AF•EM=12×3×当x＝n时，点E在CD上，点F在BC上，如图，此时，EC＝（6﹣n）cm，CF＝（6﹣n）cm，BF＝（n﹣5）cm，∴y=12•（6﹣n+5）•1-12×5⋅（n﹣5）-12•（解得n＝3+6，或n＝3-故答案为：3+6三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）解方程：x2﹣x﹣3＝0．【解答】解：x2﹣x﹣3＝0，∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，∴方程有两个不等的实数根，∴x=1±则x1=1-132，x18．（8分）如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠【解答】证明：∵AB=∴AB＝AC∴△ABC是等腰三角形∵∠ACB＝60°∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝CA∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA．19．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c图象经过（﹣1，0）和（3，0）．（1）求出抛物线的解析式；（2）直接写出x满足什么条件时，y随x的增大而减小；（3）直接写出不等式﹣x2+bx+c＞0的解集；（4）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围．【解答】解：（1）将点（﹣1，0）和（3，0）代入函数解析式，得-1-b+c=0∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴函数开口向下，对称轴为直线x＝1，∴x≥1时，y随x的增大而减小．（3）由图可知，当﹣1＜x＜3时，函数图象在x轴的上方，∴﹣x2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x＜3．（4）由图象开口向下，对称轴为直线x＝1知，当0＜x＜1时，y随x的增大而增大，当1＜x＜3时，y随x的增大而减小，∴当x＝1时，y最大值＝﹣1+2+3＝4，当x＝3时，y最小值＝﹣32+2×3+3＝0，∴当0＜x＜3时，y的取值范围为0＜y≤4．20．（8分）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．线段AB的两个端点都在格点上，小正方形的边长为1个单位长度，以格点O为原点建立平面角坐标系，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．（1）图1中画出线段AB关于点O对称的图形CD（B与D对应）直接写出C的坐标；（2）图1中画出线段AB绕点O逆时针旋转90°后的图形EF（B与F对应），直接写出E的坐标；（3）图2中，点G和点H都在格点上，线段GH是由线段AB绕点P顺时针旋转得到的，画出点P，直接写出P的坐标．【解答】解：（1）图1中，CD即为所求；C的坐标为（3，﹣2）；（2）图1中，EF即为所求；E的坐标为（﹣2，﹣3）；（3）①如图2中，点P即为所求，此时B对应H，A对应G，∵B（0，3），H（3，1），∴BH的中点J（32，2），AG的中点K（-32∴KJ＝3，∵∠PJK+∠BJG＝90°，∠BJG+∠OBH＝90°，∴∠PJK＝∠OBH，∴tan∠PJK＝tan∠OBH=3∴PK＝JK•tan∠PJK=9∵92-2∴P（-32，②如图3中，点P即为所求，此时B与G对应，A与H对应．同法可得P（16，5综上所述：P（-32，-52）或（21．（8分）如图，在⊙中，弦AC为2cm，弦BC为4cm，∠ACB＝90°，AD=BD，OE与弦CD垂直于点（1）求⊙O的半径；（2）求OE的长．【解答】解：（1）如图，连接AB.∵∠ACB＝90°，∴AB是直径，∴AB=AC2∴⊙O的半径为5．（2）过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥CA交CA的延长线于点N，连接BD，DN，OD．∵AD=∴AD＝BD，∠DCA＝∠DCB，∵DM⊥CB，DN⊥CN，∴∠N＝∠CMD＝90°，在△CDM和△CDN中，∠CMD=∴△CDM≌△CDN（AAS），∴CM＝CM，DN＝DM，在Rt△DNA和Rt△DMB中，DN=DMDA=DB∴Rt△DNA≌Rt△DMB（HL），∴AN＝BM，∴AC+CB＝CB﹣AN+CM+BM＝2CM＝6，∴CM＝3，∵∠MCD＝45°，∴CD＝32∵OE⊥CD，∴EC＝DE=3在Rt△OED中，OE=O22．（10分）两段相互垂直的墙AB和AC的长分别为12m和3m，用一段长为23m的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆全部使用完），如图所示，矩形菜园的一边AD由墙AC和一节篱笆CD构成，一边AF靠在墙AB上，一边EF上有一个2m的门．假设篱笆CD的长为xm，矩形菜园的面积为Sm2（S＞0），回答下面的问题：（1）①用含x的式子表示篱笆DE的长为22﹣2xm，x的取值范围是5≤x＜11；②菜园的面积能不能等于90m2？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由．（2）求菜园面积S的最大值．【解答】解：（1）①∵AC＝3，CD＝x，∴EF＝AC+CD＝3+x，∴DE＝23﹣CD﹣EF+2＝23﹣x﹣（3+x）+2＝23﹣x﹣3﹣x+2＝22﹣2x，∵0＜22﹣2x≤12，∴5≤x＜11，故答案为：22﹣2x，5≤x＜11；②菜园的面积能等于90m2，根据题意，得：（3+x）（22﹣2x）＝90，整理得：x2﹣8x+12＝0，解得：x1＝2，x2＝6，∵5≤x＜11，∴x＝6，答：当x＝6m时，菜园的面积为90m2；（2）由题意，得：S＝（3+x）（22﹣2x）＝﹣2x2+16x+66＝﹣2（x﹣4）2+98，∵﹣2＜0，∴当x＞4时，S随x的增大而减小，∵5≤x＜11，∴当x＝5时，S有最大值，最大值＝﹣2（5﹣4）2+98＝96，答：菜园面积S的最大值为96m2．23．（10分）提出问题：如图1，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝120°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F，线段AF、BF、CF之间存在怎样的数量关系？探究问题：（1）先将问题特殊化，如图2，当点D、F重合时，直接写出一个等式，表示线段AF、BF、CF之间的数量关系；（2）再探究一般情形，如图1，当点D、F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．解决问题：（3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．若∠ADC＝135°，记AD＝a，BD＝b，CD＝c，补充并探究图形，直接写出a、b、c之间的数量关系．【解答】解：（1）如图1，BF＝AF+3CF作CG⊥DE于G，∵CD＝CE，∴DE＝2DG，∠DCG=12∠DCE＝∴DE＝2DG＝2•（CF•sin60°）=3CF∵∠DCE＝∠ACB＝120°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CF＝CE，AC＝CB，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF＝BE，∴BF＝BE+DE＝AF+3CF（2）证明：如图2由（1）知，△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∠DAC＝∠DBE，∵∠α＝∠β，∴∠AFB＝∠BCF＝120°，∴∠DFE＝180°﹣∠AFB＝180°﹣120°＝60°，∴∠DFE+∠DCE＝60°+120°＝180°，∴点F、D、C、E共圆，∴∠FEC+∠FDC＝180°，∵CD＝CE，∴CD=∴∠DFC＝∠CFE＝30°，将△CEF绕点C逆时针旋转120°知△CDG，∴CG＝CF，DG＝EF，∠G＝∠CFE＝∠DFC＝30°，∠GDC＝∠FEC，∴∠GDC+∠FDC＝180°，∴F、D、G在同一条直线上，由（1）知，FG=3CF∴BF＝BE+EF＝AD+DG